算 法 案 例
(第三课时)
案例3 进位制
一、三维目标
（a）知识与技能
了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。
（b）过程与方法
学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k去余法，并理解其中的数学规律。
（c）情感态度与价值观
领悟十进制，二进制的特点，了解计算机的电路与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系.
二、教学重难点
重点：各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换
难点：除k去余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计
三、学法
在学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位制的除k去余法。
在商代的甲骨文中，已经有了一、二、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万的数字，而有了这些记数字，就可以记录十万以内的任何自然数了
算筹
按照中国古代的筹算规则，算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，万位再用纵式……这样从右到左，纵横相间，以此类推，就可以用算筹表示出任意大的自然数了。
半斤=八两
古人有半斤八两之说，就是十六进制的体现
我们常见的数字都是十进制的,比如一般的数值计算，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的。
时间和角度的单位用六十进位制
电子计算机用的是二进制
问题1：我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是二进制.那么什么是进位制?不同的进位制之间又有什么联系呢?
进位制是人们为了计数和运算的方便而约定的一种记数系统，约定满二进一,就是二进制;满十进一,就是十进制;满十六进一,就是十六进制;等等.
“满几进一”,就是几进制,几进制的基数就是几.
可使用数字符号的个数称为基数.基数都是大于1的整数.
新课讲授
一、进位制
1、什么是进位制？
2、最常见的进位制是什么？请举例说明．
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。
进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为k，即可称k进位制，简称k进制。
3、我们了解十进制吗？所谓的十进制，它是如何构成的？
十进制由两个部分构成
例如：3721
其它进位制的数又是如何的呢？
(用10个数字来记数，称基数为10)
如二进制可使用的数字有0和1,基数是2;
十进制可使用的数字有0,1,2,…,8,9等十个数字,基数是10;
十六进制可使用的数字或符号有0~9等10个数字以及A~F等6个字母(规定字母A~F对应10~15),十六进制的基数是16.
注意:为了区分不同的进位制,常在数字的右下脚标明基数,.
如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.
十进制数一般不标注基数.
十进制数3721中的3表示3个千,7表示7个百,2表示2个十,1表示1个一,从而它可以写成下面的形式:
3721=3×103+7×102+2×101+1×100.
想一想二进制数1011(2)可以类似的写成什么形式?
1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20.
同理:
3421(5)=3×53+4×52+2×51+1×50.
C7A16(16)=12×164+7×163+10×162
+1×161+6×160.
二、二进制
二进制是用0、1两个数字来描述的．如11001
二进制的表示方法
区分的写法：11001（2）
八进制呢？
如7342(8)
k进制呢？
anan-1an-2…a1 (k)？
一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式
anan-1…a1a0(k) (0意思是:(1)第一个数字an不能等于0;
(2)每一个数字an,an-1,…,a1,a0都须小于k.
k进制的数也可以表示成不同位上数字与基数k的幂的乘积之和的形式,即
anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1
+…+a1×k1+a0×k0 .
注意这是一个n+1位数.
k进制
若十进制数a除以k所得的商是q0，余数是r0， 即a=k·q0+ r0；
q0除以k所得的商是q1，余数是r1， 即q0=k·q1+ r1；
……
qn-1除以k所得的商是0，余数是rn，
即qn-1= rn，
那么十进制数a化为k进制数是：
a=rnrn-1…r1r0(2)
推广：怎样把十进制数转化为k进制数？
问题2：二进制只用0和1两个数字,这正好与电路的通和断两种状态相对应,因此计算机内部都使用二进制.计算机在进行数的运算时,先把接受到的数转化成二进制数进行运算,再把运算结果转化为十进制数输出.
那么二进制数与十进制数之间是如何转化的呢?
三、二进制与十进制的转换
1、二进制数转化为十进制数
例1 、将二进制数110011(2)化成十进制数
解：
根据进位制的定义可知
所以，110011（2）=51．
(除2取余法：用2连续去除89或所得的商，然后取余数)
例2 、把89化为二进制数
解：
根据“逢二进一”的原则，有
2=2X1+0
1=2X0+1
5＝ 2× 2＋1
＝2×（2×（2×（2×（22＋1）＋1）＋0）＋0）＋1
89＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20
所以：89=1011001（2）
＝2×（2×（2×（23＋2＋1）＋0）＋0）＋1
＝2×（2×（24＋22＋2＋0）＋0）＋1
＝2×（25＋23+22＋0＋0）＋1
＝26＋24+23＋0＋0＋20
89＝2×44＋1
44＝ 2×22＋0
22＝ 2×11＋0
11＝ 2× 5＋1
所以89＝2×（2×（2×（2×（2 × 2 ＋1）＋1）＋0）＋0）＋1
2、十进制转换为二进制
注意：
1.最后一步商为0，
2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到： 89=1011001（2）
2、十进制转换为二进制
例2 、把89化为二进制数
5
2
2
2
1
2
0
1
0
余数
11
22
44
89
2
2
2
2
0
1
1
0
1
例3 、把89化为五进制数
3、十进制转换为其它进制
解：
根据除k取余法
以5作为除数，相应的除法算式为：
所以，89=324（5）
练习：
完成下列进位制之间的转化：
（1）10231（4）= （10）；
（2）235（7）= （10）；
（3）137（10）= （6）；
（4）1231（5）= （7）；
（5）213（4）= （3）；
（6）1010111（2）= （4）。
例4、把二进制数110011(2)化为十进制数.
