中考真题：数学试卷附参考答案
　
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）（2014•大连）3的相反数是（　　）
　
A．
3
B．
﹣3
C．


D．
﹣



考点：
相反数．.

分析：
根据相反数的意义，3的相反数即是在3的前面加负号．

解答：
解：根据相反数的概念及意义可知：3的相反数是﹣3．
故选B．

点评：
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．

　
2．（3分）（2014•大连）如图的几何体是由六个完全相同的正方体组成的，这个几何体的主视图是（　　）


　
A．


B．


C．


D．




考点：
简单组合体的三视图．.

分析：
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．

解答：
解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层有3个正方形．
故选A．

点评：
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．

　
3．（3分）（2014•大连）《2013年大连市海洋环境状况公报》显示，2013年大连市管辖海域总面积为29000平方公里，29000用科学记数法表示为（　　）
　
A．
2.9×103
B．
2.9×104
C．
29×103
D．
0.29×105


考点：
科学记数法—表示较大的数．.

分析：
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答：
解：将29000用科学记数法表示为：2.9×104．
故选B．

点评：
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

　
4．（3分）（2014•大连）在平面直角坐标系中，将点（2，3）向上平移1个单位，所得到的点的坐标是（　　）
　
A．
（1，3）
B．
（2，2）
C．
（2，4）
D．
（3，3）


考点：
坐标与图形变化-平移．.

分析：
根据向上平移，横坐标不变，纵坐标加解答．

解答：
解：∵点（2，3）向上平移1个单位，
∴所得到的点的坐标是（2，4）．
故选C．

点评：
本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

　
5．（3分）（2014•大连）下列计算正确的是（　　）
　
A．
a+a2=a3
B．
（3a）2=6a2
C．
a6÷a2=a3
D．
a2•a3=a5


考点：
同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．.

分析：
根据合并同类项法则，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加对各选项分析判断利用排除法求解．

解答：
解：A、a与a2不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、（3a）2=9a2，故本选项错误；
C、a6÷a2=a6﹣2=a4，故本选项错误；
D、a2•a3=a2+3=a5，故本选项正确．
故选D．

点评：
本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方的性质，熟记性质并理清指数的变化是解题的关键．

　
6．（3分）（2014•大连）不等式组
的解集是（　　）
　
A．
x＞﹣2
B．
x＜﹣2
C．
x＞3
D．
x＜3


考点：
解一元一次不等式组．.

分析：
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．

解答：
解：
，
解①得：x＞3，
解②得：x＞﹣2，
则不等式组的解集是：x＞3．
故选C．

点评：
本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．

　
7．（3分）（2014•大连）甲口袋中有1个红球和1个黄球，乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．从两个口袋中各随机取一个球，取出的两个球都是红的概率为（　　）
　
A．


B．


C．


D．




考点：
列表法与树状图法．.

分析：
首先根据题意画出树状
图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取出的两个球都是红的情况，再利用概率公式即可求得答案．

解答：
解：画树状图得：


∵共有6种等可能的结果，取出的两个球都是红的有1种情况，
∴取出的两个球都是红的概率为：．
故选A．

点评：
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

　
8．（3分）（2014•大连）一个圆锥的高为4cm，底面圆的半径为3cm，则这个圆锥的侧面积为（　　）
　
A．
12πcm2
B．
15πcm2
C．
20πcm2
D．
30πcm2


考点：
圆锥的计算．.

分析：
首先根据圆锥的高和底面半径求得圆锥的母线长，然后计算侧面积即可．

解答：
解：∵圆锥的高是4cm，底面半径是3cm，
∴根据勾股定理得：圆锥的母线长为
=5cm，
则底面周长=6π，侧面面积=×6π×5=15πcm2．
故选B．

点评：
考查了圆锥的计算，首先利用勾股定理求得圆锥的母线长是解决此题的关键．

　
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）（2014•大连）分解因式：x2﹣4=　（x+2）（x﹣2）　．

考点：
因式分解-运用公式法．.

专题：
计算题．

分析：
直接利用平方差公式进行因式分解即可．

解答：
解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．

点评：
本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．

　
10．（3分）（2014•大连）函数y=（x﹣1）2+3的最小值为　3　．

考点：
二次函数的最值．.

分析：
根据顶点式得到它的顶点坐标是（1，3），再根据其a＞0，即抛物线的开口向上，则它的最小值是3．

解答：
解：根据非负数的性质，（x﹣1）2≥0，
于是当x=1时，函数y=（x﹣1）2+3的最小值y等于3．
故答案是：3．

点评：
本题考查了二次函数的最值的求法．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．

　
11．（3分）（2014•大连）当a=9时，代数式a2+2a+1的值为　100　．

考点：
因式分解-运用公式法；代数式求值．.

