中考菱形专题附参考答案
1、（2012•泸州）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（　　）
　
A．
24
B．
16
C．
4

D．
2






2、（2013凉山州）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（　　） A．14 B．15 C．16 D．17
3、（2013•绵阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（ ）A．
B．
C．
D．

4、（2013•内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=　 　．





5、（2013• 淄博）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，
使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（A）78°（B）75°（C）60°（D）45°
6、（2013•黔西南州）如图5所示，菱形ABCD的边长为4，且
于E，
于F，∠B=60°，则菱形的面积为_________。
7、（2013，河北）．如图4，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD， NF⊥AB. 若NF = NM = 2，ME = 3，则AN =
8、（2013•安徽）如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是___________．
9、（2013•临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是　 　．




10、（2013•黄冈）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO.



（2013•遂宁）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证：
（1）△ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．
12、（2013•恩施州）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为菱形．



13、（2013•常州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．
求证：四边形ABCD是菱形．
14、（2013•南宁）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别是边BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE的长．



（2013泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，∠EFD=∠BCD，并说明理由．
16、（2013•乌鲁木齐）如图．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别于BC、CD交于E、F，EH⊥AB于H．连接FH，求证：四边形CFHE是菱形．



（2013•临沂）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
18、（2013•龙岩）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点
O
，且
，
．动点M、N分别以每秒１个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿
和
运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．（1）求菱形ABCD的周长；（2）记
的面积为S, 求S关于t的解析式，并求S的最大值；（3）当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO＝∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．

答案
考点：菱形的性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质．
分析：根据菱形得出AB=BC，得出等边三角形ABC，求出AC，长，根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可．
解答：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=4，
∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16，
故选C．
（2013•绵阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（ ）
A．
B．
C．
D．

（2013•内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=　5　．



考点：
轴对称-最短路线问题；菱形的性质．

分析：
作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出OC、OB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．

解答：
解：

作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴NQ=BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CO=AC=3，BO=BD=4，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=5，
即NQ=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
故答案为：5．

点评：
本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．

（2013•遂宁）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证：
（1）△ADE≌△CDF；
（2）四边形ABCD是菱形．


（2013•恩施州）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为菱形．



（2013•黄冈）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO.

（2013•龙岩）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点
O
，且
，

．动点M、N分别以每秒１个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿
和
运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．
（1）求菱形ABCD的周长；
（2）记
的面积为S, 求S关于t的解析式，并求S的最大值；
（3）当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO＝∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．
. (1)在菱形ABCD中，
∵AC⊥BD
∴AD=
=50.
∴菱形ABCD的周长为200. 4分
(2) 过点M作MP⊥AD，垂足为点P.
①当0＜t≤40
∵

∴MP=

∴

=
6分
②当40∵Sin

∴MP=

∴


8分
∴

当0＜t≤40时，S随t的增大而增大，当t＝40时，最大值为480.
当40＜t≤50时，S随t的增大而减小，当t＝40时，最大值为480.
综上所述，S的最大值为480. 9分
（3）存在2个点P，使得∠DPO=∠DON. 10分
方法一：过点N作NF⊥OD于点F，
则
，DF=

∴OF=12，∴
11分
作
的平分线交NF于点G，过点G作GH⊥ON于点H.
∴



∴FG=

∴

设OD中垂线与OD的交点为K，由对称性可知：
∴
12分
∴

∴PK=
13分
根据菱形的对称性可知，在线段OD的下方存在与点P关于OD轴对称的点
.
∴存在两个点P到OD的距离都是
. 14分
方法二：如图，作ON的垂直平分线，交EF于点I，连结OI，IN.
过点N作NG⊥OD，NH⊥EF,垂足分别为G，H.
当t=30时，DN=OD=30，易知△DNG∽△DAO，
∴
．
即
．
∴NG=24,DG=18． 10分
∵EF垂直平分OD，
∴OE= ED＝15，EG=NH=3． 11分
设OI=R，EI=x,则
在Rt△OEI中，有R2=152+x2 ①
在Rt△NIH中，有R2=32+(24-x)2 ②
由①、②可得：

∴PE=PI+IE=
． 13分
根据对称性可得，在BD下方还存在一个点
也满足条件．
∴存在两个点P，到OD的距离都是
.
（2013•常州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．
求证：四边形ABCD是菱形．


（2013•南京）如图，将菱形纸片ABCD折迭，使点A恰好落在菱形的对
称中心O处，折痕为EF。若菱形ABCD的边长为2 cm，
(A=120(，则EF= cm。
（2013•南通）如图，菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对角线
AC的长是
A．20 B．15 C．10 D．5
（2013•南宁）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别是边BC、AD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE的长．


（2013泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，∠EFD=∠BCD，并说明理由．

（2013• 潍坊）如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD,请你添加一个适当的条件 ____________,使ABCD成为菱形.（只需添加一个即可）
（2013• 淄博）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，
使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点
D的折痕DE．则∠DEC的大小为
（A）78° （B）75°
（C）60° （D）45°

（2013•黔西南州）如图5所示，菱形ABCD的边长为4，且
于E，
于F，∠B=60°，则菱形的面积为_________。
（2013•乌鲁木齐）如图．在△

（2013•乌鲁木齐）如图．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别于BC、CD交于E、F，EH⊥AB于H．连接FH，求证：四边形CFHE是菱形．


（2013，河北）．如图4，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，
NF⊥AB. 若NF = NM = 2，ME = 3，则AN =
A．3 B．4
C．5

（2013•安徽）如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是________5_____．
（2013•临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是　3
　．



（2013•临沂）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．