第17讲　几何初步及平行线、相交线
第18讲　三角形
第19讲　全等三角形
第20讲　等腰三角形
第21讲　直角三角形与勾股定理
第22讲　相似三角形及其应用
第23讲　锐角三角函数
第24讲　解直角三角线及其应用
第四单元 三角形
中考数学总复习
第四单元 三角形
第17讲┃　几何初步及平行线、相交线
第17课时　几何初步及平行
线、相交线
第17讲┃ 考点聚焦
考点1 三种基本图形——直线、射线、线段
一
线段
长度
第17讲┃ 考点聚焦
考点2 角
射线
顶点
两边
端点
直角
锐角
考点3 几何计数
第17讲┃ 考点聚焦
考点4 互为余角、互为补角
第17讲┃ 考点聚焦
相等
相等
考点5 邻补角、对顶角
第17讲┃ 考点聚焦
考点6 “三线八角“的概念
第17讲┃ 考点聚焦
考点7 平行
第17讲┃ 考点聚焦
不相交
一
平行
平行
第17讲┃ 考点聚焦
考点8 垂直
第17讲┃ 考点聚焦
直角
垂足
一
第17讲┃ 考点聚焦
垂线段
垂线段
垂线段
第17讲┃ 归类示例
►　类型之一　线与角的概念和基本性质
命题角度：
1. 线段、射线和直线的性质及计算；
2. 角的有关性质及计算．
例1 [2012·北京] 如图17－1，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD＝76°，则∠BOM等于(　　)
A．38° B．104°
C．142° D．144°
C
图17－1
第17讲┃ 归类示例
►　类型之二　直线的位置关系
命题角度：
1. 直线平行与垂直的判定及简单应用；
2. 角度的有关计算.
第17讲┃ 归类示例
图17－2
例2 [2012·义乌] 如图17－2，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1＝40°，则∠2的度数为________．
50°
第17讲┃ 归类示例
[解析] 如图，∵∠1＝40°，
∴∠3＝180°－∠1－90°＝180°－40°－90°＝50°.
∵a∥b，∴∠2＝∠3＝50°.故答案为：50°.
计算角度问题时，要注意挖掘图形中的隐含条件(三角形内角和、互为余角或补角、平行性质、垂直)及角平分线知识的应用．
第17讲┃ 归类示例
► 类型之三 度、分、秒的计算
例3 [2011·芜湖] 一个角的补角是36°35′，这个角是____________.
第17讲┃ 归类示例
命题角度：
1．度、分、秒的换算；
2．度、分、秒的计算．
143°25′
[解析] 这个角为180°－36°35′＝143°25′
第17讲┃ 归类示例
注意角的度数之间的进率是60而不是10，这是容易出错的地方．
► 类型之四 平行线的性质和判定的应用
命题角度：
1. 平行线的性质；
2. 平行线的判定；
3. 平行线的性质和判定的综合应用．
第17讲┃ 归类示例
例4 如图17－3，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以证明．
图17－3
第17讲┃ 归类示例
解：①∠APC ＝∠PAB ＋∠PCD；
②∠APC＝360°－(∠PAB ＋∠PCD)；
③∠APC＝∠PAB －∠PCD；
④∠APC＝∠PCD－∠PAB.
如证明① ∠APC ＝∠PAB ＋∠PCD.
证明：过P点作PE∥AB，所以∠A＝∠APE.
又因为AB∥CD，所以PE∥CD，所以∠C＝∠CPE，
所以∠A＋∠C＝∠APE＋∠CPE，
∴∠APC ＝∠PAB ＋∠PCD.
同理可证明其他的结论．
平行线的性质与判定的综合运用，是解决与平行线有关的问题的常用方法．先由“形”得到“数”，即应用特征得到角相等(或互补)，再利用角之间的关系进行计算，得到新的关系．然后再由“数”到“形”得到一组新的平行．
第17讲┃ 归类示例
第18讲┃　三角形
第18课时　三角形
第18讲┃ 考点聚焦
考点1 三角形的分类
1．按角分：
第18讲┃ 考点聚焦
2．按边分：
第18讲┃ 考点聚焦
考点2 三角形中的重要线段
内
内
锐角
直角
钝角
考点3 三角形的中位线
第18讲┃ 考点聚焦
中点
平行
一半
考点4 三角形的三边关系
第18讲┃ 考点聚焦
大于
小于
考点5 三角形的内角和定理及推理
第18讲┃ 考点聚焦
180°
不相邻的两个内角
不相邻
互余
360°
第18讲┃ 归类示例
►　类型之一　三角形三边的关系
命题角度：
1. 判断三条线段能否组成三角形；
2. 求字母的取值范围；
3. 三角形的稳定性．
例1 [2012·长沙]现有3 cm，4 cm，7 cm，9 cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
B
第18讲┃ 归类示例
[解析] 四条木棒的所有组合：3，4，7和3，4，9和3，7，9和4，7，9；只有3，7，9和4，7，9能组成三角形．故选B.
