3.1.1 用二分法求方程的近似解
2.对于高次多项式方程，在十六世纪已找到了三次和四次方程的求根公式，但对于高于4次的方程，类似的努力却一直没有成功. 到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，即不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法.
提出问题
思考1:有12个大小相同的小球，其中有11个小球质量相等，另有一个小球稍重，用天平称几次就可以找出这个稍重的球？
知识探究(一)：二分法的概念
思考4:上述求函数零点近似值的方法叫做二分法，
那么二分法的基本思想是什么？
提示：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
思考1:求函数f(x)的零点近似值第一步应做什么？
思考2:为了缩小零点所在区间的范围，接下来应做什么？
提示：确定区间[a,b]，使 f(a)f(b)<0
提示：求区间的中点c，并计算f(c)的值
知识探究(二)：用二分法求函数零点近似值的步骤
思考3:若f(c)=0说明什么？
若f(a)·f(c)<0或f(c)·f(b)<0 ，则分别说明什么？
若f(c)=0 ，则c就是函数的零点；
若f(a)·f(c)<0 ，则零点x0∈(a,c)；
若f(c)·f(b)<0 ，则零点x0∈(c,b).
提示：
思考4:若给定精确度ε，如何选取近似值？
提示：当|m—n|<ε时，区间[m，n]内的任意一个值都是函数零点的近似值.
思考5：对下列图象中的函数，能否用二分法求函数零
点的近似值？为什么？
考点一： 二分法的概念
理论迁移
[例1]下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是　　　　　　　(　　)
[精解详析]　利用二分法求函数零点，必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)＜0，不能用二分法求零点.因为A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
[答案]　B
1．函数f(x)的图象如图所示，函数
f(x)的变号零点个数为 　(　　)
A．0　　　　　 B．1
C．4 D．3
解析：由图可知，图象与x轴有4个公共点，有3个穿过x轴，所以共有4个零点，其中有3个变号零点．
答案：D
2．下面关于二分法的叙述，正确的是 　　(　　)
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数
点后的任一位
C．二分法无规律可循
D．只有在求函数零点时才用二分法
答案：B
3．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条
件是 　　 (　　)
①f(x)的图像在区间[a，b]上是连续不断的；②f(a)·f(b)<0；
③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0.
A．①② B．①③
C．①④ D．①②③
答案：A
[例2]用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度0.01)．
考点二： 用二分法求函数零点的近似值
[精解详析]　经计算f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在
[1,1.5]内存在零点x0.
　　取(1,1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0.因为f(1.5)·f(1.25)<0，所以x0∈(1.25,1.5)．
　　如此继续下去，如下表：
因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5<0.01，
　　所以函数f(x)＝x3－x－1精确度为0.01的一个近似零点可取为1.328 125.
[一点通]1．用二分法求函数的零点应遵循的原则
首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的零点，又要使其长度尽量小；其次要根据给定的精确度，及时检验所得区间端点的差的绝对值是否小于精确度(精确到给定的精确度)，以决定是停止还是继续计算．
2．用二分法求函数的零点的近似值，可借助于计算器完成计算.在计算时可用表格或数轴清晰地描述逐步缩小零点所在的区间的过程.在区间长度小于精确度ε的时候，运算结束，区间内的任意一点都可作为函数零点的近似值．
4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次
计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算__________．以上横线应填的内容分别为 　(　　)
A．(0,0.5)　f(0.25) B．(0,1)　f(0.25)
C．(0.5,1)　f(0.75) D．(0,0.5)　f(0.125)
解析：因为f(0)<0，f(0.5)>0，故x0∈(0,0.5).依二分法，第二次应计算f(0.25)．
答案：A
5．证明方程6－3x＝2x在区间(1,2)内有唯一实数解，并
求出这个实数解(精确度0.1)．
证明：设函数f(x)＝2x＋3x－6.
∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，
又∵f(x)是增函数，
所以函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1,2)内有唯一的零点，
则方程6－3x＝2x在区间(1,2)内有唯一实数解．
设该解为x0，则x0∈(1,2).
取x1＝1.5，则f(1.5)≈1.33>0，
f(1)·f(1.5)<0，∴x0∈(1,1.5)．
取x2＝1.25，则f(1.25)≈0.13>0，
f(1)·f(1.25)<0，
∴x0∈(1,1.25)．
取x3＝1.125，则f(1.125)≈－0.44<0，
f(1.125)·f(1.25)<0.
∴x0∈(1.125,1.25)．
取x4＝1.187 5，则f(1.187 5)≈－0.16<0，
f(1.187 5)·f(1.25)<0，
∴x0∈(1.187 5,1.25)．
∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，
∴可取x0＝1.25，
则方程的一个实数解近似可取为1.25.
[例3](10分)从某水库闸房(设为A)到防洪指挥部(设为B)的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点，就要爬一次电线杆子.10 km长，大约有200多根电线杆子呢！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半.算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m之间，要查多少次？
考点三： 二分法的实际应用
[精解详析](1)如图所示，他首先从中点C检查，用随身带的话机向两端测试时，假设发现AC段正常，断定故障在BC段；再到BC段中点D查，这次若发现BD段正常，可见故障在CD段；再到CD段中点E查……
(5分)
[一点通]二分法的思想在实际生活中应用十分广泛.二分法不仅可用于线路、水管、煤气管道故障的排查等，还能用于实验设计、资料查询、资金分配等．
6．某产品中含有某种贵重金属，当含贵重金属的比
例达到某一指标时，产品符合要求．现已知生产出的含16%贵重金属的产品质量符合要求．问：贵重金属的比例是否可以更少一些，使得产品质量仍然符合要求？(精确到0.01)
解：将产品质量看成是贵重金属比例x%的函数f(x)，产品质量合格记为f(x)>0，不合格记为f(x)<0.
　　因为f(0)<0，f(16)>0，先取[0,16]的中点，即x＝8，用含贵重金属比例8%的配方生产一次，如果产品合格，即f(8)>0，则要在[0,8]内再进行试验；如果产品不合格，即f(8)<0，则要在[8,16]内再进行试验．
假设f(8)>0，取[0,8]的中点x＝4，用含贵重金属比例4%的配方生产一次，如果产品合格，即f(4)>0，则要在[0,4]范围内再进行试验；如果产品不合格，即f(4)<0，则要在[4,8]范围内再进行试验．
　　以此类推，最终可以找到f(x)＝0的近似解．
方法·规律·小结
1．二分法是不断把函数的变号零点所在的区间一分为二，使区间内每一个点都逼近零点，从而得到零点近似值的一种方法．
2．二分法的思想在现实生活中也有广泛的应用，如地下管道的故障排查、物价的竞猜、人员分配等问题都可用二分法的思想．
同学们 再见！