3．2.2　函数模型的应用实例
1．几种常见的函数模型
(1)一次函数模型
(2)二次函数模型
(3)指数函数模型
(4)对数函数模型
(5)幂函数模型．
1．函数模型应用的两个方面
(1)利用已知函数模型解决问题；
(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．
2．应用函数模型解决问题的基本过程
数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？
【提示】　因为根据已给的数据，作出散点图，根据散点图，一般是从我们比较熟悉的、最简单的函数作模拟，但所估计的函数有时可能误差较大或不切合客观实际，此时就要再改选其他函数模型．
某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
【思路点拨】　由题目可获取以下主要信息：①总成本＝固定成本＋100x；②收益函数为一分段函数．
解答本题可由已知总收益＝总成本＋利润，
知利润＝总收益－总成本．由于R(x)为分段函数，所以f(x)也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题．
【解析】　(1)设每月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，
从而f(x)＝
在函数应用题中，正确理解题意，养成良好的阅读习惯是成功的一半．而二次函数模型常涉及顶点坐标、函数的单调性、区间最值等问题，二次函数的配方是比较有效的解题手段．
1.在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)，某公司每月最多生产100件产品，生产x(x∈N＋)件产品的收入函数为R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)，其成本函数C(x)＝500x＋4 000(单位：元)，利润为收入与成本之差．
(1)求利润函数P(x)及其边际利润函数MP(x)；
(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相等的最大值？
【解析】　由题意知，x∈[1,100]，且x∈N＋.
(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝(3 000x－20x2)－(500x＋4 000)
＝－20x2＋2 500x－4 000，x∈[1,100]，x∈N＋，
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－20(x＋1)2＋2 500(x＋1)－4 000－(－20x2＋2 500x－4 000)＝2 480－40x，x∈[1,100]，x∈N＋.
某林区1999年木材蓄积量200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.
(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；
(2)作出函数y＝f(x)的图象，并应用图象求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米？
【解析】　(1)现有木材蓄积量200万立方米，
经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；
经过2年后木材蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%
＝200(1＋5%)2.
…
经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x.
∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x.
∵x虽以年为单位，但木材每时每刻均在生长，
∴x≥0，且x∈R.
∴函数的定义域为[0，＋∞)．
(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图象，如图所示.
年份0为1999年(附图)．作直线y=300，与函数y=200(1+5%)x的图象交于A点，设A(x0,300)，则A点的横坐标x0的值就是函数值y=300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x的值．
∵8∴经过9年后林区的木材蓄积量能达到300万立方米．
由于“递增率”问题多抽象为指数函数形式，而由指数函数形式来确定相关的量的值多需要使用计算器计算，如果问题要求不严格，就可以通过图象近似求解．用函数的图象求解未知量的值或确定变量的取值范围，是数学常用的方法之一．这种将“数”与“形”结合解决问题的思想方法即“数形结合方法”，能使抽象的问题直观化，对人的数学思维发展有深刻的影响．
2.某商店如果将进货为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应该将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润．
【解析】　设每件售价提高x元，
则每件得利润(10－8＋x)元，即(2＋x)元．
每天销售量变为(200－x/0.5×10)件，
即(200－20x)件，
所获利润y＝(2＋x)·(200－20x)
＝－20(x－4)2＋720(0≤x<10)．
故当x＝4，即售价定为14元时，每天可获得最大利润720元．
某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数y＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．
【思路点拨】　由题目可获取以下主要信息：
①此工厂前三个月的产量已知；
②题中给出了两个函数模型，选择其中一个．
解答本题先由条件确定函数解析式中的待定系数的值，再研究x＝4时，哪个函数值更接近1.37.
(1)问题中给出函数解析式，且解析式中带有需要确定的参数，这些参数需要根据问题的内容或性质来确定，然后再通过运用函数使问题本身获解；(2)在建立函数模型时，对同一实际问题可选取不同的模型，通过比较，选出比较接近实际的模型．
3.某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位为：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
(1)根据上表中数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt；
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
1．解决应用问题的基本步骤
(1)阅读理解，认真审题：就是要读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握新信息．
在此基础上，分析出已知是什么、求什么、涉及哪些知识、确定自变量与函数值的意义，尝试将问题函数化．审题时要抓住题中关键的量，要勇于尝试、探索，敏于发现、归纳，善于联想、化归，实现应用问题向数学问题的转化．
(2)引进数学符号，建立数学模型：一般设自变量为x，函数为y，并用x表示各种相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即建立数学模型．
(3)利用数学的方法对得到的数学模型予以解答，求出结果．
(4)将数学问题的解代入实际问题进行核查，舍去不合题意的解，并作答．这些步骤用框图表示如下：
2．数据拟合过程中的假设
就一般的数学建模来说，是离不开假设的，如果在问题的原始状态下不作任何假设，将所有的变化因素全部考虑进去，对于稍复杂一点的问题就无法下手了，假设的作用主要表现在以下几个方面：
(1)进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用，通常，初步接触一个问题，会觉得围绕它的因素非常多，经仔细分析筛查，发现有的因素并无实质联系，有的因素是无关紧要的，排除这些因素，问题则越发清晰明朗，在假设时就可以设这些因素不需考虑．
(2)降低解题难度，虽然每一个解题者的能力不同，但经过适当的假设就都可以有能力建立数学模型，并且得到相应的解．
一般情况下，是先在最简单的情形下组建模型，然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际，从而得到更满意的解．
某公司在甲，乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2，和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　)
A．45.606　　　　B．45.6
C．46.8 D．46.806
【错因】　上面解答中x＝51/5不为整数，在实际问题中是不可能的，因此x应根据抛物线取与x＝51/5接近的整数才符合题意．
【正解】　设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆，
则总利润
L＝L1＋L2＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)
＝－0.15x2＋3.06x＋30
＝－0.15(x－10.2)2＋45.606.
根据二次函数图象和x∈N*，
∴当x＝10时，获得最大利润
L＝－0.15×102＋3.06×10＋30＝45.6万元．
【答案】　B
作业：
1.将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件；若每件的
售价涨0.5元，其销售量减少10件，问将售价定为多少时，才能使所赚
利润最大？并求出这个最大利润．
2.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，
两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2Q10，单位是m/s，
其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)试计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
圆的一般方程
学科：人教A版数学必修一
时间：2012-7-8
姓名：赵海信
单位：武训高中
课时：1