分析：
直接利用完全平方公式分解因式进而将已知代入求出即可．

解答：
解：∵a2+2a+1=（a+1）2，
∴当a=9时，原式=（9+1）2=100．
故答案为：100．

点评：
此题主要考查了因式分解法以及代数式求值，正确分解因式是解题关键．

　
12．（3分）（2014•大连）如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若BC=4cm，则DE=　2　cm．



考点：
三角形中位线定理．.

分析：
根据三角形的中位线得出DE=BC，代入求出即可．

解答：
解：∵点D、E分别为△ABC的边AB、AC的
中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC．
又BC=4cm，
∴DE=2cm．
故答案是：2．

点评：
本题主要考查对三角形
的中位线定理的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．

　
13．（3分）（2014•大连）如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠BCO=55°，则∠ADO=　35°　．



考点：
菱形的性质．.

分析：
根据菱形性质得出AC⊥BD，AD∥B∥，求出∠CBO，根据平行线的性质求出∠ADO即可．

解答：
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∵∠BCO=55°，
∴∠CBO=90°﹣55°=35°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO=35°，
故答案为：35°．

点评：
本题考查了菱形的性质，平行线的性质的应用，注意：菱形的对角线互相垂直，菱形的对边平行．

　
14．（3分）（2014•大连）如图，从一般船的点A处观测海岸上高为41m的灯塔BC（观测点A与灯塔底部C在一个水平面上），测得灯塔顶部B的仰角为35°，则观测点A到灯塔BC的距离约为　59　m（精确到1m）．
（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）



考点：
解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.

分析：
根据灯塔顶部B的仰角为35°，BC=41m，可得tan∠BAC=
，代入数据即可求出观测点A到灯塔BC的距离AC的长度．

解答：
解：在Rt△ABC中，
∵∠BAC=35°，BC=41m，
∴tan∠BAC=
，
∴AC=
=
≈59（m）．
故答案为：59．

点评：
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．

　
15．（3分）（2014•大连）如表是某校女子排球队队员的年龄分布：
年龄
13
14
15
16

频数
1
2
5
4

则该校女子排球队队员的平均年龄为　15　岁．

考点：
加权平均数．.

分析：
根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．

解答：
解：根据题意得：
（13+14×2+15×5+16×4）÷12=15（岁），
答：该校女子排球队队员的平均年龄为15岁；
故答案为：15．

点评：
此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键．

　
16．（3分）（2014•大连）点A（x1，y1）、B（x2，y2）分别
在双曲线y=﹣的两支上，若y1+y2＞0，则x1+x2的范围是　＞0　．

考点：
反比例函数图象上点的坐标特征．.

分析：
先把点A（x1，y1）、B（x2，y2）代入双曲线y=﹣，用y1、y2表示出x1，x2，再根据y1+y2＞0即可得出结论．

解答：
解：∵A（x1，y1）、B（x2，y2）分别在双曲线y=﹣的两支上，
∴y1y2＜0，y1=﹣
，y2=﹣
，
∴x1=﹣
，x2=﹣
，
∴x1+x2=﹣
﹣
=﹣
，
∵y1+y2＞0，y1y2＜0，
∴﹣
＞0，即x1+x2＞0．
故答案为：＞0．

点评：
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

　
三、解答题（本题共4小题，17.18.19各9分，20题12分，共39分）
17．（9分）（2014•大连）
（1﹣
）+
+（）﹣1．

考点：
二次根式的混合运算；负整数指数幂．.

分析：
分别进行二次根式的乘法运算，二次根式的化简，负整数指数幂的运算，然后合并．

解答：
解：原式=
﹣3+2
+3=3
．

点评：
本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握各知识点的运算法则．

　
18．（9分）（2014•大连）解方程：
=
+1．

考点：
解分式方程．.

专题：
计算题．

分析：
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

解答：
解：去分母得：6=x+2x+2，
移项合并得：3x=4，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解．

点评：
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

　
19．（9分）（2014•大连）如图：点A、B、C、D在一条直线上，AB=CD，AE∥BF，CE∥DF．求证：AE=BF．



考点：
全等三角形的判定与性质．.

专题：
证明题．

分析：
根据两直线平行，同位角相等可得∠A=∠FBD，∠D=∠ACE，再求出AC=BD，然后利用“角边角”证明△ACE和△BDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答：
证明：∵AE∥BF，
∴∠A=∠FBD，
∵CE∥DF，
∴∠D=∠ACE，
∵AB=C
D，
∴AB+BC=CD+BC，
即AC=BD，
在△ACE和△BDF中，
，
∴△ACE≌△BDF（ASA），
∴AE=BF．

点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形的判定方法并确定出全等的条件是解题的关键．

　
20．（12分）（2014•大连）某地为了解气温变化情况，对某月中午12时的气温（单位：℃）进行了统计．如表是根据有关数据制作的统计图表的一部分．
分组
气温x
天数

A
 4≤x＜8
a

B
 8≤x＜12
6

C
 12≤x＜16
9

D
 16≤x＜20
8

E
 20≤x＜24
4

根据以上信息解答下列问题：
（1）这个月中午12时的气温在8℃至12℃（不含12℃）的天数为　6　天，占这个月总天数的百分比为　20　%，这个月共有　30　天；
（2）统计表中的a=　3　，这个月中行12时的气温在　12≤x＜16　范围内的天数最多；
（3）求这个月中午12时的气温不低于16℃的天数占该月总天数的百分比．



考点：
频数（率）分布表；扇形统计图．.

