2．3.3　直线与平面垂直、
平面与平面垂直的性质
1．理解直线与平面垂直的性质定理，平面与平面垂直的性质定理，并能利用性质定理解决有关问题．
2．了解直线与平面，平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系．
典 例 精 析
题型一 线面垂直性质的应用
例1 如右图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：MN⊥CD；
(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
►跟踪训练
1．如图，已知直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c.求证：AB∥c.
证明：过点B引直线a′∥a，a′
与b确定的平面设为γ，
∵a′∥a，AB⊥a，∴AB⊥a′，
又AB⊥b，a′∩b＝B，∴AB⊥γ.
∵b⊥β，c⊂β，∴b⊥c.①
∵a⊥α，c⊂α，∴a⊥c.
又a′∥a，∴a′⊥c.②
由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，∴AB∥c.
题型二 面面垂直性质的应用
例2　如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．
(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．
证明：利用线面垂直的判定、面面垂直的性质来解．
(1)如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F.
∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，
∴DF⊥平面PAC，PA⊂平面PAC，
∴DF⊥AP.
作DG⊥AB于G.同理可证DG⊥AP.
DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，
∴PA⊥平面ABC.
(2)如图，连接BE并延长交PC于H.
∵E是△PBC的垂心，
∴PC⊥BE.
又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.
又∵BE∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE.
∴PC⊥AB.
又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.
又∵PC∩PA＝P.
∴AB⊥平面PAC.
∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
点评：证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限于一个方面，有时需考虑多种情况的综合．
►跟踪训练
2．如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.
(1)证明：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角BPCA的正切值．
证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.
∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥BD.
又∵PA∩PC＝P，BD⊄平面PAD.
∴BD⊥平面PAC.
(2)设AC与BD交于点O，连接OE，
∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥OE.
又∵BO⊥平面PAC，∴PC⊥BO.
∴PC⊥平面BOE.∴PC⊥BE.∵OE∩BO＝O
∴∠BEO为二面角BPCA的平面角．
∵BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，
∴四边形ABCD为正方形
题型三 综合应用
例3 如右图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边的中点，能否在棱上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．
(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，
∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD.
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，
∴BG⊥AD.
又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.
∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.
(2)解析：当F为PC的中点时，
满足平面DEF⊥平面ABCD.
取PC的中点F，连接DE，EF，DF，
在△PBC中，FE∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，
而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E.
PB⊂平面PGB，GB⊂平面PGB，PB∩GB＝B，
∴平面DEF∥平面PGB.
由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，
∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.
点评：空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等等，还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件．对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．
►跟踪训练
3．如图，在三棱锥PABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°.
(1)证明：AB⊥PC；
(2)若PC＝4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥PABC的体积．
证明：(1)因为△PAB是等边三角形，
所以PB＝PA，
因为∠PAC＝∠PBC＝90°，
PC＝PC，
所以Rt△PBC≌Rt△PAC，
所以AC＝BC.
如图，取AB中点D，连接PD，CD，
则PD⊥AB，CD⊥AB，又因为PD∩CD＝D，所以AB⊥平面PDC，所以AB⊥PC.
(2)解析：作BE⊥PC，垂足为E，连接AE.
因为Rt△PBC≌Rt△PAC，
所以AE⊥PC，AE＝BE.
由已知，平面PAC⊥平面PBC，故∠AEB＝90°.
因为∠AEB＝90°，∠PEB＝90°，AE＝BE，AB＝PB，
所以Rt△AEB≌Rt△BEP，所以△AEB，△PEB，△CEB都是等腰直角三角形．
由已知PC＝4，得AE＝BE＝2，△AEB的面积S＝2.
因为PC⊥平面AEB，
所以三棱锥PABC的体积V＝·S·PC＝.