分析:先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘积之和的形式,再按照十进制数的运算规则计算出结果.
解:110011(2)
=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20
=1×32+1×16+1×2+1=51.
问题3：你会把三进制数10221(3)化为十进制数吗?
解:10221(3)=1×34+0×33+2×32+2×31+1×30
=81+18+6+1=106.
k进制数转化为十进制数的方法
先把k进制的数表示成不同位上数字与基数k的幂的乘积之和的形式,即
anan-1…a1a0(k)
=an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0 .
再按照十进制数的运算规则计算出结果.
例:把89化为二进制的数.
分析:把89化为二进制的数,需想办法将89先写成如下形式
89=an×2n+an-1×2n-1+…+a1×21+a0×20 .
89=64+16+8+1=1×26+0×25+1×24 +1×23+0×22+0×21+1×20
=1011001(2).
但如果数太大,我们是无法这样凑出来的,怎么办?
89=44×2+1,
44=22×2+0,
22=11×2+0,
11=5×2+1,
5=2×2+1,
2=1×2+0,
1=0×2+1,
89=44×2+1,
44=22×2+0,
22=11×2+0,
11=5×2+1,
5=2×2+1,
89=44×2+1,
=(22×2+0)×2+1
=((11×2+0)×2+0)×2+1
=(((5×2+1)×2+0)×2+0)×2+1
=((((2×2+1)×2+1)×2+0)× 2+0)×2+1
=(((((1×2)+0)×2+1)×2+1)×2+0)× 2+0)×2+1
=1×26+0×25+1×24 +1×23+0×22+0×21+1×20=1011001(2).
可以用2连续去除89或所得商(一直到商为0为止),然后取余数
---除2取余法.
2=1×2+0,
1=0×2+1,
44 1
例:把89化为二进制的数.
我们可以用下面的除法算式表示除2取余法:
22 0
11 0
5 1
2 1
1 0
0 1
把算式中各步所得的余数从下到上排列,得到
89=1011001(2).
这种方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法,称为除k取余法.
例:把89化为五进制的数.
解:以5作为除数,相应的除法算式为:
17 4
3 2
0 3
∴ 89=324(5).
问题3、你会把三进制数10221(3)化为二进制数吗?
解:第一步:先把三进制数化为十进制数:
10221(3)=1×34+0×33+2×32+2×31+1×30
=81+18+6+1=106.
第二步:再把十进制数化为二进制数:
106=1101010(2).
开始
输入a,k,n
b=0
i=1
①
①
把a的右数第i位数字赋给t
b=b+t*ki-1
i=i+1
i>n?
否
是
输出b
结束
INPUT a, k, n
i=1
b=0
t=a MOD 10
DO
b=b+t*k^(i-1)
a=a\10
t=a MOD 10
i=i+1
LOOP UNTIL i>n
PRINT b
END
INPUT a, k, n
i=1
b=0
t=a MOD 10
WHILE i<=n
b=b+t*k^(i-1)
a=a\10
t=a MOD 10
i=i+1
WEND
PRINT b
END
开始
输入a,k
求a除以k的商q
求a除以k的余数r
①
将依次输出的r从右到左排列
否
结束
输出r
a=q
q=0?
是
①
INPUT “a,k=” ;a,k
b=0
i=0
DO
q=a\k
r=a MOD k
b=b+r*10^i
i=i+1
a=q
LOOP UNTIL q=0
PRINT b
END
1．进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为k，即可称k进位制，简称k进制。k进制需要使用k个数字；
2．十进制与二进制之间转换的方法；先把这个k进制数写成用各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果。
课时小结
3．十进制数转化为k进制数的方法：（除k取余法）用k连续去除该十进制数或所得的商，直到商为零为止，然后把每次所得的余数倒着排成一个数，就是相应的k进制数。
进位制的概念及表示方法;

各种进位制之间的相互转化.
anan-1…a1a0(k)
=an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0 .