总复习课件
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特性：_______、________、
_________．
(2) 元素与集合的关系： _______、________、
反映个体与整体之间的关系．
(3)集合的表示法：_______、_______ 、_______、
________ ．
确定性
互异性
无序性
列举法
描述法
图示法
区间法
属于∈
不属于∉
(4)常用数集的记法
(5)集合的分类：______、______、______.
有限集
无限集
空集
(1)子集、真子集及其性质
①对任意的x∈A，都有x∈B，则A___B(或B__A).
②若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x∉A，则A____B(或B____A).
③ ∅___A；A___A； A⊆B，B⊆C⇒A_____C.
④若A含有n个元素，则A的子集有___个，A的非空子集有______个，A的非空真子集有_______个.
2. 集合间的基本关系
(2)集合相等
若A⊆B且 B⊆A，则A___B.
2n
2n-1
2n-2
全集为U，集合A的补集为_______
(1)集合的交集、并集、补集的定义
{x|x∈A且x∈B}
∁UA
A∩B
A∪B
{x|x∈A或x∈B}
∁UA＝{x|x∈U且x∉A}
3. 集合的运算及其性质
1) 并集性质
2) 交集性质
(2) 集合的运算性质
3) 补集性质
集合的基本概念
若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数a＝________.
集合间的基本关系
集合的基本运算
集合中的新定义问题
已知集合S＝{0,1,2,3,4,5}，A是S的一个子集，当x∈A
时，若有x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元
素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________
个，其中的一个是____________．
01
忽略空集致误
1.空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.
2.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.
3.解答集合题目,认清集合元素的属性(点集、数集或其它情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.
4.Venn图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.
5.要注意A⊆B, A∩B＝A, A∪B＝B, ∁UA⊇∁UB,
A∩(∁UB)＝∅这五个关系式的等价性.
4．重要结论
(4)六个关系式的等价性 (A, B⊆U)
(5) 易混的解集
{x| y=f(x)}
定义域
值域
点集
方程的解集
不等式的解集
{y| y=f(x)}
{(x,y)| y=f(x)}
{x| f(x)=0}
{x| f(x)<0}
例1.已知:Ａ={x|y=x2-2x+1},B={y|y=x2-2x+1},
C={x|x2-2x+1=0}, D={x|(x-1)2<0},
E={(x, y)|y=x2-2x+1},
则下面结论正确的有………………… ( )
C. A=E
D. A=B
A. ABCD
题型一 集合的概念
B. D C B A
(1)若A={(x, y)| |x+2|+ =0}，B={-2,-1}，则必有( )
A. AB B. AB
C. A=B D. A∩B=
(2)集合A＝{y∈R|y＝lgx,x>1},B＝{－2,－1,1,2}，则下列结论中正确的是(　 　)
A．A∩B＝{－2，－1}
B．(∁RA)∪B＝(－∞，0)
C．A∪B＝(0, ＋∞)
D．(∁RA)∩B＝{－2，－1}
练一练
例2.设A={x|x＞4或 x<-2}, B={x|a≤x
(1)若A∩B=∅,求实数a的取值范围;

(2)若A∩B≠∅,求实数a的取值范围;

(3)若A∩B=B,求实数a的取值范围;

