点、直线、平面之间的位置关系
第二章
2.2　直线、平面平行的判定及其性质
第二章
2.2.2　平面与平面平行的判定
●课标展示
1．理解并掌握平面与平面平行的判定定理，明确定理中“相交”两字的重要性．
2．能利用判定定理解决有关面面平行问题．
●温故知新
旧知再现
1．两个平面之间的位置关系：____________，两平面之间的位置关系依据________________来划分的．
2．a∥b，b⊂α，______则a∥α(线面平行的判定定理)．
3．判定线面平行的方法有：定义和________定理，虽然可以用定义判定，但不易操作，所以常用判定定理，转化为证明“线线平行”，体现了“空间问题平面化”的基本思想．
相交和平行
公共点的个数
a⊄α
判定
4．长方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F分别是平面ABCD、平面A′B′C′D′的中心，长方体的6个面中与EF平行的有(　　)
A．1个　　 B．2个　　
C．3个　　 D．4个
[答案]　D
5．若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则下列结论成立的是(　　)
A．α内的所有直线与m异面
B．α内不存在与m平行的直线
C．α内存在唯一的直线与m平行
D．α内的直线与m都相交
[答案]　B
新知导学
平面与平面平行的判定定理
相交
平行
a∩b＝P
平行
[破疑点]　平面与平面平行的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面平行来证明平面与平面平行．通常我们将其记为：线面平行，则面面平行．因此处理面面平行(即空间问题)转化为处理线面平行，进一步转化为处理线线问题(即平面问题)来解决，以后证明平面与平面平行，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面平行即可．
关于判定两平面平行的另一种方法：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线对应平行，则这两个平面平行．
●自我检测
1．点P是平面α外一点，过点P且平行于平面α的平面有(　　)
A．0个　　 B．1个　　
C．2个　　 D．无数个
[答案]　B
2．在如图所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形．则平面ABC与平面A1B1C1平行吗？________(填“是”或“否”)．

[答案]　是
3．已知三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点．求证：平面DEF∥平面ABC.
[证明]　如图所示，在△PAB中，
因为D，E分别是PA，PB的中点，
所以DE∥AB.
又AB⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，
因此DE∥平面ABC.
同理，EF∥平面ABC.
又因为DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC.
平面与平面平行判定定理的理解
●典例探究
③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．
A．①③　　　　　　　 B．②④
C．②③④ D．③④
[解析]　如果两个平面没有任何一个公共点，那么我们就说这两个平面平行，也即是两个平面没有任何公共直线．
对于①：一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在．
对于②：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，同①.
对于③：一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的定义．
对于④：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的判定定理．
所以只有③④正确，选择D.
[答案]　D
规律总结：对面面平行的判定定理的理解
(1)定理可简记为：线面平行，则面面平行．这里的“线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面．
(2)用该定理判定两个平面平行需同时满足5个条件：
a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β.
a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题．
①a∥c，b∥c⇒a∥b；②a∥γ，b∥γ⇒a∥b；
③α∥c，β∥c⇒α∥β；④α∥γ，β∥γ⇒α∥β；
⑤α∥c，a∥c⇒α∥a；⑥a∥γ，α∥γ⇒α∥a.
其中正确的命题是(　　)
A．①②③ B．①④⑤
C．①④ D．①③④
[答案]　C
[解析]　①平行公理．
②两直线同时平行于一平面，这两条直线可相交、平行或异面．
③两平面同时平行于一直线，这两个平面相交或平行．
④面面平行传递性．
⑤一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面或平行或直线在平面内．
⑥一直线和一平面同时平行于另一平面，这直线和平面可平行也可能直线在平面内．故①④正确．
两个平面平行的判定的应用
[分析]　要证平面A1EB∥平面ADC1，只需证平面A1EB内有两条相交直线平行于平面ADC1即可．
[证明]　如图，由棱柱的性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC.
又D，E分别为BC，B1C1的中点，
所以C1E∥DB，C1E＝DB，
则四边形C1DBE为平行四边形，
因此EB∥C1D.
又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，
所以EB∥平面ADC1.
连接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD，
所以四边形EDBB1为平行四边形，
则ED∥B1B，ED＝B1B.
因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，
所以ED∥A1A，ED＝A1A，
则四边形EDAA1为平行四边形，
所以A1E∥AD.
又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，
所以A1E∥平面ADC1.
由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.
