新课导入
在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月. 我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题.如约公元50年—100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法……
求下列方程的根：
(1)2x-1=0 ； (2)x2-2x-3=0.
方程－x３-３x＋５=0的根怎么求？
回顾旧知，发现问题:
教学目标
掌握函数零点的概念；了解函数零点方程根的关系；会判断函数是否存在零点.
由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，以探究的方法发现函数零点存在的条件；在课堂探究中体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想.
在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．在教学中让学生体验探究的过程、发现的乐趣，在数学教学中培养学生的辨证思维能力，以及分析问题解决问题的能力．
教学重难点
函数零点与方程根之间的关系；函数在某区间上存在零点的判定方法.
发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法.
下列一元二次方程及其相应的二次函数图象有什么关系？
方程
x2-2x+1=0
x2-2x+3=0
y= x2-2x-3
y= x2-2x+1
函数
函
数
的
图
象
方程的实数根
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
无实数根
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
x2-2x-3=0
y= x2-2x+3
对于一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？
动脑思考一下
方程ax2 +bx+c=0
(a>0)的根
函数y= ax2 +bx
+c(a>0)的图象
判别式△ =
b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
函数的图象
与 x 轴的交点
有两个相等的
实数根x1 = x2
没有实数根
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
两个不相等
的实数根x1 、x2
对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
零点指的是一个实数.
二次函数的图象与x轴的交点与相应的一元二次方程的根有什么关系?
对任意的方程f(x)=0与函数y=f(x)
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
代数法
图像法 或几何法
1.通过求方程的根来找出函数的零点
2.利用函数图像的性质找出函数的零点
1.前面问题2：方程-x３-３x＋５=0的根怎么求？
解：令f(x)= -x３-３x＋５，做出函数f(x)的图像，如下：
可知函数图像与x轴有交点，所以说方程的
-x３-３x＋５=0的根是x=1.
解：令f(x)=－x2＋3x＋5, 作出函数f(x)的图象，如下：它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根.
2.方程－x2＋3x＋5＝0有根吗？有几个；
分析：求方程的根就是看其相应函数与x轴的交点.
解：2x(x－2)＝－3可化为
2x2－4x＋3＝0，
令f(x)= 2x2－4x＋3 , 作出函数f(x)的图象,如下：它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根.
3.方程2x(x－2)＝－3有根吗？有几个；
分析：看方程有根否就是看其相应函数与x轴的有无交点.
解：x2 ＝4x－4可化为x2－4x＋4＝0，令f(x)= x2－4x＋4，作出函数f(x)的图象，如下：它与x轴只有一个交点，所以方程x2 ＝4x－4有两个相等的实根.

4.方程 x2 ＝4x－4有根吗？有几个.
其实就是考虑f(x)=0的根的情况；
求函数零点的步骤：
(1)令f(x)=0;
(2)解方程f(x)=0；
(3)写出零点.
有
有
有
＜
＜
＜
0
1
2
3
4
5
-1
-2
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
x
y
有
＜
有
＜
若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且f(a)·f(b)＜0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.
即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c就是方程f(x)=0的根.
（1）若只给条件f(a)·f(b)<0能否保证在(a,b)有零点？
（2）函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线：且f(a)·f(b)>0，是否在(a,b)内函数就没有零点？
看以下图像
若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线：且函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，是否一定有f(a)·f(b)<0？
函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线：
如果函数 y=f(x) 在[a,b]上,图象是连续的，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数那么，这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点.
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1）和图象（图3.1—3）
例1 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数,并指出零点所在的大概区间.
－4
－1.3069
1.0986
3.3863
5.6094
7.7918
9.9459
12.0794
14.1972
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
f（x）
表3-1
图3.1—3
由于函数f(x)在定义(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.
说明这个函数在区间(2,3)内有零点.
例2 如图是一个二次函数y=f(x)的图像
（1）写出这个二次函数的零点；
（2）写出这个二次函数的解析式；
（3）试比较f(-4)f(-1),f(0)f(2)与0的大小关系.
分析:先观察图像找出零点,然后把零点代入二次函数的一般式求得这个函数的解析式.
1．函数零点的定义.
2．三个等价关系.
3．函数的零点或相应方程的根的存在性以及
个数的判断.
课堂小结
⑴若是一元一次或一元二次方程,用公式法,
且确定了根的值．
⑵图象法：函数y=f(x)图象与x轴有交点
方程f(x)=0有实数根．
4.确定方程f(x)=0的根存在性的方法
⑶利用函数性质：
若函数y=f (x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线,且f (a)·f (b)＜0,则函数y=f (x)在区间(a, b)内有零点.
