3.3.1两条直线的交为点坐标
1.直线方程有哪五种形式? 它们的条件及应用范围如何?
一、复习:
Ax+By+C=0
(5)一般式：
（其中A、B不同时为0）
(1)x的系数为正;
(2)x,y的系数及常数项一般不出现分数;
(3)一般按含x项，含y项、常数项顺序排列.
3. 对于直线方程的一般式，一般有哪些约定?
直线方程的一般式，适用于所有的直线
2. 直线方程的一般式，适用于哪些直线?
引入：
二元一次方程组的解有三种不同情况（唯一解，无解,无穷多解），同时在直角坐标系中两条直线的位置关系也有三种情况（相交，平行，重合），下面我们通过二元一次方程组解的情况来讨论直角坐标系中两直线的位置关系。
1.两条直线的交点：
二、新课:
问题1：方程组解的情况与方程组所表示的两条
　　直线的位置关系有何对应关系？
2.利用二元一次方程组的解讨论平面上两条直线的位置关系
已知方程组
当A1，A2，B1，B2全不为零时
(1)×B2－(2)×B1得(A1B2－A2B1)x=B1C2－B2C1
讨论：⒈当A1B2－A2B1≠0时，方程组有唯一解:
⒉当A1B2－A2B1=0， B1C2－B2C1≠0 时，方程组无解;
⒊当A1B2－A2B1=0， B1C2－B2C1＝0 时，方程组有无
穷多解。
问题2：如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？
归纳: 两条直线的位置关系：平行、相交、重合
（注：如果A2，B2 , C2中有一个为0，另行讨论）
例1.求下列两条直线的交点：l1：3x+4y - 2=0；l2：2x+y+2=0.
例2.求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程:l1：x - 2y+2=0，l2：2x - y - 2=0.
解：解方程组
∴l1与l2的交点是M（- 2，2）
∴l1与l2的交点是（2，2）
设经过原点的直线方程为
y=k x
把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为
y= x
例3.求直线3x+2y－1=0和2x－3y－5=0的交点M的坐标，并证明方程3x+2y－1+λ(2x－3y－5）=0（λ为任意常数）表示过M点的所有直线（不包括直线2x－3y－5=0）。
A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2）=0是过直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。
例4.判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：
（1）l1:x-y=0, l2:3x+3y-10=0;
（2）l1:3x-y+4=0, l2:6x-2y=0;
（3）l1:3x+4y-5=0, l2:6x+8y-10=0;
参见书P103例2
例5.求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点，
且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程。
解法一：解方程组
∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）
又∵直线x+2y－5=0的斜率是－1/3
∴所求直线的斜率是3
所求直线方程为y+1=3（x－3）即 3x－y－10=0
解法二：所求直线在直线系2x－y－7+λ(x+2y－1)=0中
经整理，可得（2+λ）x+（2λ－1）y－λ－7=0
解得 λ= 1/7
因此，所求直线方程为3x－y－10=0
练习：
1、不论m为何实数，直线
(m-1)x-y+2m+1=0恒过定点 。
2、过两直线2x-y+4=0和x-y+5=0的交点，且与直线y=x垂直的直线的方程是 。
3、当a为何值时，三条直线:
x+y-2=0,x-y=0,x+ay-3=0才能构成一个三角形?
x+y-7=0
a≠±1且a≠2
(-2,3)
课堂练习：P104练习1,2
两直线相交(有一个交点)
小结：1、两条直线相交的判定
两直线平行(没有交点)
小结：2、两条直线平行的判定
两直线重合
小结：3、两条直线重合的判定
小结：4、三种位置关系、直线系方程
（1）在同一平面内两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合相应的由直线组成的二元一次方程组有唯一解、无解、无穷多个解.
（2）直线方程A1x+B1y+C1+ （A2x+B2y+C2）=0 (∈R)是过A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程。
小结：方程组解的情况与方程组所表示的两条
　　 直线的位置关系有以下三种:
方程组的解的各种情况分别对应的两条直线的位置关系如下:
两条直线的位置关系：平行、相交、重合
（注：如果A2，B2 , C2中有一个为0，另行讨论）
作业:
必做作业:试卷:
(选择题和填空题也要有说明理由或主要的步骤)
例1.求经过原点及两直线3x-y-2=0与2x+y+4=0交点的直线方程。
解法一： 解方程组
　　
　　∴两直线的交点为：

　　所求直线方程为：
　　即：y=8x
应用：1、求交点或求过交点的直线方程：
解法二：因为所求直线过两直线
　3x-y-2=0与2x+y+4=0交点，
　可设此直线为：3x-y-2+m(2x+y+4)=0
　又直线过点（0，0），
　将x=0,y=0代入上式解得：m=1/2
　　∴所求直线方程为：
　　3x-y-2+1/2(2x+y+4)=0
　　即：8x-y=0
注：直线方程A1x+B1y+C1+ （A2x+B2y+C2）=0 (∈R)是过A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程。
例2. 已知两条直线
L1:x+my+6=0
L2: (m-2)x+3y+2m=0
当m为何值时，两直线会①相交；②平行；③重合
应用：2、由一般式方程研究两直线的位置关系：
故：①m≠-1且m≠3两直线相交，
② m=-1两直线平行
③m=3两直线重合
应用：3、过定点的讨论：
例3.已知直线方程为
(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0。求证：无论a为何实数值，直线必过定点.
证法二：证明直线恒过定点，将直线写成关于a的函数式，由系数为零，得出关于x,y的值，即为定值。
证明:将(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0化为:
x-2y+5+a(2x+3y-18)=0.
∵a∈R, ∴ x-2y+5=0且2x+3y-18=0
∴方程是过两定直线x-2y+5=0, 2x+3y-18=0交点(3,4)的直线方程。
故无论a为何实数值，
直线(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0必过定点(3,4)
应用：4、求字母的取值：
例4. 已知点P（-2，1）和点Q（3，2），若直线L：ax+y+2=0与线段PQ相交，求a的取值范围。
解：直线PQ方程为（y-1)/(2-1)=(x+2)/(3+2),即x-5y+7=0与ax+y+2=0联立方程组解得直线L与线段PQ的交点纵坐标为 y=(7a-2)/(5a+1)
所以，1≤(7a-2)/(5a+1)≤2，
解得： a ≥4/3　或　a ≤-3/2
练习1、两条直线x+my+12=0和2x+3y+m=0的交点在y轴上，则m的值是( )
（A）0 （B）－24 （C）±6 （D）以上都不对

练习2、若直线kx－y+1=0和x－ky= 0相交，且交点在第二象限，则k的取值范围是( )
（A）（- 1，0） （B）（0，1]
（C）（0，1） （D）（1，＋∞）

练习3、若两直线(3－a)x+4y=4+3a 与2x+(5－a)y=7平行，则a的值是( )
（A）1或7 （B）7 （C）1 （D）以上都错
C
A
B
练习4、直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0重合，则必有( )
（A）A1=A2，B1=B2，C1=C2

（B）

（C）两条直线的斜率相等截距也相等
（D）A1=mA2，B1=mB2，C1=mC2，（m∈R，且m≠0）
D
两直线方程组成的方程组的解（个数）
两直线的交点
（个数）
一一对应
练习5、一元一次方程ax=b的解的情况是：
①当a≠0时， ;
②当a=0,b≠0时， 　 ;
③当a=0,b=0时， .
有唯一解
无解
有无数解
1、两直线的位置关系
相交：
平行：
重合：
垂直相交
斜交
有无穷多个交点
没有交点
只有一个交点
2、一个二元一次方程组
的解情况是怎样的？