匀变速直线运动的速度与位移的关系
速度与位移的关系式
1.公式：v2-v02=____。
2.推导：速度公式：v=_____。
位移公式：x= 。由以上两式可得：v2-v02=____。
2ax
v0+at
2ax
【自我思悟】
1.公式v2-v02=2ax中有几个矢量?如何确定各个矢量的正负?
提示：公式v2-v02=2ax涉及4个物理量,每个量都是矢量,选取正
方向之后,与正方向相同的物理量为正,与正方向相反的物理量
为负。
2.已知舰载飞机在甲板上加速的加速度为a,起飞速度为v,请问
航空母舰上飞行甲板的长度至少是多少。
提示：由速度位移关系式v2-v02=2ax得,飞机跑道的最小长度为
x= 。
【盲区扫描】
1.公式v2-v02=2ax适用于匀变速直线运动,而不是所有的直线运动。
2.物体做匀加速直线运动,应用公式v2-v02=2ax求解问题时,一般取初速度的方向为正方向。
3.物体做加速度与初速度方向相反的匀变速直线运动,应用公式v2-v02=2ax求解问题时,不一定取初速度的方向为正方向,也可以取加速度的方向为正方向。
4.对于末速度为零的匀减速直线运动,利用逆向思维法,速度与位移的关系可表示为v02=2ax(a表示加速度的大小)。
一、对公式v2-v02=2ax的理解　 深化理解
1.适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系,适用于匀变速直线运动。
2.意义：公式v2-v02=2ax反映了初速度v0、末速度v、加速度a、位移x之间的关系,当其中三个物理量已知时,可求另一个未知量。
3.公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量,应用时必须选取统一的正方向,一般选v0方向为正方向。
(1)物体做加速运动时,a取正值,做减速运动时,a取负值。
(2)x>0,说明物体通过的位移方向与初速度方向相同;x<0,说明位移的方向与初速度的方向相反。
4.两种特殊形式：
(1)当v0=0时,v2=2ax。(初速度为零的匀加速直线运动)
(2)当v=0时,-v02=2ax。(末速度为零的匀减速直线运动)
【微思考】
(1)物体做初速度为v0,加速度为a的匀加速直线运动,取初速度的方向为正方向,应用公式v2-v02=2ax求解运动位移x时的速度v,v有一正一负两解,两解都有意义吗?为什么?
提示：物体做单一方向的加速直线运动,速度不可能是负值,故正值有意义,负值无意义应舍掉。
(2)物体做初速度为v0(>0),加速度为a(<0)的匀变速直线运动,取初速度的方向为正方向,应用公式v2-v02=2ax求解运动位移x(>0)时的速度v,v有一正一负两解,两解都有意义吗?为什么?
提示：物体先减速运动,速度减到零后再反向加速运动,速度的两个解都有意义,正值与负值分别表示减速运动过程中和加速运动过程中经过位移x处的速度。
【题组通关】
【示范题】(2014·徐州高一检测)某种类型的飞机起飞滑行时,从静止开始做匀加速运动,加速度大小为4m/s2,飞机速度达到80 m/s时离开地面升空。如果在飞机达到起飞速度时,突然接到命令停止起飞,飞行员立即使飞机制动,飞机做匀减速运动,加速度大小为5 m/s2。如果要求你为该类型的飞机设计一条跑道,使在这种特殊情况下,飞机不滑出跑道,你设计的跑道长度至少要多长?
