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4.2.2 圆与圆的位置关系
1.理解圆与圆的位置的种类；
2.利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；
3.会用连心线长判断两圆的位置关系；（重点、难点）
4.会求两相交圆的公共弦方程、公切线方程.
举例说说圆和圆的位置关系在生活中的应用.
(自行车轮、奥运五环、滑轮组、望远镜、纸筒、光碟……) .
认真观察
两个圆的交点个数？
说出观察结果
1. 平面上两圆的位置关系有五种：
（1）外离：两圆没有公共点；
（2）外切：两圆有且仅有一个公共点;
O1O2>r1+r2
O1O2=r1+r2
（3）相交：两圆有两个公
共点；
（4）内切：两圆有一个公
共点；
（5）内含：两圆没有公共点.
O1O2=R-r
0≤O1O2R-rO1O2=0
同心圆
同心圆属于内含
二. 两圆位置关系的判断
它们的位置关系有两种判断方法：
已知圆
与圆
代数法和几何法
1.平面几何法判断圆与圆的位置关系公式
第一步：计算两圆的半径r1，r2；
第二步：计算两圆的圆心距d；
第三步：根据d与r1，r2之间的关系，判断两圆的位置关系.
两圆外离：r1+r2两圆相交：|r1－r2|两圆内切：|r1－r2|=d； 两圆内含：|r1－r2|>d.
2.利用代数方法判断
（1）当Δ=0时，有一个交点，两圆内切或外切，
（2）当Δ<0时，没有交点，两圆内含或相离，
消去其中的一个未知数y或x，得关于x或y的一元二次方程.
将两个圆方程联立,得
（3）当Δ>0时，有两个交点，两圆相交.
两种方法的优缺点
几何方法直观，但不能求出交点；
代数方法能求出交点，但Δ=0，Δ<0 时，不能判断圆的确切的位置关系。
例1：
试判断圆C1与圆C2的位置关系.
分析：
方法二，代数法．
由两者方程组成方程组，由方程组解的情况决定.
解法一：把圆的方程都化成标准形式,为
方法一，几何法．
判断圆心距与两圆半径的和与差的绝对值的大小关系.
所以圆心距
两圆半径的和与差
而
即
所以两圆相交。
解法二：
将两个圆方程联立,得方程组
把上式代入①，并整理得
故两圆相交．
方程④根的判别式
所以方程④有两个不等实数根，方程组有两解；
圆x2+y2-2x=0与x2+y2+4y=0的位置关系是( )
(A)相离 (B)外切 (C)相交 (D)内切
【解析】选C.圆的方程分别化为
(x-1)2+y2=1,x2+(y+2)2=4,
∵|O1O2|= 而r1+r2=3,r2-r1=1，
∴r2-r1＜|O1O2|＜r1+r2,∴两圆相交.
探究：
相交于A,B两点，
如何求公共弦的方程？
方法一：
将两圆方程联立，求出两个交点的坐标，利用两点式求公共弦的方程.
方法二：
先来探究一般情形．
已知圆
与圆
相交于A,B两点，
设
那么
同理可得
由③④可知
一定在直线
显然通过两点的直线只有一条，即直线方程唯一，
故公共弦的方程为
消去二次项
所以前面探究问题可通过
（D1－D2)x+(E1－E2)y+F1－F2=0 得出,
即公共弦的方程为：2x+1=0
例2．已知圆C1：x2+y2－10x－10y=0和圆C2：x2+y2+6x+2y－40=0相交于A、B 两点，求公共弦AB的长.
解法一：由两圆的方程相减，消去二次项得到
一个二元一次方程，此方程为4x+3y=10.
即为公共弦AB 所在的直线方程，
由
解得
或
所以两点的坐标是A(－2,6)，B(4,－2)，或A（4，-2），
B（-2,6），
故|AB|=
则|C1D|=
所以|AB|=2|AD|=
解法二：先求出公共弦所在直线的方程：4x+3y=10.
过圆C1的圆心C1作C1D⊥AB于D.
两圆x2+y2-6x+16y-48=0与x2+y2+4x-8y-44=0的公切线条数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【解析】选B.将两圆方程化为标准方程为
(x-3)2+(y+8)2=121,(x+2)2+(y-4)2=64.
∴O1(3,-8),r1=11;O2(-2,4),r2=8.
∵|O1O2|=
∴3＜|O1O2|＜19,
∴两圆相交，从而公切线有两条.
1．圆x2+y2－2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是（ ）
（A）相离 （B）外切
（C）相交 （D）内切
C
2．两圆x2+y2=r2与(x－3)2+(y+1)2=r2外切，则r是（ ）
（A） （B）
（C） （D）5
B
3．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2+(y－3)2=1内切，则此圆的方程是（ ）
（A）(x－4)2+(y－6)2=6
（B）(x±4)2+(y－6)2=6
（C）(x－4)2+(y－6)2=36
（D）(x±4)2+(y－6)2=36
D
4．若圆：x2+y2－2ax+a2=2和x2+y2－2by +b2=1外离，则a、b满足的条件是__________________.
两圆心坐标及半径（配方法）
圆心距d
（两点间距离公式）
比较d和r1，r2的和与差的大小，下结论
消去y（或x）
几何方法
代数方法
不要贬低黄昏，黄昏同清晨一样是成就事业的时间。