►　类型之二　三角形的重要线段的应用
命题角度：
1. 三角形的中线、角平分线、高线；
2. 三角形的中位线．
第18讲┃ 归类示例
图18－1
例2 [2012·盐城]如图18－1，在△ABC中， D，E分别是边AB、AC的中点，∠B＝50°.现将△ABC沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点A1，则∠BDA1的度数为________．
80°
第18讲┃ 归类示例
[解析] 由折叠的性质可知AD＝A1D，根据中位线的性质得DE∥BC；然后由两直线平行，同位角相等推知∠ADE＝∠B＝50°；最后由折叠的性质知∠ADE＝∠A1DE，所以∠BDA1＝180°－2∠B＝80°.
► 类型之三 三角形内角与外角的应用
例3 [2012·乐山]如图18－2，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An－1BC的平分线与∠An－1CD的平分线交于点An. 设∠A＝θ.
则(1)∠A1＝________； (2)∠An＝________.
第18讲┃ 归类示例
命题角度：
1. 三角形内角和定理；
2. 三角形内角和定理的推论．
图18－2
第18讲┃ 归类示例
[解析] (1)根据角平分线的定义可得∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1，整理即可得解；
(2)与(1)同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律再结合脚码即可得解．
第18讲┃ 归类示例
第18讲┃ 归类示例
综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平分线的性质，灵活地运用这些基础知识，合理地推理，可以灵活的解决内外角的关系．得到结论．
第19讲┃　全等三角形
第19课时　全等三角形
第19讲┃ 考点聚焦
考点1 全等图形及全等三角形
全等图形
大小
第19讲┃ 考点聚焦
考点2 全等三角形的性质
相等
相等
相等
相等
相等
考点3 全等三角形的判定
第19讲┃ 考点聚焦
ASA
AAS
SAS
HL
第19讲┃ 考点聚焦
考点4 利用“尺规”作三角形的类型
第19讲┃ 考点聚焦
考点5 角平分线的性质与判定
第19讲┃ 考点聚焦
距离
平分线
第19讲┃ 归类示例
►　类型之一　全等三角形性质与判定的综合应用
命题角度：
1. 利用SSS、ASA、AAS、SAS、HL判定三角形全等；
2. 利用全等三角形的性质解决线段或角之间的关系与计算问题．
例1 [2012·重庆 ]已知：如图19－1，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B ＝∠E，求证：BC＝ED.
图19－1
第19讲┃ 归类示例
第19讲┃ 归类示例
1．解决全等三角形问题的一般思路：①先用全等三角形的性质及其他知识，寻求判定一对三角形全等的条件；②再用已判定的全等三角形的性质去解决其他问题．即由已知条件(包含全等三角形)判定新三角形全等、相应的线段或角的关系；
2．轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等；
3．利用全等三角形性质求角的度数时注意挖掘条件，例如对顶角相等、互余、互补等．
►　类型之二　全等三角形开放性问题
命题角度：
1. 三角形全等的条件开放性问题；
2. 三角形全等的结论开放性问题．
第19讲┃ 归类示例
图19－2
例2 [2012·义乌 ]如图19－2，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF.添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是________．(不添加辅助线)
DE＝DF
第19讲┃ 归类示例
第19讲┃ 归类示例
由于判定全等三角形的方法很多，所以题目中常给出(有些是推出)两个条件，让同学们再添加一个条件，得出全等，再去解决其他问题．这种题型可充分考查学生对全等三角形的掌握的牢固与灵活程度．
► 类型之三 利用全等三角形设计测量方案
例3 [2012·柳州]如图19－3，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是(　　)

A．PO B．PQ
C．MO D．MQ
第19讲┃ 归类示例
命题角度：
全等三角形的判定．
图19－3
B
第19讲┃ 归类示例
[解析] 要想利用△PQO≌△NMO求得MN的长，只需求得线段PQ的长，故选B.
► 类型之四　角平分线
例4 (1)班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角(如图19－4所示)．设计了如下方案：(Ⅰ)∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM＝PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．(Ⅱ)∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM＝PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
第19讲┃ 归类示例
命题角度：
(1)角平分线的性质；
(2)角平分线的判定．
第19讲┃ 归类示例
(1)方案(Ⅰ)、方案(Ⅱ)是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；
(2)在方案(Ⅰ)PM＝PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由．
图19－4
第19讲┃ 归类示例
第19讲┃ 归类示例
(2)当∠AOB是直角时，方案(Ⅰ)可行．
∵四边形内角和为360°，又若PM⊥OA，PN⊥OB，则∠OMP＝∠ONP＝90°，∠MPN＝90°，
∴∠AOB＝90°.