即存在c ∈(a, b),使得f (c)=0,这个c就是方程f (x)=0的根.
勘根定理
高考链接
课堂练习
y=-x2-x+20； (2)y=x3-2x2 -x+2.
1.求下列函数的零点:
求函数零点的步骤：
(1)令f(x)=0;
(2)解方程f(x)=0；
(3)写出零点．
解：（1）令-x2-x+20=0，则解得方程的根
为x=-5,x=4,所以此函数的有两个零点
是x=-5,x=4.
（2）令x3-2x2 -x+2=0，则解得方程的根为
x=2,x=1,x=-1,所以此函数有三个零点
分别是x=2,x=1,x=-1.
(3)y=lg(x-1)
解：令lg(x-1)=0,这个方程的根为
x=2，所以说此函数的零点是x=2.
2.函数y= f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的曲线，且f(a) f(b)<0，则函数y=f(x)在区间（a,b）内 （ ）
A.至少有一个零点
B.至多有一个零点
C.只有一个零点
D.有两个零点
A
3．若方程
在
内恰
的取值范围（ ）
有一解，则
A. a<-1 B. a>1
C. -1B
4.函数f(x)=lnx-2/x的零点所在的大致区间（ ）
A. (1,2) B. (2,3)
C. (1,1/e)和(3,4) D. (e,+∞)
B
分析：判断区间（a,b）是否为f(x)零点所在的区间，只要判断f(a).f(b)<0是否成立.经代入计算得
f(2)=ln2 -1<0,f(3)=ln3 -2/3>0
所以f(2).f(3)<0,
所以f(x)在（2，3）内有零点.
选B.
5.若函数y=f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0， f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确的是 （ ）
A.函数f(x)在区间（0，1）内有零点
B.函数f(x)在区间（1，2）内有零点
C.函数f(x)在区间（0，2）内有零点
D.函数f(x)在区间（0，4）内有零点
D
6. 若二次函数y= +kx-(k-8)与x轴至多有一个交点,求k的取值范围?
7.函数y=| log2|x|-1|有几个零点?
解：令| log2|x|-1|=0，则方程有几个根就有几个零点．由此得到方程有两个根分别是x=+2，x=-2,所以函数有两个零点.
6. 若二次函数y= +kx-(k-8)与x轴至多有一个交点,求k的取值范围?
6. 若二次函数y= +kx-(k-8)与x轴至多有一个交点,求k的取值范围?
6. 若二次函数y= +kx-(k-8)与x轴至多有一个交点,求k的取值范围?
1.（1）令f(x)=-x2 +3x+5,做出函数f(x)图像，它与x轴有两个交点，所以说方程)-x2 +3x+5=0有两个不相等的实根.
（2）2x(x-2)=-3可化为2x2 -4x+3=0,令f(x)= 2x2 -4x+3,做出函数f(x)图像，它与x轴没有交点，所以说方程2x(x-2)=-3无实根.
教材习题答案
（3）x2 =4x-4可化为x2 -4x+4=0,令f(x)= x2 -4x+4,做出函数f(x)图像，它与x轴只有一个交点（相切），所以方程x2 =4x-4有两个相等的实数根.
（4）5x2 +2x=3x2 +5,可化为2x2 +2x-5=0,令f(x)=2x2 +2x-5,做出函数f(x)图像，它与x轴有两个交点，所以方程5x2 +2x=3x2 +5有两个不相等的实数根.
2.（1）做函数图像，因为f(1)=1>0, f(1.5)=-2.875<0.所以f(x)=- x3 -3x+5在区间（1，1.5）上有一个零点．又因为f(x)是（-∞，+ ∞ ）上的减函数，所以f(x)=- x3 -3x+5在区间（1，1.5）上只有一个零点.
（2）做出函数图像，因为f(3)<0,f(4)>0.所以f(x)=2x.ln(x-2)-3在区间（3，4 ）上有一个零点．又因为f(x)是（2，+ ∞ ）上的增函数，所以f(x)在（2，+ ∞ ）上有且仅有一个（3，4）上零点.
（3）做出函数图像，因为f(0)<0,f(1)>0.所以f(x)= ex-1 +4x-4在区间（0，1 ）上有一个零点．又因为f(x)是（- ∞ ，+ ∞ ）上的增函数，所以f(x)在（ -∞ + ∞ ）上有且仅有一个零点.
（4）做出函数图像，因为f(-4)<0,f(-3)>0，f(2)<0,f(3)>0.所以f(x)= 3(x+2)(x-3)(x+4)+x在区间（-4，-3 ），（-3，-2），（2，3）上各有一个零点.