2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布
1、用样本去估计总体是研究统计
问题的一基本思想
2、前面我们学过的抽样方法有:
简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。
要注意这几种抽样方法的联系与区别。
3、 初中时我们学习过样本的频率分布，包括频数、 频率的概念，频数分布表和频数分布直方图的制作。
1、抛掷硬币的大量重复试验的结果：
样本容量为72 088
频率分布条形图
频率分布表：
注意：
① 各长方形长条的宽度要相同。
②相邻长条的间距要适当。
结论：当试验次数
无限增大时，两种试验
结果的频率大致相等。
③长方形长条的高度
表示取各值的频率。
归纳1：当总体中的个体所取的不同数值较少
时，其随机变量是离散型。则样本的频率分布表
示形式有：
（2）频率分布条形图
（1）样本频率分布表
如何用样本的频率分布估计总体分布？
我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出。
2000年全国主要城市中缺水情况排在前10位的城市
例１：某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a , 用水量不超过a的部分按平价收费，超过a的部分按议价收费。
①如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那 么标准a定为多少比较合理呢？
②为了较合理地确定这个标准，你认为需要做
哪些工作？
思考：由上表，大家可以得到什么信息？
通过抽样，我们获得了100位居民某年的月平均用 水量(单位：t) ，如下表：
1.求极差：
步骤：
频率分布直方图
2.决定组距与组数：
组数=
4.3 - 0.2 = 4.1
3.将数据分组(组距0.5，组数9）
［0，0.5 )，［0.5，1 )，…，［4，4.5］
4.列频率分布表
100位居民月平均用水量的频率分布表
5.画频率分布直方图
小长方形的面积
组距×
频率
=
注意：
①　这里的纵坐标不是频率，而是频率/组距；
②　某个区间上的频率用这个区间的面积表示；
直方图
思考：所有小长方形的面积之和等于？
上图称为频率分布直方图，其中横轴表示月均用水量，纵轴表示频率/组距. 频率分布直方图中各小长方形的宽度和高度在数量上有何特点？
宽度：组距
图形的意义
图形的意义：频率分布直方图中各小长方形的面积表示什么？各小长方形的面积之和为多少？
各小长方形的面积=频率
各小长方形的面积之和=1
宽度：组距
分析例题：频率分布直方图非常直观地表明了样本数据的分布情况，使我们能够看到频率分布表中看不太清楚的数据模式，但原始数据不能在图中表示出来.你能根据上述频率分布直方图指出居民月均用水量的一些数据特点吗？
（1）居民月均用水量的分布是“山峰”状的，而且是“单峰”的；
（2）大部分居民的月均用水量集中在一个中间值附近，只有少数居民的月均用水量很多或很少；
（3）居民月均用水量的分布有一定的对称性等.
一、求极差，即数据中最大值与最小值的差
二、决定组距与组数 ：组距=极差/组数
三、分组,通常对组内数值所在区间，
　　取左闭右开区间 , 最后一组取闭区间
四、登记频数,计算频率,列出频率分布表
画一组数据的频率分布直方图,可以按以下的步骤进行:
五、画出频率分布直方图（纵轴表示频率／组距）
练 习
1.有一个容量为50的样本数据的分组的频数如下：
［12.5, 15.5） 3
［15.5, 18.5） 8
［18.5, 21.5） 9
［21.5, 24.5） 11
［24.5, 27.5） 10
［27.5, 30.5） 5
［30.5, 33.5） 4
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
(3)根据频率分布直方图估计,数据落在[15.5, 24.5）的百分比是多少?
解:组距为3
分组 频数 频率 频率/ 组距
［12.5, 15.5） 3
［15.5, 18.5） 8
［18.5, 21.5） 9
［21.5, 24.5） 11
［24.5, 27.5） 10
［27.5, 30.5） 5
［30.5, 33.5） 4
0.06
0.16
0.18
0.22
0.20
0.10
0.08
0.020
0.053
0.060
0.073
0.067
0.033
0.027
频率分布直方图如下：
0.010
0.020
0.030
0.040
0.050
12.5
15.5
0.060
0.070
2. 为检测某种产品的质量，抽取了一个容量为30的样本，检测结果为一级品5件，二级品8件，三级品13件，次品4件．
(1) 列出样本的频率分布表；
(2) 画出表示样本频率分布的条形图；
(3)根据上述结果，估计此种产品为二级品或三级品的概率约是多少．
(3)此种产品为二级品或三级品的概率约为
0.27＋0.43＝0.7．
3.一个容量为100的样本,数据的分组和各组的相关信息如下表,试完成表中每一行的两个空格.
课堂小结：
频率分布直方图
应用
1.求极差
2.决定组距与组数
3.将数据分组
4.列频率分布表
5.画频率分布直方图
第 二 课 时
探究：
同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图的形状也会不同。不同的形状给人以不同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的判断。分别以1和0.1为组距重新作图，然后谈谈你对图的印象。
知识回顾
频率分布直方图
应用
1.求极差
2.决定组距与组数
3.将数据分组
4.列频率分布表
5.画频率分布直方图
频率分布折线图
连接频率直方图中各小长方形上端中点的折线，叫频率分布折线图
当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布折线图就会无限接近一条光滑曲线
——总体密度曲线．
a b
用样本分布直方图去估计相应的总体分布时，一般样本容量越大，频率分布直方图就会无限接近总体密度曲线，就越精确地反映了总体的分布规律，即越精确地反映了总体在各个范围内取值百分比。
总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比,精确地反映了总体的分布规律。是研究总体分布的工具.
总体密度曲线
例1、对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：
（1）列出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图；
（3）估计电子元件寿命在100h~400h以内的频率；
（4）估计电子元件寿命在400h以上的频率；
应用举例：

（1）列出频率分布表；
高考题型：
茎叶图
初中我们学过用平均数、众数和中位数反映总体的水平，用方差考察稳定程度。
我们还有一种简易的方法，就是将这些数据有条理的列出来，从中观察数据的分布情况，这种方法就是茎叶图。
制作茎叶图的方法
将所有两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出。
茎：十位数字
叶：表示个位数字
例1：某篮球运动员在某赛季各场比赛的得分情况如下：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50
茎叶图：
注：
1、重复出现的数据要重复记录，不能遗漏；特别是“叶”部分；
2、所有的信息都可以从这个茎叶图中得到；
3、茎叶图便于记录和表示；
4、不足的是其分析只是粗略的，对差异不大的两组数据不易分析；表示三位数以上的数据时不够方便；
例2：甲、乙两篮球运动员上赛季每场比赛的得分如下，试比较这两位运动员的得分水平：
甲 12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50
乙 8，13，14，16，23，26，28，33，
38，39，51，33，29
注：中间的数字表示得分的十位数字。
旁边的数字分别表示两个人得分的个位数。
小 结
图形 优点 缺点
频率分布 1）易表示大量数据 丢失一些
直方图
2）直观地表明分布地 情况 信息
1）无信息损失 只能处理样本
茎页图
2）随时记录方便记录和表示 容量较小数据
课堂小结
表示样本分布的方法：
（1）频率分布表
（2）频率分布图（包括直方图和条形图）
（3）频率分布折线图
（4）茎叶图
1.频率分布表
表示样本的分布的方法：
2.频率分布直方图
样本频率分布中，当样本容量无限增大，组距无限缩小
样本频率分布直方图接近于一条光滑曲线——总体密度曲线，反映了总体分布。
3.频率分布折线图
1.总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布。
2.总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图。