第二章——
基本初等函数(Ⅰ)
2.3　幂函数
[学习目标]
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.
3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.
栏目索引
CONTENTS PAGE
1
预习导学 挑战自我，点点落实
2
课堂讲义 重点难点，个个击破
3
当堂检测 当堂训练，体验成功
预习导学 挑战自我，点点落实
[知识链接]
函数y＝x，y＝x2，y＝ (x≠0)的图象和性质
R
增
奇
*
2.3　幂函数
[0，＋∞)
(－∞，0]
[0，＋∞)
偶
{x|x≠0}
减
减
奇
*
2.3　幂函数
[预习导引]
1.幂函数的概念
一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
y＝xα
*
2.3　幂函数
2.幂函数的图象与性质
*
2.3　幂函数
[0，＋∞)
(－∞，0)∪
(0，＋∞)
[0，＋∞)
[0，＋∞)
{y|y∈R，且
y≠0}
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
*
2.3　幂函数
增
增
减
增
增
减
减
(1,1)
课堂讲义 重点难点，个个击破
要点一　幂函数的概念
例1　函数f(x)＝(m2－m－1)x 是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式.
解　根据幂函数定义得，
m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，
当m＝－1时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求.
∴f(x)的解析式为f(x)＝x3.
*
2.3　幂函数
规律方法　1.本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2－m－1＝1”这一等量关系，导致解题受阻.
2.幂函数y＝xα(α∈R)中，α为常数，系数为1，底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准.幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错.
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2.3　幂函数
跟踪演练1　已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(9,3)，则f(100)＝________.
解析　由题意可知f(9)＝3，即9α＝3，
10
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2.3　幂函数
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2.3　幂函数
答案　B
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2.3　幂函数
规律方法　幂函数图象的特征：(1)在第一象限内，直线x＝1的右侧，y＝xα的图象由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x＝1的左侧，y＝xα的图象由上到下，指数α由小变大.(2)当α＞0时，幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；当α＜0时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸.
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2.3　幂函数
跟踪演练2　如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)
A.－1＜n＜0＜m＜1 B.n＜－1,0＜m＜1
C.－1＜n＜0，m＞1 D.n＜－1，m＞1
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2.3　幂函数
解析　在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，如图所示.根据点低指数大，有0＜m＜1，n＜－1.
答案　B
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2.3　幂函数
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2.3　幂函数
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2.3　幂函数
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2.3　幂函数
(4)0.20.6与0.30.4.
解　由幂函数的单调性，知0.20.6＜0.30.6，
又y＝0.3x是减函数，
∴0.30.4＞0.30.6，从而0.20.6＜0.30.4.
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2.3　幂函数
规律方法　1.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；(2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数.
2.若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量.
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2.3　幂函数
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2.3　幂函数
(2)－3.143与－π3；
解　∵y＝x3是R上的增函数，且3.14＜π，
∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.
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2.3　幂函数
当堂检测 当堂训练，体验成功
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1.下列函数是幂函数的是(　　)
A.y＝5x B.y＝x5
C.y＝5x D.y＝(x＋1)3
解析　函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；
函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；
函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；
函数y＝x5是幂函数.
B
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D
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2.3　幂函数
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解析　可知当α＝－1,1,3时，y＝xα为奇函数，
又∵y＝xα的定义域为R，则α＝1,3.
答案　A
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2.3　幂函数
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a＞b＞c
而c＝(－2)3＝－23＜0，∴a＞b＞c.
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5.幂函数f(x)＝(m2－m－1)·x 在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________.
解析　∵f(x)＝(m2－m－1)x 为幂函数，
∴m2－m－1＝1，∴m＝2或m＝－1.
当m＝2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，
当m＝－1时，f(x)＝x0＝1不符合题意.
综上可知m＝2.
2
*
2.3　幂函数
课堂小结
1.幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量.
2.幂函数在第一象限内指数变化规律
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.
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2.3　幂函数
3.简单幂函数的性质
(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.
(2)如果α＞0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数.
(3)如果α＜0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.