∵若PM⊥OA，PN⊥OB，
且PM＝PN，
∴OP为∠AOB的平分线．
当∠AOB不为直角时，此方案不可行．
因四边形内角和为360°，若∠AOB不为直角，则PM、PN不可能垂直OA、OB.
第20讲┃　等腰三角形
第20课时　等腰三角形
第20讲┃ 考点聚焦
考点1 等腰三角形的概念与性质
两边
一
等边对等角
中线
第20讲┃ 考点聚焦
第20讲┃ 考点聚焦
考点2 等腰三角形的判定
等角对等边
考点3 等边三角形
第20讲┃ 考点聚焦
相等
60°
3
考点4 线段的垂直平分线
第20讲┃ 考点聚焦
相等
垂直平分线
距离相等
第20讲┃ 归类示例
►　类型之一　等腰三角形的性质的运用
命题角度：
1. 等腰三角形的性质；
2. 等腰三角形“三线合一”的性质；
3. 等腰三角形两腰上的高(中线)、两底角的平分线的性质.
例1 如图20－1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F.
求证：EF＝ED.
图20－1
第20讲┃ 归类示例
[解析] 根据等腰三角形三线合一，确定AD⊥BC，又因为EF⊥AB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证出结论．
证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC.
∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF＝ED.
第20讲┃ 归类示例
(1)利用线段的垂直平分线进行等线段转换，进而进行角度转换．
(2)在同一个三角形中，等角对等边与等边对等角进行互相转换．
►　类型之二　等腰三角形判定
命题角度：
等腰三角形的判定．
第20讲┃ 归类示例
图20－2
例2 [2011·扬州 ]已知：如图20－2，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
第20讲┃ 归类示例
[解析] (1)利用△BDC≌△CEB 证明∠DCB＝∠EBC；(2)连接AO，通过HL证明△ADO≌△AEO，从而得到∠DAO＝∠EAO，利用角平分线上的点到两边的距离相等，证明结论．
解：(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
∵BD、CE是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.
又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB (AAS)．
∴∠DBC＝∠ECB, ∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．
第20讲┃ 归类示例
(2)点O是在∠BAC的平分线上．
连接AO.
∵△BDC≌△CEB，∴DC＝EB.
∵OB＝OC，∴ OD＝OE.
又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO，
∴△ADO≌△AEO(HL)．
∴∠DAO＝∠EAO. ∴点O是在∠BAC的平分线上．
第20讲┃ 归类示例
要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有(1)通过等角对等边得两边相等；(2)通过三角形全等得两边相等；(3)利用垂直平分线的性质得两边相等．
► 类型之三 等腰三角形的多解问题
例3 [2012·广安]已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝0.5 BC，则△ABC底角的度数为(　　)
A．45° B．75°
C．45°或75° D．60°
第20讲┃ 归类示例
命题角度：
1. 遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角有底角和顶角之分；
2. 遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况．
C
第20讲┃ 归类示例
第20讲┃ 归类示例
因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况．故当题中条件给出不明确时，要分类讨论进行解题，才能避免漏解情况．
► 类型之四　等边三角形的判定与性质
例4 [2011·绍兴] 数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图20－3.试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．
第20讲┃ 归类示例
命题角度：
等边三角形的判定与性质的综合．
图20－3
第20讲┃ 归类示例
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图20－4①，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：
AE________DB(填“>”“<”或“＝”)
图20－4
①
②
＝
第20讲┃ 归类示例
(2)特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE________DB(填“>”“<”或“＝”)．理由如下：如图20－4②，过点E作EF∥BC，交AC于点F.
(请你完成以下解答过程)
(3)拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC.若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长(请你直接写出结果)．
＝
(3)1或3.
第20讲┃ 归类示例
方法一：等边三角形ABC中，
∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
AB＝BC＝AC.
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，
∴△AEF是等边三角形，∴AE＝AF＝EF，
∴AB－AE＝AC－AF，即BE＝CF.
又∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED＝60°，
∠ACB＝∠ECB＋∠FCE＝60°，
且ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，∴∠BED＝∠FCE.
又∵∠DBE＝∠EFC＝120°，
∴△DBE≌△EFC，
∴DB＝EF，
∴AE＝BD.
第20讲┃ 归类示例
方法二：在等边三角形ABC中，
∠ABC＝∠ACB＝60°，∠ABD＝120°.
∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED，∠ACB＝∠ECB＋∠ACE，
ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，
∴∠BED＝∠ACE.
∵FE∥BC，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，
∴△AEF是正三角形，∠EFC＝180°－∠ACB＝120°＝∠ABD.
∴△EFC≌△DBE，
∴DB＝EF，
而由△AEF是正三角形可得EF＝AE.
∴AE＝DB.
第20讲┃ 归类示例
等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于60°的结论，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者构造全等．
第21讲┃　直角三角形与勾股定理
第21课时　直角三角形与
勾股定理
第21讲┃ 考点聚焦
考点1 直角三角形的概念、性质与判定
斜边的一半
直角
斜边的一半
第21讲┃ 考点聚焦
第21讲┃ 考点聚焦
考点2 勾股定理及逆定理
a2＋b2＝c2
a2＋b2＝c2
考点3 互逆命题
第21讲┃ 考点聚焦
原命题
逆命题
逆定理
考点4 命题、定义、定理、公理
第21讲┃ 考点聚焦
真命题
假命题
条件
结论
公理
证明
定理
第21讲┃ 归类示例
►　类型之一　利用勾股定理求线段的长度
命题角度：
1. 利用勾股定理求线段的长度；
2. 利用勾股定理解决折叠问题．
例1 [2011·黄石] 将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图21－1，则三角板的最大边的长为(　　)
图21－1
D
第21讲┃ 归类示例
第21讲┃ 归类示例
勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证明平方关系的问题．
►　类型之二　实际问题中勾股定理的应用
命题角度：
1. 求最短路线问题；
2. 求有关长度问题．
第21讲┃ 归类示例
例2 如图21－2，一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．
(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；
(3)求点B1到最短路径的距离．
第21讲┃ 归类示例
图21－2
第21讲┃ 归类示例
第21讲┃ 归类示例
利用勾股定理求最短线路问题的方法：将起点和终点所在的面展开成为一个平面，进而利用勾股定理求最短长度．
► 类型之三 勾股定理逆定理的应用
例3 [2012·广西]已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有(　　)
A．② B．①②
C．①③ D．②③
第21讲┃ 归类示例
命题角度：
勾股定理逆定理．
D
第21讲┃ 归类示例
[解析] 根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
①∵22＋32＝13≠42，
∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意；
②∵32＋42＝52 ，
∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意；
③∵12＋(√3)2＝22，
∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意．
故构成直角三角形的有②③.
故选D.
第21讲┃ 归类示例
判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
第21讲┃ 回归教材
巧用勾股定理探求面积关系
教材母题　人教版八下P71T11
如图21－3，∠C＝90°，图中有阴影的三个半圆的面积有什么关系？
图21－3
第21讲┃ 回归教材
[点析] 若将半圆换成正三角形、正方形或任意的相似形，S1＋S2＝S3都成立．
第21讲┃ 回归教材
1．[2011·贵阳] 如图21－4，已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为________．
图21－4
第21讲┃ 回归教材
第21讲┃ 回归教材
2．[2010·乐山] 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．图21－5是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn.设第一个正方形的边长为1.
请解答下列问题：
(1)S1＝________；
(2)通过探究，用含n的代数式表示Sn，则Sn＝________________.
图21－5
第22讲┃　相似三角形及其应用
第22课时　相似三角形及其应用
第22讲┃ 考点聚焦
考点1 相似图形的有关概念
第22讲┃ 考点聚焦
考点2 比例线段
a∶b＝c∶d
0.618
两
考点3 平行线分线段成比例定理
第22讲┃ 考点聚焦
相等
相等
考点4 相似三角形的判定
第22讲┃ 考点聚焦
相似
比
相应的夹角
两个角对应相等
考点5 相似三角形及相似多边形的性质
第22讲┃ 考点聚焦
考点6 位似
第22讲┃ 考点聚焦
相似比
一
平行
第22讲┃ 考点聚焦
考点7 相似三角形的应用
第22讲┃ 考点聚焦
第22讲┃ 归类示例
►　类型之一　比例线段
命题角度：
1. 比例线段；
2. 黄金分割在实际生活中的应用；
3. 平行线分线段成比例定理．
例1 [2011·肇庆 ]如图22－1，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝(　　)

A．7　　　B．7.5　　
C．8　　　D．8.5
B
图22－1
第22讲┃ 归类示例
►　类型之二　　相似三角形的性质及其应用
命题角度：
1. 利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度；
2. 利用相似三角形性质探求比值关系．
第22讲┃ 归类示例
例2 [2011·怀化] 如图22－2，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40 cm，AD＝30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点