阶段复习课
第二章
v0+at
2ax
aT2
面积
纵坐标
斜率
斜率
纵坐标
重力
v=gt
v2=2gh
一、匀变速直线运动问题的分析技巧
1.匀变速直线运动问题的分析方法与技巧
2.匀变速直线运动问题的解题步骤
(1)分析题意，确定研究对象，判断物体的运动情况，分析加速度的方向和位移方向。
(2)选取正方向，并根据题意画出运动示意图。
(3)由已知条件及待求量，选定公式列出方程。
(4)统一单位，解方程求未知量。
(5)验证结果，并注意对结果进行必要的讨论。
【典例1】一个物体以v0=8 m/s的初速度沿光滑斜面向上滑，加速度的大小为2 m/s2，冲上最高点之后，又以相同的加速度往回运动。则( )
A. 1 s末的速度大小为6 m／s
B. 3 s末的速度为零
C. 2 s内的位移大小是12 m
D. 5 s内的位移大小是15 m
【标准解答】选A、C、D。由t= ，物体冲上最高点的时
间是4 s，又根据v=v0+at，物体1 s末的速度为6 m/s，A对、B
错。根据x= ，物体2 s内的位移是12 m，4 s内的位移
是16 m，第5 s内的位移是沿斜面向下的1 m，所以5 s内的位
移是15 m，C、D对。
【变式训练】(2013·武汉高一检测)在某地地震发生后的几天，通向灾区的公路非常难行，一辆救灾汽车由静止开始做匀变速直线运动，刚运动了8 s，由于前方突然有巨石滚在路中央，所以又紧急刹车，经4 s停在巨石前。则关于汽车的运动情况，下列说法正确的是( )
A.加速、减速中的加速度大小之比a1∶a2=1∶2
B.加速、减速中的加速度大小之比a1∶a2=2∶1
C.加速、减速中的平均速度之比v1∶v2=2∶1
D.加速、减速中的位移之比x1∶x2=1∶1
【解析】选A。由a= 可得a1∶a2=1∶2，选项A正确，B错
误。由 可得v1∶v2=1∶1，选项C错误。又根据x= ，
x1∶x2=2∶1，选项D错误。
二、匀变速直线运动的图像
匀变速直线运动的图像包括v-t图像与x-t图像，能直观描述物体的运动规律与特征，在应用时应首先明确x-t图像与v-t图像的区别，其次还要根据图像得出正确的信息。
1.x-t图像与v-t图像的应用
2.利用x-t图像、v-t图像判断物体是否相遇
(1)在x-t图像中，图像相交，表示两个运动质点在此时位于同一位置即相遇，所以可根据两个图像是否有交点判断两个物体是否相遇，以及判读相遇的时间和位置。
(2)在v-t图像中，判读物体是否相遇，需先根据题干信息，确定两个质点的起点距离，再根据v-t图像与时间轴所围的面积判断质点的位移，然后再判断物体是否相遇。
【典例2】(2013·昆明高一检测)如图是甲、乙两物体做直线
运动的v-t图像。下列表述正确的是( )
A.乙做匀加速直线运动
B.第1 s末甲和乙相遇
C.甲和乙的加速度方向相同
D.甲的加速度比乙的小
【标准解答】选A。由图可知，甲做匀减速直线运动，乙做匀加速直线运动，A正确。第1 s末甲、乙速度相等，无法判断是否相遇，B错误。根据v-t图像的斜率可知，甲、乙加速度方向相反，且甲的加速度比乙的大，C、D错误。
【变式训练】如图所示为v-t图像,t2=2t,t3=3t1。若将该物体的运动过程用x-t图像表示出来，下列四幅图像中正确的是
( )
【解析】选C。根据v-t图像可知，在0～t1时间内物体以速度v1沿正方向做匀速直线运动，则其运动位移满足x1=v1t，是一条过原点的倾斜直线；在t1～t2时间内，物体静止，位移不随时间而变化，静止在正方向离原点x1处；在t2～t3时间内，速度大小等于v1，但方向与v1反向，物体返回出发点。因此，选项C正确。
三、追及相遇问题
1.追及问题
(1)特点：两个物体在同一时刻到达同一位置。
(2)满足的位移关系：x2=x0+x1。
其中x0为开始追赶时两物体之间的距离，x1表示前面被追赶物体的位移，x2表示后面物体的位移。
(3)临界状态：v1=v2。
当两个物体的速度相等时，可能出现恰好追上、恰好避免相撞、相距最远、相距最近等临界、最值问题。
2.相遇问题
(1)特点：在同一时刻两物体处于同一位置。
(2)条件：同向运动的物体追上即相遇；相向运动的物体，各自发生的位移的绝对值之和等于开始时两物体之间的距离时即相遇。
3.处理“追及”“相遇”问题的三种方法
(1)物理方法：通过对物理情景和物理过程的分析，找到临界状态和临界条件，然后列出方程求解。
(2)数学方法：由于匀变速运动的位移表达式是时间t的一元二次方程,我们可利用判别式进行讨论：在追及问题的位移关系式中，若Δ＞0,即有两个解,并且两个解都符合题意，说明相遇两次；Δ=0,有一个解,说明刚好追上或相遇；Δ＜0,无解,说明不能够追上或相遇。
(3)图像法：对于定性分析的问题，可利用图像法分析,避开繁杂的计算，快速求解。
【典例3】甲车以加速度3 m/s2由静止开始做匀加速直线运动。乙车落后2 s在同一地点由静止开始，以加速度6 m/s2做匀加速直线运动。两车的运动方向相同。求：
(1)在乙车追上甲车之前，两车距离的最大值是多少？