【解题探究】(1)该题的求解思路：先求解_______________的
位移,再求解_____________________的位移,最后求解_______,
即为跑道的最小长度。
(2)求解飞机匀减速运动位移的思路：_____________________
______________________________________________________
飞机匀加速运动
飞机匀减速运动到静止
总位移
选取运动的方向为正方
向，确定初速度、加速度的正负，代入公式v2-v02=2ax求解。
【规范解答】设飞机运动方向为正方向,由题意知,飞机匀加速滑行时v01=0,a1=4m/s2,v1=80m/s。
根据公式v2-v02=2ax
得其位移x1= m=800 m。
匀减速滑行时v02=80m/s,a2=-5m/s2,v2=0。
根据公式v2-v02=2ax
得其位移x2= m=640 m。
跑道长度至少为x=x1+x2=1440m。
答案：1440m
【通关1+1】
1.(多选)物体先做初速度为零的匀加速运动,加速度大小为a1,当速度达到v时,改为以大小为a2的加速度做匀减速运动,直至速度为零。在加速和减速过程中物体的位移和所用时间分别为x1、t1和x2、t2,下列各式成立的是(　　)
【解析】选A、C。在加速运动阶段v2=2a1x1，v=a1t1；在减速
运动阶段0-v2=2(-a2)x2，0-v=-a2t2。由以上几式可得
进一步可得 选项A、C正确。
2.两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若
它们的初速度之比为1∶2,它们运动的最大位移之比为( )
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶ D.2∶1
【解析】选B。由0-v02=2ax得 故
B正确。
【变式训练】1.已知长为L的光滑斜面，物体从斜面顶端由静
止开始以恒定的加速度下滑，当物体的速度是到达斜面底端速
度的 时，它沿斜面已下滑的距离是( )

【解析】选B。若物体到达底端时的速度为v，对于整个下滑过
程有v2-0=2aL，若当物体速度为 时，下滑的距离为L′，则
有( )2-0=2aL′，由以上两式可得，L′= ，B正确。
2.汽车正在以12 m/s的速度在平直的公路上前进,在它的正前方15 m处有一障碍物,汽车立即刹车做匀减速运动,加速度大小为6 m/s2,刹车后3 s末汽车和障碍物之间的距离为(　　)
A.3 m B.6 m C.12 m D.9 m
【解析】选A。汽车从刹车到静止用时t= =2 s,刹车后3 s末
汽车已静止,此过程汽车前进的距离x= m=12 m,
故刹车后3 s末汽车和障碍物之间的距离为15 m-12 m=3 m,A正
确。
【素养升华】
运动学问题的一般求解思路
(1)弄清题意。建立一幅物体运动的图景,尽可能地画出草图,并在图中标明一些位置和物理量。
(2)弄清研究对象。明确哪些是已知量,哪些是未知量,据公式特点选用恰当公式。
(3)列方程、求解。必要时要检查计算结果是否与实际情况相符合。
二、匀变速直线运动的几个规律　 拓展延伸
1.中间位置的速度与初、末速度的关系：
(1)中间位置的速度公式：在匀变速直线运动中，某段位移x
的初、末速度分别是v0和v,加速度为a,中间位置的速度为
则
(2)公式的推导：据速度与位移关系式，对前一半位移有
对后一半位移有 即
所以
2.初速度为零的匀变速直线运动的常用推论：
(1)等分运动时间(以T为时间单位)。
①1T末、2T末、3T末…瞬时速度之比：
v1∶v2∶v3…=1∶2∶3…
②1T内、2T内、3T内…位移之比：
x1∶x2∶x3…=1∶4∶9…
③第一个T内、第二个T内、第三个T内…的位移之比：
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ…=1∶3∶5…
(2)等分位移(以x为单位)。
①通过x、2x、3x…所用时间之比：
t1∶t2∶t3…=1∶ ∶ …
②通过第一个x、第二个x、第三个x…所用时间之比：
tⅠ∶tⅡ∶tⅢ…=1∶( -1)∶( - )…
③x末、2x末、3x末…的瞬时速度之比：
v1∶v2∶v3…=1∶ ∶ …
【微思考】
(1)物体做匀加速直线运动,一段过程中间时刻的速度与中间位置的速度哪个大?
提示：中间位置的速度大,因为物体做加速运动,后一半时间内的平均速度较大,故经过一半的时间时,还没有到达中间位置。
(2)物体做匀减速直线运动,一段过程中间时刻的速度与中间位置的速度哪个大?
