第三章 函数的应用
3.1.1 方程的根与函数的零点
方程ax2 +bx+c=0
(a≠0)的根
函数y=ax2 +bx+c
(a>0)的图象
判别式
△ =b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
函数的图象
与 x 轴的交点
有两个相等的
实数根x1= x2
没有实数根
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
两个不相等的
实数根x1 ,x2
结论:二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。
对于函数 y=f(x),把使 f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
方程 f(x) = 0 有实数根
函数零点的定义：
等价关系
2、若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是_______.
0，-1，1
1，-1
小结：
求函数y=f(x)的零点，其实就是求方程f(x)=0的实数解。
函数零点的存在性问题
思考二：
（1）函数都有零点吗？
（2）什么条件下的函数必有零点？
观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:
由 f(－2)>0 ， f(1)<0，f(2)·f(1)<0
则（－2,1）为函数f(x)=x2－2x－3的一个零点所在的区间。
你能找出另一个零点所在的小区间吗？
观察对数函数f(x)=lgx的图象:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线, 并且有f(a)·f(b)<0, 那么,函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
思考: 满足上述两个条件,函数就在指定区间内存在零点,那么，零点是否只有一个?
由表3-1和图3.1—3可知f(2)<0,f(3)>0，
即f(2)·f(3)<0，
说明这个函数在区间
(2,3)内有零点。
由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点。
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1）
和图象（图3.1—3）
－4
－1.3069
1.0986
3.3863
5.6094
7.7918
9.9459
12.0794
14.1972
例题1 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。
问题发散：如果函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，y=lnx+2x-6.
（1）求函数y=f(x)的零点的个数；
（2）求函数y=(x)所有零点之和；
（3）如果R上的奇函数有零点，试问零点个数有什么特点？所有零点之和你能得出什么结论吗？偶函数呢？
若函数y=ax2-x-1在R上恰有一个零点，求实数a的取值范围.
题1发散：条件改为在区间（0，1）上呢？
提高练习:
4.函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间有零点（ ）
A.(-2，-1); B.(0，1); C.(1，2); D.(2，3)
5.下列函数在区间[1，2]上有零点的是（ ）
(A)f(x)=3x2-4x+5 (B)f(x)=x³-5x-5
(C)f(x)=lnx-3x+6 (D)f(x)=ex+3x-6
6.若函数y=5x2-7x-1在区间[a,b]上的图象是连续
不断的曲线，且函数y=5x2-7x-1在(a,b)内有零点，则f(a)·f(b)的值是( )
（A）0 （B）正数 （C）负数 （D）无法判断
B
D
D
练一练:
★ 课堂小结
一元二次方程的根及其相应二次函数
的图象与x轴交点的关系
函数零点的概念
函数零点与方程的根的关系
★ 数学思想与方法
（1）由特殊到一般的基本方法;
（2）注意数形结合思想方法的运用。
小结：
若函数y=f(x)图像在(a,b)上是连续不断，且满足以下条件：
1、f(a)f(b)<0；
2、在(a,b)上具有单调性；
则该函数在(a,b)上有且只有一个零点!
作业 、
已知：函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是1和2，求函数f(x)的解析式。
1. 若函数y=2ax2-x-1在区间（0，1）有一个零点，求实数a的取值范围.
思考: