函数的应用
第三章
1.1.1　集合的概念
3.2　函数模型及其应用
第三章
1.1.1　集合的概念
3.2.1　几类不同增长的函数模型
第三章
●课标展示
1．了解和体会函数模型在社会生活及科研中的广泛应用．
2．理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义以及三种函数模型性质的比较．
3．会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．
(0，＋∞)
增
(0，＋∞)
3.某地的水电资源丰富，并且得到了电费y(元)与用电量x(度)之间的函数关系如图所示：则月用电量为100度时，应交电费_____元．
60
新知导学
1．四种函数模型的性质
增
增
增
增
快
慢
2．三种增长函数模型的比较
(1)指数函数和幂函数．
一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长_____于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax_____xn.
快
＞
(2)对数函数和幂函数．
对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长__于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax_____xn.
＜
慢
(3)指数函数、对数函数和幂函数．
在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是_____函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越_____，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有_______＜xn＜_____.
增
快
logax
ax
●自我检测
1．函数y＝2x与y＝x2的图象的交点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案]　D
[解析]　作出两个函数的图象，在第一象限中有两个交点，在第二象限中有一个交点，即共有三个交点．
2．下列函数增长的速度最快的是(　　)
A．y＝3x B．y＝log3x
C．y＝x3 D．y＝3x
[答案]　A
3．当x＞4时，a＝4x，b＝log4x，c＝x4，则有(　　)
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．c＜a＜b D．b＜c＜a
[答案]　D
下面是f(x)随x的增大而得到的函数值表：
考查函数模型的增长差异
●典例探究
试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？
(2)各函数增长速度快慢有什么不同？
[解析]　(1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大．
(2)由图表可以看出：各函数增长速度快慢不同，其中f(x)＝2x的增长速度最快，而且越来越快；其次为f(x)＝x2，增长的幅度也在变大；而f(x)＝2x＋7增长速度不变；增长速度最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小．
规律总结：对于三种函数增长的几点说明：
(1)对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快．
(2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞1)．
(3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn.
四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
关于x呈指数函数变化的变量是________．
[答案]　y2
[分析]　从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．
[解析]　以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速率不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．
规律总结：解决本题的关键是如何确定变量间的关系是指数函数关系，不能仅仅根据自变量较大时对应的函数值，还要看函数值的变化趋势.
函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如右图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 013)，g(2 013)的大小．
图象信息迁移题
[解析]　(1)C1对应的函数g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(1)>g(1)，f(2)g(10)，
∴1∴x1<6x2.
从图象上可以看出，当x1∴f(6)当x>x2时，f(x)>g(x)，
∴f(2 013)>g(2 013)．
又g(2 013)>g(6)，∴f(2 013)>g(2 013)>g(6)>f(6)．
函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．

(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
[解析]　(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.
(2)当xf(x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x).
某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份x，产量为y给出三种函数模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝abx＋c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？
函数模型的选择
[分析]　本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型．
规律总结：本题是对数据进行函数模拟，选择最符合客观实际的模拟函数．一般思路为：先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适当的几种函数模型后，再加以验证．函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，须借助计算器或计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须符合实际．
某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
[解析]　借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．

观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
规律总结：不同的函数增长模型能刻画现实世界中不同的变化规律：
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；
(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．
因此，需抓住题中蕴含的科学的信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．
1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(　　)
A．y＝2x　　　　　　 B．y＝1 0000x
C．y＝log3x D．y＝x3
[答案]　A
2．某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢；若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(　　)
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
[答案]　D
3．如图所示曲线反映的是下列哪种函数的增长趋势？(　　)

A．一次函数 B．幂函数
C．对数函数 D．指数函数
[答案]　B
4．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是(　　)
A．y＝log2(x＋1) B．y＝2x－1
C．y＝2x－1 D．y＝(x－1)2＋1
[答案]　D
[解析]　代入检验，排除A、B、C，故选D.
5．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：

关于x呈指数型函数变化的变量是__________．
[答案]　y2.