分析：
（1）根据统计表即可直接求得气温在8℃至12℃（不含12℃
）的天数，根据扇形统计图直接求得占这个月总天数的百分比为，据此即可求得总天数；
（2）a等于总天数减去其它各组中对应的天数；
（3）利用百分比的定义即可求解．

解答：
解：（1）这个月中午12时的气温在8℃至12℃（不含12℃）的天数为6天，占这个月总天数的百分比为20%，这个月共有6÷20%=30（天）；
（2）a=30﹣6﹣9﹣8﹣4=3（天），这个月中行12时的气温在12≤x＜16范围内的天数最多；
（3）气温不低于16℃的天数占该月总天数的百分比是：
×100%=40%．

点评：
本题难度中等，考查统计图表的识别；解本题要懂得频率分布直分图的意义，了解频率分布直分图是一种以频数为纵向指标的条形统计图．

　
四、解答题（共3小题，其中21.22各9分，23题10分，共28分）
21．（9分）（2014•大连）某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．
（1）求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；
（2）2014年这种产品的产量应达到多少万件？

考点：
一元二次方程的应用．.

专题：
增长率问题．

分析：
（1）根据提高后的产量=提高前的产量（1+增
长率），设年平均增长率为x，则第一年的常量是100（1+x），第二年的产量是100（1+x）2，即可列方程求得增长率，然后再求第4年该工厂的年产量．
（2）2014年的产量是100（1+x）．

解答：
解：（1）2013年到2015年这种产品产量的年增长率x，则
100（1+x）2=121，
解得 x1=0.1=10%，x2=﹣2.1（舍去），
答：2013年到2015年这种产品产量的年增长率10%．

（2）2014年这种产品的产量为：100（1+0.1）=110（万件）．
答：2014年这种产品的产量应达到110万件．

点评：
考查了一元二次方程的应用，本题运用增长率（下降率）的模型解题．读懂题意，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键．

　
22．（9分）（2014•大连）小明和爸爸进行登山锻炼，两人同时从山脚下出发，沿相同路线匀速上山，小明用8分钟登上山顶，此时爸爸距出发地280米．小明登上山顶立即按原路匀速下山，与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地．小明、爸爸在锻炼过程中离出发地的路程y1（米）、y2（米）与小明出发的时间x（分）的函数关系如图．
（1）图中a=　8　，b=　280　；
（2）求小明的爸爸下山所用的时间．



考点：
一次函数的应用．.

分析：
（1）根据图象可判断出小明到达山顶的时间，爸爸距离山脚下的路程．
（2）由图象可以得出爸爸上山的速度和小明下山的速度，再求出小明从下山到与爸爸相遇用的时间，再求出爸爸上山的路程，小与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地．利用爸爸行的路程除以小明的速度就是所求的结果．

解答：
解：（1）由图象可以看出图中a=8，b=280，
故答案为：8，280．

（2）由图象可以得出爸爸上山的速度是：280÷8=35米/分，小明下山的速度是：400÷（24﹣8）=25米/分，
∴小明从下山到与爸爸相遇用的时间是：（400﹣280）÷（35+25）=2分，
∴2分爸爸行的路程：35×2=70米，
∵小与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地．
∴小明的爸爸下山所用的时间：（280+70）÷25=14分．

点评：
本题考查函数的图象的知识，有一定的难度，解答此类题目的关键计算出小明下山的速度及爸爸上山的路程．

　
23．（10分）（2014•大连） 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD与⊙O相切，BD∥AC．
（1）图中∠OCD=　90　°，理由是　圆的切线垂直于经过切点的半径　；
（2）⊙O的半径为3，AC=4，求CD的长．



考点：
切线的性质．.

