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主题探究导学
1.如果沿不同的棱将多面体展开，那么得到的展开图相同吗？其表面积还相等吗？
提示：由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不是全等形.但是，不论怎么剪，同一个多面体的表面展开图的面积是一样的.
2.棱柱的表面积与侧面积的不同之处是什么？
提示：棱柱的表面积不仅包含侧面积,还包括两个底面面
积.
3.正方体的棱长为a,它的表面积等于____,侧面积等于____.
提示：正方体的表面积为6个边长为a的正方形面积之和
6a2,侧面积为4个侧面的面积之和4a2.
1.正方体的棱长为a,它的体积V=____.
提示:a3
2.长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则它的体积V=____.
提示:abc
3.如果一个柱体和一个锥体的底面积相等,高也相等,那么这个柱体的体积是锥体体积的____倍.
提示:3
4.在棱锥的体积公式V= Sh中，S是棱锥的底面面积，试
问三棱锥的任何一个面是不是都可以作底面？选择不同的底面，所得三棱锥的体积相等吗？
提示：三棱锥的任何一个面都可以作底面.
如图，设三棱锥A-BCD的面ABC、面ABD、
面BCD、面ADC上
的高分别为h1、h2、h3、h4,
则V三棱锥= S△ABC·h1= S△ABD·h2
= S△BCD·h3= S△ADC·h4.
所以选择不同的底面，所得三棱锥的体积都相等.
典型例题精析
【例1】圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台的表面积是多少?
思路点拨：解答本题的关键是求圆台的侧面积,要求侧面积就要求出圆台的母线长.
【练一练】1.长方体的长、宽、高分别为a,b,c，则这个长方体的表面积是____.
2.已知圆锥的高为4，母线长为5，则圆锥的侧面积为____.
3.棱长为1,各面都是等边三角形的四面体的表面积为____.
【例2】一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为 求这个三棱锥的体积.
思路点拨：正三棱锥顶点和底面中心的连线与底面垂直，利用此特点求出棱锥的高即可.
【练一练】1.一组邻边长分别为1和2的矩形，绕其一边所在的直线旋转成一个圆柱，则这个圆柱的体积为____.
2.一个圆锥经过轴的截面（称为轴截面）是边长为2的等边三角形,这个圆锥的体积为____.
【例3】已知正三棱锥V—ABC的正视图、俯视图如图所示，
其中VA=4，AC=2 求该三棱锥的表面积和体积.
思路点拨：由正视图和俯视图可画出该几何体的直观图，再根据图中已给的长度信息结合正三棱锥结构特征求解.
【练一练】1.如图，是一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm），则该几何体的表面积和体积分别为( )
(A)24π cm2,12π cm3
(B)15π cm2,12π cm3
(C)24π cm2,36π cm3
(D)15π cm2,36π cm3
2.（2009·山东高考）一空间几何
体的三视图如图所示，则该几何体
的体积为（ ）
（A）2π+2
（B）4π+2
（C）2π+
（D）4π+
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分）
1.(2010·北京高考)如图，正方体ABCD-
A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1
上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若
EF=1，A1E=x，DQ=y， DP=z（x,y,z大
于零），则四面体PEFQ的体积（ ）
(A)与x,y，z都有关 (B)与x有关，与y,z无关
(C)与y有关，与x,z无关 (D)与z有关，与x,y无关
【解题提示】把PEFQ的体积表示出来.由于△EFQ中，EF=1，Q到EF的距离为侧面的对角线长，故选择△EFQ为底面.点P到△EFQ的距离，即是点P到对角面A1B1CD的距离.
【解析】选D.S△EFQ= ×1×2 =
点P到平面EFQ的距离为 z，
VP-EFQ= S△EFQ·h= z.
因此体积只与z有关，而与x,y无关.
2.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π,则母线长为( )
(A)2 (B)4 (C)2 (D)8
【解析】选B.由侧面积公式可得32π=π(r+R)l,又由已知
条件知l= 故32π=π·2l2,l=4.
3.正六棱台的两底面边长分别为1 cm和2 cm，各侧面梯形
的高都是 cm,它的侧面积是（ ）
(A) cm2 (B) cm2
(C) cm2 (D)3 cm2
【解题提示】正六棱台的侧面是由六个全等的等腰梯形构成的，求出一个等腰梯形的面积再乘以6即可.
【解析】选A.六棱台的侧面积 (cm2).
4.如图所示，一个空间几何体的正
视图和侧视图都是边长为1的正方形，
俯视图是一个圆，那么这个几何体
的侧面积为____.
【解析】由三视图可判断该几何体为圆柱，其高为1，底面直径为1,故其侧面展开图为一个边长分别为1和π的矩形，故其侧面积为π.
答案：π
5.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1
上一点，且PB1= A1B1，则多面体P-BCC1B1的体积为____.
【解题提示】解决这个问题的关键是把多面体P-BCC1B1看成以正方体的侧面为底，以B1P为高的四棱锥，然后按照棱锥知识求解.
【解析】四棱锥P-BCC1B1的底面是正方体的侧面BCC1B1，
高PB1= A1B1=1，
∴
答案：
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分）
6.(2010·南阳高一检测)如图，一个圆锥的
底面半径为2 cm,高为6 cm，在其中有一个高
为x cm的内接圆柱.
（1）试用x表示圆柱的侧面；
（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？
【解析】设圆柱的底面半径为r.由题意知 r=2- x.
(1)S圆柱侧=2πr·x=2π·（2- x）·x=- x2+4πx
=- (x-3)2+6π(0(2)当x=3 cm时，圆柱的侧面积最大，为6π cm2.
7.(2010·天津高考改编)一个几何体的三视图如图所示，求这个几何体的体积.
【解题提示】由三视图还原几何体的形状.
【解析】由三视图可得该几何体是一个组合体，上面是一个高为1的正四棱锥，其底是边长为2的正方形，下面是一个长为1、宽为1、高为2的长方体，所以所求几何体的体积为
V= ×2×2×1+2= +2=
1.(5分)一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3,若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化,则孔的半径为( )
(A)3 (B)8 (C)9 (D)3,8,9
【解析】选A.要使几何体的表面积不发生变化,则圆柱的两底面面积之和等于圆柱的侧面积.设圆柱的底面半径为r,则2πr2=2πrh,即r=h.还需检验:当h=9时,在长为8,宽为3的面上不可能截得半径为9的孔;当h=8时,在长为9,宽为3的面上也不可能截得半径为8的孔;当h=3时,在长为9,宽为8的面上可以截得半径为3的孔.故选A.
2.(5分)在正方体的八个顶点中，有四个顶点恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积之比为
（ ）
(A) (B) (C) (D)
【解析】选A.如图，设正方体的棱长为a,
则正四面体A—B1D1C的所有棱长均为 a.
正方体的表面积S1=6a2,
正四面体的表面积S2=4× ×( a)2
=2 a2.
∴S1∶S2=6a2∶2 a2= ∶1.
3.(5分)已知三棱锥O-ABC中,OA、OB、OC两两垂直,OC=1,
OA=x,OB=y,且x+y=4,则三棱锥体积的最大值是____.
【解题提示】解决这个题的关键是利用“x+y=4”消元化成一个二次函数，利用二次函数的知识求最值.
【解析】由题意得三棱锥的体积是:
V= × xy×1= x(4-x)=- (x-2)2+
由于x>0,则当x=2时,Vmax=
答案:
4.(15分)已知正四棱台的高、侧棱、体对角线的长分别为
7 cm、9 cm、11 cm，求它的表面积和体积.
【解析】