(4)若 ,求实数a的取值范围.
题型二 集合的运算
(∁RA)∪B= ∁RA
例3.
题型三 集合间的基本关系
若∁U(A∪B)  C,求实数a的取值范围。
(1) A＝{ x|－2≤x≤5},
B＝{x|m＋1≤x≤2m－1},B⊆A,
则m的取值范围是_________.
(2)已知P ={x|x2– mx – 6m2=0} ,
Q={x|mx–1=0}，且 , 则由实数 a 组成的集合是__________.
【例4】对任意两个正整数m、n,定义某种运算⊕:
则集合P=
{(a, b)|a⊕b=8，a , b∈N* }中元素的个数为( )
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
题型四 集合中的信息迁移题
补集思想:对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论不明确，难以从正面入手的数学问题，在解题时要调整思路，从问题的反面入手，探求已知与未知的关系，能起到化难为易，化隐为显的作用，从而解决问题．这种“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U求子集A，若直接求A困难,可先求 ,再由 ,求A.
∁UA
补集思想
∁U(∁UA)=A
例5.已知下列三个方程
个方程有实数根.求a的取值范围.
至少有一
题型五 用补集思想解决问题
【2】已知A＝{x|x2＋x＋a≤0}，
B＝{x|x2－x＋2a－1＜0}，
C＝{x|a≤x≤4a－9}，
且A、B、C中至少有一个不是空集，
求a的取值范围．
函数的概念
——定义——表示——列表法，解析法，图象法
——三要素——定义域，对应关系，值域
——值域与最值——观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、
重要不等式、三角法、图象法、线性规划等
——函数的图象
函数的基本性质
——单调性——1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性.
2.复合函数单调性：同增异减.
——对称性——轴对称：f (a-x)=f(a+x); 中心对称: f (a-x)+f(a+x)=2b
——奇偶性——1.先看定义域是否关于原点对称，再看f(-x)=f(x)还是-f(x).
2.奇函数图象关于原点对称，若x=0有意义，则f(0)=0.
3.偶函数图象关于y轴对称，反之也成立.
——周期性——f (x+T)=f (x)；周期为T的奇函数有f (T)=f (T/2)= f (0)=0.
函数常见的几种变换——平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换
基本初等函数——正(反)比例函数;一次(二次)函数;幂、指数、对数函数
(定义，图象，性质，应用)
复合函数——单调性：同增异减; 奇偶性：内偶则偶，内奇同外
抽象函数——赋值法
函数的应用
——函数与方程——函数零点、一元二次方程根的分布
——常见函数模型——幂、指、对函数模型；分段函数；对勾函数模型
1．函数的基本概念
(1)函数的定义
设A，B是非空的______，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的______一个数x，在集合B中都有________的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作______________.
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的_______；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的______．显然，值域是集合B的子集．
(3)函数的三要素：________、______和___________．
(4)相等函数：如果两个函数的_________和__________完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
数集
任意
唯一确定
y＝f(x)，x∈A
定义域
值域
定义域
值域
对应关系
定义域
对应关系
2．函数的表示法
表示函数的常用方法有:______、______、_______.
3．映射的概念
设A, B是两个非空集合,如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中_________确定的元素y与之对应,那么就称对应f :A→B为从集合A到集合B的_________．
4．函数与映射的关系
由映射的定义可以看出，映射是_____概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是__________．
解析法
图象法
列表法
都有唯一
一个映射
函数
非空数集
函数的概念及应用
函 数 与 映 射
【例2】(课本改编题)下列对应关系是集合P上的函数的是_____.
(1)P＝Z，Q＝N*，对应关系f：对集合P中的元素取绝对
值与集合Q中的元素相对应；
(2)P＝{－1,1,－2, 2}，Q＝{1, 4}，对应关系：f：x→y＝x2,
x∈P，y∈Q；
(3)P＝{三角形}，Q＝{x|x>0}，对应关系f：对P中三角形
求面积与集合Q中元素对应．
(2)已知映射f：A→B.其中A＝B＝R，对应关系f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在元素与之对应，则k的取值范围是(　　)
A．k>1 B．k≥1 C．k<1 D．k≤1
函数的表示方法
【例3】如图，有一直角墙角，两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m (0“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……，用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是 (　　 )
分段函数及其应用
忽略分段函数中自变量的限制条件致误
(14分)设函数 , 若 f(-2)=f(0), f(-1)=-3, 求关于
x的方程f(x)=x 的解.
02
1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域相同；二是对应关系相同．
2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行，坚持定义域优先的原则，之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来很大的方便．
1．判断对应是否为映射，即看A中元素是否满足“每元有象”和“且象惟一”．但要注意：
(1)A中不同元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许一对多；
(2)B中元素可无原象，即B中元素可有剩余．
2．求分段函数应注意的问题
在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．
三、解答题
7. 甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分)的关系．试写出y＝f(x)的函数解析式．
三、解答题
1．函数与映射的概念的异同
数集
集合
数 x
唯一确定
任意
任意
f：A→B
f：A→B
☞用解析法表示函数关系的优点是：函数关系清楚，容易根据自变量的值求出对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质．
课堂互动讲练
☞用图象法表示函数关系的优点是：能直观形象地表示出函数值的变化情况．
☞用列表法表示函数关系的优点是：不必通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值．
课堂互动讲练
例1
已知某人在2009年1月份至6月份的月经济收入如下：1月份为1000元，从2月份起每月的月经济收入是其上一个月的2倍，用列表、图象、解析式三种不同形式来表示该人1月份至6月份的月经济收入y(元)与月份序号x的函数关系，并指出该函数的定义域、值域和对应法则．
[解]列表法：
【解】图象法：
【解】解析法：
解析式：y＝1000×2x－1　(x∈{1,2,3,4,5,6})．
其中定义域为{1,2,3,4,5,6}，
值域为{1000,2000,4000,8000,16000,32000}．
对应法则f：x→y＝1000×2x－1.
【规律小结】列表法、图象法和解析式法是表示函数的三种方法，其实质是一样的，只是形式上的区别，列表和图象更加直观，解析式更适合计算和应用．在对待不同题目时，选择不同的表示方法，因为有的函数根本写不出其解析式．
1．判断对应是否为映射，即看A中元素是否满足“每元有象”和“象唯一”，即可以是“一对一”或者“多对一”．
2．f：A→B形成函数时，A即函数的定义域，但B不一定是值域．如果B中的元素都有原象，则B才是值域，即函数就是从定义域到值域的映射．
已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出