分析：
（1）根据切线的性质定理，即可解答；
（2）首先证明△ABC∽△CDB，利用相似三角形的对应边的比相等即可求解．

解答：
解：（1）∵CD与⊙O相切，
∴OC⊥CD，（圆的切线垂直于经过切点的半径）
∴∠OCD=90°；
故答案是：90，圆的切线垂直于经过切点的半径；

（2）连接BC．
∵BD∥AC，
∴∠CBD=∠OCD=90°，
∴在直角△ABC中，BC=
=
=2
，
∠A+∠ABC=90°，
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠ABC，
∴∠A+∠BCO=90°，
又∵∠OCD=90°，即∠
BCO+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠A，
又∵∠CBD=∠OCD，
∴△ABC∽△CDB，
∴
=
，
∴
=
，
解得：CD
=3
．



点评：
本题考查了切线的性质定理以及相似三角形的判定与性质，证明两个三角形相似是本题的关键．

　
五、解答题（共3题，其中24题11分，25.26各12分，共35分）
24．（11分）（2014•大连）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．折叠纸片使点B落在AD上，落点为B′．点B′从点A开始沿AD移动，折痕所在直线l的位置也随之改变，当直线l经过点A时，点B′停止移动，连接BB′．设直线l与AB相交于点E，与CD所在直线相交于点F，点B′的移动距离为x，点F与点C的距离为y．
（1）求证：∠BEF=∠AB′B；
（2）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．



考点：
翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．.

分析：
（1）先由等腰三角形中的三线合一，得出∠BOE=90°，再由∠ABB′+∠BEF=90°，∠ABB′+∠AB′B=90°，得出∠BEF=∠AB′B；
（2）①当点F在线段CD上时，如图1所示．作FM⊥AB交AB于点E，在RT△EAB′中，利用勾股定理求出AE，再由tan∠AB′B=tan∠BEF列出关系式写出x的取值范围即可，
②当点F在点C下方时，如图2所示．利用勾股定理与三角函数，列出关系式，写出x的取值范围，

解答：
（1）证明：如图，由四边形ABCD是矩形和折叠的性质可知，BE=B′E，∠BEF=∠B′EF，


∴在等腰△BEB′中，EF是角平分线，
∴EF⊥BB′，∠BOE=90°，
∴∠ABB′+∠BEF=90°，
∵∠ABB′+∠AB′B=90°，
∴∠BEF=∠AB′B；

（2）解：①当点F在CD之间时，如图1，作FM⊥AB交AB于点E，


∵AB=6，BE=EB′，AB′=x，BM=FC=y，
∴在RT△EAB′中，EB′2=AE2+AB′2，
∴（6﹣AE）2=AE2+x2
解得AE=
，
tan∠AB′B=
=，tan∠BEF=
=
，
∵由（1）知∠B
EF=∠AB′B，
∴=
，
化简，得y=
x2﹣x+3，（0＜x≤8﹣2
）
②当点F在点C下方时，如图2所示．
设直线EF与BC交于点K


设∠ABB′=∠BKE=∠CKF=θ，则tanθ=
=．
BK=
，CK=BC﹣BK=8﹣
．
∴CF=CK•tanθ=（8﹣
）•tanθ=8tanθ﹣BE=x﹣BE．
在Rt△EAB′中，EB′2=AE2+AB′2，
∴（6﹣BE）2+x2=BE2
解得BE=
．
∴CF=x﹣BE=x﹣
=﹣
x2+x﹣3
∴y=﹣
x2+x﹣3（8﹣2
＜x≤6）
综上所述，
y=
．

点评：
本题考查了折叠的问题及矩形的性质，解题的关键是折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

　
25．（12分）（2014•大连）如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点，且DF
=FE．


（1）图1中是否存在与∠BDE相等的角？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；
（2）求证：BE=EC；
（3）若将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”和“点F是DE与AC的交点，且DF=FE”分别改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”和“点F是ED的延长线与AC的交点，且DF=kFE”，其他条件不变（如图2）．当AB=1，∠ABC=a时，求BE的长（用含k、a的式子表示）．

考点：
相似形综合题；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．.

专题：
综合题．

分析：
（1）运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质就可解决问题．
（2）过点E作EG∥AC，交AB于点G，如图1，要证BE=CE，只需证BG=AG，由DF=FE可证到DA=
AG，只需证到DA=BG即DG=AB，也即DG=AC即可．只需证明△DCA≌△△EDG即可解决问题．
（3）过点A作AH⊥BC，垂足为H，如图2，可求出BC=2cosα．过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G，易证△DCA≌△△EDG，则有DA=EG，CA=DG=1．易证△ADF∽△GDE，则有
．由DF=kFE可得DE=EF﹣DF=（1﹣k）EF．从而可以求得AD=
，即GE=
．易证△ABC∽△GBE，则有
，从而可以求出BE．

解答：
解：（1）∠DCA=∠BDE．
证明：∵AB=AC，DC=DE，
∴∠ABC=∠ACB，∠DEC=∠DCE．
∴∠BDE=∠DEC﹣∠DBC=∠DCE﹣∠ACB=∠DCA．

（2）过点E作EG∥AC，交AB于点G，如图1，
则有∠DAC=∠DGE．
在△DCA和△ED