规律总结：平面与平面平行的判定方法：
(1)定义法：两个平面没有公共点；
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(2013～2014·江西上饶中学高一期末)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，求证：平面MNQ∥平面PBC.
[证明]　∵在三角形PBD中，BN∶ND＝PQ∶QD，
∴QN∥PB，∴QN∥平面PBC，
同理PM∶MA＝PQ∶QD，∴MQ∥AD.
又底面ABCD是平行四边形，则AD∥BC，
∴MQ∥BC，∴MQ∥平面PBC.
而MQ∩NQ＝Q，MQ⊂平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PBC.
[分析]　解答本题应抓住BF∥面AEC.先找BF所在的平面平行于平面AEC，再确定F的位置．
平行的综合问题
[解析]　如下图所示，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.
∵BG∥OE，BG⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，
∴BG∥平面AEC.同理，GF∥平面AEC，
又BG∩GF＝G.
∴平面BGF∥平面AEC，
又∵BF⊂平面BGF，
∴BF∥平面AEC.
∵BG∥OE，O是BD中点，
∴E是GD中点．
又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE中点．
而GF∥CE，∴F为PC中点．
综上，当点F是PC中点时，BF∥平面AEC.
规律总结：探索性问题，一般采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
[分析]　观察图形的特点，只需在两个平面中分别找到两条相交直线互相平行，在CC1上选取中点Q恰好有AP∥BQ.
[解析]　当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，
∴QB∥PA.而QB⊄平面PAO，PA⊂平面PAO，
∴QB∥平面PAO.
连接DB，∵P，O分别为DD1，DB的中点，
∴PO为△DBD1的中位线，
∴D1B∥PO.
而D1B⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，
∴D1B∥平面PAO.
又D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.
[错解]　∵E，F分别是AA1和BB1的中点，∴EF∥AB，
又EF⊄平面AC，AB⊂平面AC，
∴EF∥平面AC，
同理可证，HG∥平面AC.
又EF⊂平面 EG，HG⊂平面EG，
∴平面EG∥平面AC.
[错因分析]　错解中，EF与HG是平面EG内的两条平行直线，不是相交直线，不符合面面平行的判定定理的条件，因此证明不正确．
[正解]　∵E，F分别是AA1和BB1的中点，
∴EF∥AB，又EF⊄平面AC，AB⊂平面AC，
∴EF∥平面AC.
同理可证EH∥平面AC.
又EF⊂平面EG，EH⊂平面EG，EF∩EH＝E，
∴平面EG∥平面AC.
[反思]　利用面面平行的判定定理证明两个平面平行时，所满足的条件必须是明显或已经证明成立的，并且要与定理条件保持一致，否则证明不正确．
(2013～2014·肇庆高一检测)已知P是▱ABCD所在平面外一点．E，F，G分别是PB，AB，BC的中点．
证明：平面PAC∥平面EFG.
[分析]　(1)平面与平面平行的定义是什么？在应用平面与平面平行的判定定理时，容易忽视哪个条件？
(2)用判定定理证明平面与平面平行时，关键是什么？
[证明]　因为EF是△PAB的中位线，
所以EF∥PA.
又EF⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，
所以EF∥平面PAC.
同理可让EG∥平面PAC，
又EF⊂平面EFG，EG⊂平面EFG，EF∩EG＝E，
所以平面PAC∥平面EFG.
1．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有(　　)
A．2对　　　　　　　 B．3对
C．4对 D．5
[答案]　C
[解析]　底面为正六边形的六棱柱，互相平行的面最多．
2．若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面的公共点个数(　　)
A．有限个 B．无限个
C．没有 D．没有或无限个
[答案]　D
[解析]　两平面相交或平行，故选D.
3．已知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则它必与另一个平面(　　)
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．平行或在平面内
[答案]　B
4．若a，b，c，d是直线，α，β是平面，且a、b⊂α，c、d⊂β，且a∥c，b∥d，则平面α与平面β(　　)
A．平行 B．相交
C．异面 D．不能确定
[答案]　D
5．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；
②平面PAD∥BC；
③平面PCD∥AB；
④平面PAD∥平面PAB.
其中正确的有________．(填序号)
[答案]　①②③
[解析]　把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交．∵AB∥CD，∴平面PCD∥AB.同理平面PAD∥BC.
6．(2013·陕西)如图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1，证明：平面A1BD∥平面CD1B1.

[分析]　结合棱柱的特征，在其中一个平面内找到两条相交直线与另一平面平行即可．