则f[g(1)]的值为________；满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是________．
例2
【1】设集合A＝{a,b}，B＝{c，d，e}，则从A到B的映射共有________个．
【总结】 (1)函数的定义中应注意A，B是两个非空的数集，函数的值域C与B的关系是C⊆B. (2)在映射中，集合A与B的地位是不对等的，在集合B中不要求每个元素在集合A中都有元素与之对应，即集合B中可以有空闲的元素．
1.（2008·山东）设函数
的值为（ ）
2.（2008·陕西）定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)= f(x)+f(y)+2xy(x, y∈R), f(1)=2, 则f(-3)等于( )
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
1．函数的定义域
(1)函数的定义域是指__________________________
________．
(2)求定义域的步骤
①写出使函数式有意义的不等式(组)；
②解不等式组；
③写出函数定义域．
(3)常见基本初等函数的定义域
①分式函数中分母不等于零．
②偶次根式函数、被开方式大于或等于0.
③一次函数、二次函数的定义域为___.
④y＝ax (a>0且a≠1),y＝sin x, y＝cos x,定义域均为__.
⑤y＝tan x的定义域为________________________.
⑥函数f(x)＝x0的定义域为_________________．
使函数有意义的自变量的取
值范围
R
R
{x|x∈R且x≠0}
2．函数的值域
(1)在函数y＝f(x)中,与自变量x的值相对应的y的值叫________，_____________叫函数的值域．
(2)基本初等函数的值域
函数值
函数值的集合
(1)换元法：若已知f(g(x))的表达式，求f(x)的解析式,通常是令g(x)＝t，从中解出x＝φ(t)，再将g(x)、x代入已知解析式求得f(t)的解析式，即得函数f(x)的解析式，这种方法叫做换元法，需注意新设变量“t”的范围．
(2)待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数．
(3)消去法：若所给解析式中含有f(x), 或 f(x), f(－x)等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f(x)．
(4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式．
3．函数解析式的求法
求函数的定义域
(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：
①分式中，分母不为零；
②偶次根式，被开方数非负；
③对于y＝x0，要求x≠0；
④对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1；
⑤由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束.
(2)抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系．
抽象函数的定义域
【例2】若函数f(2x)的定义域是[－1, 1],求f(log2x)的定义域．
求函数的值域
(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；
(2)若与二次函数有关，可用配方法；
(3)若函数解析式中含有根式,可考虑用换元法或单调性法;
(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；
(5)分段函数宜分段求解；
(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解．
求函数的解析式
函数解析式的求法
(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(4)方程思想：已知关于f(x)与 或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
01
(14分)已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1, 9]，试求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域．
函数问题首先要考虑定义域
答题规范
(1)本题考查了函数的定义域、值域的概念及求法，是函数的重点知识．
(2)本题易错原因是忽略对定义域的研究，致使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的讨论范围扩大．
(3)解答有关函数的问题要规范，研究函数问题，首先研究其定义域，这是解答的规范，也是思维的规范.
方法与技巧
1.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．
求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或不等式(组)；对于含有字母参数的函数定义域,应注意对参数取值的讨论;对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义.
2.函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变化范围.利用函数几何意义,数形结合可求某些函数的值域.
3.函数的值域与最值有密切关系，某些连续函数可借助函数的最值求值域，利用配方法、判别式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是否成立，必要时注明“＝”成立的条件．
失误与防范
1．求函数的值域，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用．
函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用．特别要重视实际问题的最值的求法．
2．对于定义域、值域的应用问题，首先要用“定义域优先”的原则，同时结合不等式的性质．
三、解答题
1．给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是以函数的解析式所含运算有意义为准则,列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：
①分式中,分母不等于零， ②偶次根式中,被开方数为非负数， ③对于y=x0，要求x≠0,④对数式中,真数大于0,且底数为不等于1的正数，⑤正切函数等．
2.由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束.
3.抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系.
考点一 求函数的定义域
例1
(3)已知y=f(2x+1)的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域；
(4)已知f(x)的定义域为[0,2],求f(2x)的定义域.
考点一 求函数的定义域
【1】(08·湖北)函数
的定义域为( )
A.(-∞, -4]∪[2, +∞) B.(-4, 0) ∪(0, 1)
C.[-4, 0)∩(0, 1] D.[-4, 0)∪(0, 1)
例1
课堂互动讲练
【1】f(x) 为二次函数，且满足f(0)＝0，f(x＋1)－f(x)＝x＋1，求f(x)．
例2
解:由题意
【2】已知函数f(x)满足 求f(x)的解析式.
考点二 求函数的解析式
(3)已知f(x)是R上的函数,且f(0)=1,对任意x, y∈R
恒有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1), 求f(x).
例2
（4）方法一: ∵ f(x-y) =f(x)-y(2x-y+1)，
令y=x，得f(0)=f(x)-x(2x-x+1)，
∵f(0)=1，∴f(x)=x2+x+1.
方法二 令x=0，得f(-y)=f(0)-y(-y+1)=y2-y+1,
再令y=-x, 得 f(x)=x2+x+1.
考点二 求函数的解析式
【1】设定义在R上的函数f(x) 对任意实数x, y都有f(x+y)=f(x)+2y(x+y), 且满足f(1)=1, 求f(0)及 f(x)的表达式.
考点二 求函数的解析式
(4) 如图是函数f(x)的图象,OC段是射线,而OBA是抛物线的一部分,试写出f(x)的表达式.
解:(1)当x≤0时,
∵直线OC经过(-

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