提示：中间位置的速度大,因为物体做减速运动,后一半时间内的平均速度较小,故经过一半的时间时,已经经过了中间位置,即先经过中间位置后到达中间时刻。
【题组通关】
【示范题】光滑斜面的长度为L,一物体自斜面顶端由静止开始
匀加速滑至底端,经历的时间为t,则下列说法不正确的是(　　)
A.物体运动全过程中的平均速度是
B.物体在 时的瞬时速度是
C.物体运动到斜面中点时瞬时速度是
D.物体从顶点运动到斜面中点所需的时间是
【解题探究】(1)对于匀变速直线运动，某段时间内的平均
速度、中间时刻的速度与初、末速度之间的关系式是 =
_________。
(2)匀变速直线运动中，中间位置的速度与初、末位置的速度
的关系式是 =________。
【规范解答】选B。全程的平均速度v= ,A对。 时，物体
的速度等于全程的平均速度 ,B错。若末速度为v，则
v= ,故中间位置的速度 C对。设物体的加速
度为a，到达中间位置用时t′，则 所以
t′= ，D对。
【通关1+1】
1.(多选)(2013·深圳高一检测)做匀加速直线运动的物体,先
后经过A、B两点时,其速度分别为v和7v,经历的时间为t,则
(　　)
A.经A、B中点位置时的速度是5v
B.从A到B所需时间的中点 的速度是4v
C.A、B间的距离为5vt
D.在后一半时间所通过的距离比前一半时间通过的距离多3vt
【解析】选A、B。设A、B中点位置时的速度是v′，则有
(7v)2-v′2=v′2-v2=2ax，计算可得v′=5v，A正确。从A到B所
需时间的中点( )的速度即为该过程的平均速度，是首尾两点
速度的算术平均值，B正确，C错误。前一半时间的平均速度是
通过的位移为 后一半时间的平均速
度是 通过的位移为 在后一半时
间所通过的距离比前一半时间通过的距离多 ，D错误。
2.(2014·邢台高一检测)如图所示,光滑斜
面AE被分成四个相等的部分,一物体由A点
从静止释放,下列结论不正确的是(　　)
A.物体到达各点的速率之比vB∶vC∶vD∶vE=1∶ ∶ ∶2
B.物体到达各点经历的时间tE=2tB= tC= tD
C.物体从A到E的平均速度 =vB
D.物体通过每一部分时,其速度增量vB-vA=vC-vB=vD-vC=vE-vD
【解析】选D。由vB2=2as,vC2=2a·2s,vD2=2a·3s,vE2=2a·4s,
可得：vB∶vC∶vD∶vE=1∶ ∶ ∶2,A正确。由v=at得：
tE∶tB=vE∶vB=2∶1,tB∶tC=vB∶vC=1∶ ,tC∶tD=vC∶vD=
∶ ,B正确。因tE=2tB,B点为A到E的中间时刻所对应位
置,故有A到E的平均速度 =vB,C正确。由Δv=a·Δt,ΔtAB>
ΔtBC>ΔtCD>ΔtDE,故vB-vA>vC-vB>vD-vC>vE-vD,D错误。
【变式训练】1.(2013·连云港高一检测)小球由静止开始运动,在第1 s内通过的位移为1 m,在第2 s内通过的位移为2 m,在第3 s内通过的位移为3 m,在第4 s内通过的位移为4 m,下列描述正确的是(　　)
A.小球在这4 s内的平均速度是2.5 m/s
B.小球在3 s末的瞬时速度是3.5 m/s
C.小球在前3 s内的平均速度是3 m/s
D.小球在做匀加速直线运动
【解析】选A。由初速度为零的匀加速直线运动的规律知,第
1 s内,第2 s内,第3 s内,…,第ns内通过的位移之比为1∶3∶
5∶…∶(2n-1),而这一小球的位移分别为1 m,2 m,3 m…所以
小球做的不是匀加速直线运动,匀加速直线运动的规律也就不
