中考复习
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四边形与证明
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二、空间与图形
(5)四边形
①探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概 念。
②掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。
③探索并掌握平行四边形的有关性质[1]和四边形是平行四边形的条件[2]。 ’
④探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质[3]和四边形是矩形、菱形、正方形的条件[4]
⑤探索并了解等腰梯形的有关性质[5]和四边形是等腰梯形的条件[6]。
⑥探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及物理意义(如一根均匀木棒、一块均匀的矩形木板的重心)。
⑦通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。
【备注2】：
[1]平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。
[2]一组对边平行且相等，或两组对边分别相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形。
[3]矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分。
[4]三个角是直角的四边形，或对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形，或对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
[5]等腰梯形同一底上的两底角相等，两条对角线相等。
[6]同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形。
(1)了解证明的含义
①理解证明的必要性。
②通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论。
③结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。
④通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的。
⑤通过实例，体会反证法的含义。
⑥掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据。
4．图形与证明
(2)掌握以下基本事实，作为证明的依据
①一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。
②两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行。
③若两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边，或三边)分别相等，则这两个三角形全等。
④全等三角形的对应边、对应角分别相等。
(3)利用(2)中的基本事实证明下列命题[1]
①平行线的性质定理(内错角相等、同旁内角互补)和判定定理(内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行)。
②三角形的内角和定理及推论(三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角)。
③直角三角形全等的判定定理。
④角平分线性质定理及逆定理；三角形的三条角平分线交于一点(内心)。
⑤垂直平分线性质定理及逆定理；三角形的三边的垂直平分线交于一点(外心)。
⑥三角形中位线定理。
⑦等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理。
⑧平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。

(4)通过对欧几里得《原本》的介绍，，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值。
四边形
一、四边形的分类及转化
二、几种特殊四边形的性质
三、几种特殊四边形的常用判定方法
四、中心对称图形与中心对称的区别和联系
五、有关定理
六、主要画图
七、典型举例
一、四边形的分类及转化
平行且相等
平行且相等
平行
且四边相等
平行
且四边相等
两底平行
两腰相等
对角相等
邻角互补
四个角
都是直角
同一底上
的角相等
对角相等
邻角互补
四个角
都是直角
互相平分
互相平分且相等
互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角
相等
互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角
中心对称图形
中心对称图形
轴对称图形
中心对称图形
轴对称图形
中心对称图形
轴对称图形
轴对称图形
二、几种特殊四边形的性质：
三、几种特殊四边形的常用判定方法：
1、定义：两组对边分别平行 2、两组对边分别相等
3、一组对边平行且相等 4、对角线互相平分
1、定义：有一外角是直角的平行四边形
2、三个角是直角的四边形
3、对角线相等的平行四边形
1、定义：一组邻边相等的平行四边形
2、四条边都相等的四边形
3、对角线互相垂直的平行四边形
1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
2、有一组邻边相等的矩形 3、有一个角是直角的菱形
1、两腰相等的梯形 2、在同一底上的两角相等的梯形 3、对角线相等的梯形
四、中心对称图形与中心对称的区别和联系
中心对称图形：
中心对称：
如果把一个图形绕着某一点旋转180°后与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。
如果把一个图形绕着某一点旋转180°后与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点中心对称，这个点叫做对称中心。
C′
A′
B′
1、中心对称的两个图形是全等图形
2、中心对称的两个图形的对称点连线通过对称中心，且被对称中心平分
中心对称图形的对称点连线通过
对称中心，且被对称中心平分
o
o
五、有关定理：
平行
360°
（n - 2）180°
360°
两底和的一半
360°
条件：在梯形ABCD中，EF是中位线
3、两条平行线之间的距离以及性质：
平行线段
两条平行线
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫这两条平行线的距离。
条件：AD∥BE∥CF，AB=BC
结论：DE=EF
条件：在△ABC中，AD= BD ， DE∥BC
结论：AE=EC
条件：在梯形ABCD中，AE=DE ，AB∥EF∥DC
结论：BF=FC
相等
第三边的中点
另一腰的中点
六、主要画图：
1、画平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形
如：画一个平行四边形ABCD，使边BC=5cm,
对角线AC=5cm，BD=8cm.
2、用平行线等分线段
C
如图：点C就是线段AB的中点
如图：点D、E、F、H就是线段AB的五等分点
七、典型举例：
证明：
四边形ABCD是平行四边形
BE=DF
四边形AFCE是平行四边形
注：利用平行四边形的性质来证明线段或角相等是一种常用方法。
∠E=∠F
例2：如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°， ∠B= ∠D=90 °，求四边形ABCD的面积。
E
注：四边形的问题经常转化为三角形的问题来解，转化的方法是添加适当的辅助线，如连结对角线、延长两边等。
解：
延长AD，BC交于点E，
∵在Rt△ABE中，∠A=60°，
∴∠E=30°
又∵AB=2
∵在Rt△CDE中，同理可得
∴S四边形ABCD=S Rt△ABE - S Rt△CDE
2
1
例3：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF=7cm，对角线AC⊥BD，∠BDC=30°，求梯形的高线AH
析：求解有关梯形类的题目，常需添加辅助线，把问题转化为三角形或四边形来求解，添加辅助线一般有下列所示的几种情况：
延长两腰
M
解：
过A作AM∥BD，交CD的延长线于M
又∵AB∥CD
∴四边形ABDM是平行四边形，
∴DM=AB，∠AMC= ∠BDC=30°
又∵中位线EF=7cm，
∴CM=CD+DM=CD+AB=2EF=14cm
又∵AC⊥BD，
∴AC⊥AM，
∵AH⊥CD，∠ACD=60°
注：①解“翻折图形”问题的关键是要认识到对折时折痕为重合两点的对称轴，会形成轴对称图形。
②本题通过设未知数，然后根据图形的几何元素间的关系列方程求解的方法，是数学中常用的“方程思想”。
解：
设折痕为EF，连结AC，AE，CF，若A，C两点重合，它们必关于EF对称，则EF是AC的中垂线 ，故AF=FC，设AC与EF交于点O，AF=FC=xcm
答：折痕的长为7.5cm
则FD=AD – AF=8 - x
∴EF=±7.5(负根舍去）
作FH⊥BC于H
解法2
祝同学们：金榜题名！
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