中考数学复习专题练习题二附参考答案

§2.2　一元二次方程
一、选择题
1．(原创题)若a是方程x2－x－1＝0的一个根，则－a3＋2a＋2 015的值为(　　)
A．2 015 B．2 014 C．2 013 D．－2 015
解析　∵a是方程x2－x－1＝0的一个根，∴a2－a－1＝0.∴a2＝a＋1，a2－a＝1.∴－a3＋2a＋2 015＝－a·a2＋2a＋2 015＝－a·(a＋1)＋2a＋2 015＝－a2－a＋2a＋2 015＝－a2＋a＋2 015＝－(a2－a)＋2 015＝2 014.故选B.
答案　B
2．(原创题)三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的解，则第三边的长为 (　　)
A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定
解析　原方程可变形为x2－10x＋25－4＝0，即(x－5)2－4＝0.因式分解，得(x－5＋2)(x－5－2)＝0.∴x－3＝0或x－7＝0，即x1＝3，x2＝7.根据三角形三边的关系，第三边还应满足6－2＜x＜6＋2，即4＜x＜8.所以第三边的长x＝7.故选A.
答案　A
3．(改编题)方程x2－bx＋2＝0有一个根是1，则方程的另一个根是 (　　)
A．1 B．2 C．3 D.
解析　把x＝1代入原方程得1－b＋2＝0，∴b＝3，∴原方程为x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2.
答案　B
4．(改编题)方程x(x－5)＝0的根是 (　　)
A．x＝0 B．x＝5
C．x1＝0，x2＝5 D．x1＝0，x2＝－5
解析　本题考查一元二次方程的解法，应采用因式分解法．∵x(x－5)＝0，∴x＝0或x－5＝0，即x1＝0，x2＝5.故选C.
答案　C
5．(改编题)如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为 (　　)


A．32 B．126 C．135 D．144
解析　根据日历表可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16.设最小数为x，则最大数为x＋16，根据题意，得x(x＋16)＝192，解得x1＝8，x2＝－24(不合题意舍去)，故这九个数为8，9，10，15，16，17，22，23，24，这9个数的和为：8＋9＋10＋15＋16＋17＋22＋23＋24＝144.故选D.
答案　D
6．(原创题)若反比例函数y＝与一次函数y＝x＋2的图象没有交点，则k的值可以是 (　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解析　从“形”上看两个函数图象没有交点，反映到“数”上就是组成的方程或方程组无解．∵反比例函数y＝与一次函数y＝x＋2的图象没有交点，∴无解，即＝x＋2无解，整理得x2＋2x－k＝0，∴Δ＝4＋4k＜0，解得k＜－1，四个选项中只有－2＜－1，所以只有A符合条件．
答案　A
二、填空题
7．(原创题)已知方程x2＋4x＋n＝0可以配方成(x＋m)2＝3，则(m－n)2 014＝________．
解析　∵(x＋m)2＝3，∴x2＋2mx＋m2－3＝0.
∴2m＝4，n＝m2－3.∴m＝2，n＝1.
∴(m－n)2 014＝(2－1)2 014＝1.
答案　1
8．(改编题)若关于x的方程ax2＋2(a＋2)x＋a＝0有实数解，那么实数a的取值范围是________．
解析　当ax2＋2(a＋2)x＋a＝0是一元二次方程即a≠0时，Δ＝4(a＋2)2－4a2≥0，解得a≥－1且a≠0；当a＝0时，原方程可化为4x＝0，是一元一次方程，有实数解；所以本题答案为a≥－1.
答案　a≥－1
9．(原创题)如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2－2m＝1，n2－2n＝1，那么m＋n－mn＝________．
解析　∵m2－2m＝1，即m2－2m－1＝0，∴可以把m看作是方程x2－2x－1＝0的根．∵n2－2n＝1，即n2－2n－1＝0，∴可以把n看作是方程x2－2x－1＝0的根．∴m，n是方程x2－2x－1＝0的两个不相等的实数根．∴m＋n＝2，mn＝－1.∴m＋n－mn＝2－(－1)＝3.
答案　3
10．(原创题)若a，b是一元二次方程x(x－2)＝x－2的两根，且点A(－a，－b)是反比例函数y＝图象上的一个点．若自点A向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴构成的矩形的面积是________．
解析　解方程x(x－2)＝x－2，得x1＝1，x2＝2，即a＝1，b＝2或a＝2，b＝1.把(－1，－2)或(－2，－1)代入y＝都可以得出k＝2，∴所求矩形的面积为2.
答案　2
三、解答题
11．(原创题)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
解　(1)△ABC是等腰三角形；
理由：∵x＝－1是方程的根，
∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0，
∴a＋c－2b＋a－c＝0，
∴a－b＝0，∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形；
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，
∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2，
∴△ABC是直角三角形；
(3)当△ABC是等边三角形时，
∴(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，可整理为：
2ax2＋2ax＝0，
∴x2＋x＝0，解得：x1＝0，x2＝－1.