(2)乙车出发后经多长时间可追上甲车？此时它们离出发点多远？
【标准解答】(1)两车距离最大时速度相等，设此时乙车已开
动t s，则甲、乙两车的速度分别是
v1=3×(t+2)m/s,
v2=6×t m/s=6t m/s,
由v1=v2得：
t=2 s,由x= 知，两车距离的最大值
Δx=
=
= 。
(2)设乙车出发后经t′ s追上甲车，则
x1= ,
x2=
x1=x2，代入数据求得
t′=(2+ )s。
将所求得的时间代入位移公式可得
x1=x2≈70 m。
答案：(1)12 m (2)(2+ )s 70 m
【变式训练】如图所示,A、B两物体相距s=7 m,物体A以vA=
4 m/s 的速度向右匀速运动,而物体B此时的速度vB=10 m/s,向
右做匀减速运动,加速度大小为2 m/s2,那么物体A追上物体B所
用的时间为( )

A.7 s B.8 s
C.9 s D.10 s
【解析】选B。B物体能运动的时间tB= =5 s。此时
B的位移xB= =25 m。在 5 s 内A物体的位移xA
=vAtB=4×5 m=20 m＜xB,所以在B停止运动之前A不能追上B。所
以A追上B时，vAt=xB+s,t= = =8 s。故B正确。
1.(2010·天津高考)质点做直线运动的v-t图像如图所示，规定向右为正方向，则该质点在前8 s内平均速度的大小和方向分别为( )
A.0.25 m/s 向右
B.0.25 m/s 向左
C.1 m/s 向右
D.1 m/s 向左
【解析】选B。由图线可知0～3 s内的位移为：x1= ×3×2 m
=3 m，方向为正方向；3～8 s内的位移为：x2= ×(8-3)×2 m
=5 m，方向为负方向；0～8 s内的位移为：x=x1-x2=-2 m；该
段时间内的平均速度为： =-0.25 m/s，负号表示方
向是向左的。故B正确，A、C、D错误。
2.(2010·广东高考)如图是某同学在做匀变速直线运动实验中
获得的一条纸带。
(1)已知打点计时器电源频率为50 Hz，则纸带上打相邻两点的
时间间隔为_______。
(2)A、B、C、D是纸带上四个计数点，每两个相邻计数点间有
四个点没有画出。从图中读出A、B两点间距s=______；C点对
应的速度是______。(计算结果保留三位有效数字)
【解析】(1)打点计时器的电源频率为50 Hz,即打点的频率也
为50 Hz,则打相邻两点的时间间隔T= =0.02 s。
(2)方法一：读A、B两点数值：1.00 cm、1.70 cm(毫米刻度尺
精确到1 mm,估读到0.1 mm)。A、B两点间距：s=1.70 cm-
1.00 cm=0.70 cm。
方法二：由sBC-sAB=sCD-sBC
得：sAB=2sBC-sCD=0.70 cm
物体做匀变速直线运动，在某段时间内的平均速度等于中间时
刻的瞬时速度，可知：
vC=
=
=0.100 m/s
答案：(1)0.02 s (2)0.70 cm 0.100 m/s
3.(2011·新课标全国卷)甲、乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变。在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半。求甲、乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。
【解析】设汽车甲在第一段时间间隔末(时刻t0)的速度为v，
第一段时间间隔内行驶的路程为x1，加速度为a，在第二段时
间间隔内行驶的路程为x2，由运动学公式有，
v=at0
x1=
x2=
设汽车乙在时刻t0的速度为v′，在第一、二段时间间隔内行
驶的路程分别为x1′、x2′，同理有，
v′=2at0
x1′=
x2′=
设甲、乙两车行驶的总路程分别为x、x′，则有
x=x1＋x2
x′=x1′＋x2′
联立以上各式解得，甲、乙两车各自行驶路程之比为

答案：5∶7
4.(2010·新课标全国卷)短跑名将博尔特在北京奥运会上创造了100 m和200 m短跑项目的新世界纪录，他的成绩分别是
9.69 s和19.30 s。假定他在100 m比赛时从发令到起跑的反应时间是0.15 s，起跑后做匀加速运动，达到最大速率后做匀速运动。200 m比赛时，反应时间及起跑后加速阶段的加速度和加速时间与100 m比赛时相同，但由于弯道和体力等因素的影响，以后的平均速率只有跑100 m时最大速率的96％。求：
(1)加速所用时间和达到的最大速率；
(2)起跑后做匀加速运动的加速度。(结果保留两位小数)
【解析】(1)设加速所用时间为t，加速运动达到的最大速率为
v，则有
+v(9.69-0.15-t)=100
+(19.30-0.15-t)×0.96v=200
由①②式联立解得：
t=1.29 s
v=11.24 m/s
(2)设起跑后做匀加速运动的加速度大小为a,则
a=
解得：
a=8.71 m/s2
答案：(1)1.29 s 11.24 m/s
(2)8.71 m/s2