适用于这一小球,所以B、D选项不正确。至于平均速度,4 s内
的平均速度v1= =2.5m/s,所
以A选项正确。3s内的平均速度v2=
=2m/s,所以C选项不正确。
2.由静止开始做匀加速直线运动的物体,已知经过x位移时的速度是v,那么经过位移为2x时的速度是(　　)
A.v　　　　　　　B. v
C.2v D.4v
【解析】选B。由v2-v02=2ax得v2=2ax,v′2=2a·2x,故v′2
=2v2,v′= v,B对。
【素养升华】
处理直线运动的方法口诀
运用一般公式法,平均速度是简法。
中间时刻速度法,初速度为零比例法。
若是相邻等时间,位移逐差是妙法。
再加几何图像法,求解运动好方法。
【资源平台】备选角度：运动学公式的选择
【示范题】(2014·太原高一检测)如图所示,在
成都天府大道某处安装了一台500万像素的固定
雷达测速仪,可以准确抓拍超速车辆以及测量运
动车辆的加速度。一辆汽车正从A点迎面驶向测速仪B,若测速
仪与汽车相距355m,此时测速仪发出超声波,同时车由于紧急情
况而急刹车,汽车运动到C处与超声波相遇,当测速仪接收到反
射回来的超声波信号时,汽车恰好停止于D点,且此时汽车与测速仪相距335m,忽略测速仪安装高度的影响,可简化为如图所示分析(已知超声波速度为340m/s)。
(1)求汽车刹车过程中的加速度a的大小;
(2)此路段有80km/h的限速标志,分析该汽车刹车前的行驶速度
是否超速。
【标准解答】(1)设超声波往返的时间为2t,汽车在2t时间内,
刹车的位移为s= a(2t)2=20m,当超声波与车相遇后,车继续前
进的时间为t,位移为s2= at2=5m,则超声波在2t内的路程为
2×(335+5)m=680 m,由声速为340m/s,得t=1s,解得汽车的加速
度a=10m/s2
(2)车刹车过程中的位移s= ,
解得刹车前的速度v0=20m/s=72 km/h
车速在规定范围内,不超速。
答案：(1)10m/s2　(2)见标准解答
公式v2-v02=2ax在实际问题中的应用
【案例剖析】(12分)一辆卡车,它急刹车时的加速度大小是5m/s2,如果要求它在急刹车后①22.5m内必须停下,假设卡车刹车过程做的是②匀减速直线运动。求：
(1)它的③行驶速度不能超过多少?
(2)此刹车过程所用的时间是多少?
(3)在此过程中卡车的④平均速度是多少?
【审题】抓准信息,快速推断
【答题】规范解题·步步得分
(1)由题意知卡车刹车前进22.5 m时的速度v=0，根据运动学
公式v2-v02=2ax得： (3分)


(2分)
(2)根据速度公式v=v0+at得刹车所用时间： (2分)
(2分)
(3)卡车在刹车过程中的平均速度：
m/s=7.5 m/s
或 m/s=7.5 m/s (3分)
答案：(1)15 m/s (2)3 s (3)7.5 m/s
【警示】点拨疑难·杜绝失分
(1)不能根据正方向正确地确定加速度的正负,导致公式v2-v02=2ax代入数值时出现错误。
(2)对公式v2-v02=2ax理解不到位,混淆了初速度v0和末速度v,导致失分。
(3)不理解平均速度的含义,导致平均速度求解错误。
【补偿训练】(2013·云浮高一检测)汽车做加速度a=3m/s2的匀加速直线运动,通过第一个电线杆时速度为2m/s,通过第二个电线杆时速度为8 m/s。求汽车通过两电线杆的时间和两电线杆之间的距离。
【解析】设汽车运动方向为正方向,汽车做匀加速直线运动。
由v=v0+at得：t= =2s
又由v2-v02=2ax得：x= =10m
答案：2s　10 m