§2.3　
平面向量的基本定理及坐标表示
为了在直立的墙面上固定一幅画，有时用一个钉，有时用多个钉，你能否用向量的有关知识来解释其中的道理？
2．3.1　平面向量基本定理
1．课堂目标
理解平面向量基本定理．
会用任意一组基底表示指定的向量．
理解向量夹角的概念．
2．重点难点
重点：用一组基底表示指定的向量．
难点：对平面向量基本定理的理解及应用．
上节课已经学习过向量的数乘运算，所谓向量的数乘为_________________，记为__，对它的长度与方向的规定如下：
(1) ____＝|λ||a|；
(2)当____时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向____；当λ＝0时，λa＝0.
实数λ与向量a的积
λa
|λa|
λ>0
相反
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝__________.
(2)我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组______
2．夹角
(1)已知两个_________a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的________
(2)向量的夹角θ的范围是________．a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.
(3)如果向量a与b的夹角是____，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
不共线
λ1e1＋λ2e2
基底．
非零向量
夹角．
[0°，180°]
90°
给定平面内任意两个向量e1、e2，平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示呢？
提示：当e1与e2共线时，该式不可表示平面内的任一向量当e1与e2不共线时，
(1)平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式．
(2)上面的分解是唯一的．
我们可以结合图形加以理解．
在所给出的向量中，利用作图方法，结合线性运算的几何意义和基本定理把所求向量在图中表示出来．
如图所示，已知e1，e2，作向量a＝e1＋2e2，b＝e2＋2e1，并作出向量a－b.
【分析】　本题主要考察平面向量基本定理的作图问题．
【点评】　该题虽然是个作图题，但根据要求是一个综合性比较强的题目，首先a，b比较容易作，直接与数乘的意义相结合就可作出，关键是a，b要在一个图形中作出，不能分散开，否则a－b这一向量就要通过另外一个图形来体现了．
平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．定理说明了只要选定一个平面内的两个不共线的向量，那么这个平面内的任何向量都可以用这两个向量表示出来，它体现了事物间的相互转化，也为我们今后的解题提供了一种方法．
【分析】　基底已经选定，所以要表示其他向量，只要利用向量的线性运算，即可写出其线性表达式．
1．零向量不能作为基底，两个非零向量共线时不能作为平面向量的一组基底．只有平面内两个不共线的向量才可作为基底．
2．平面内不共线的两个向量可以作为基底，对于同一个向量，用不同基底表示时，实数对并不一定相同．
3．证明三点共线，应结合题目条件，把e1与e2看作一组基底，选择适当的任两点确定向量，依据向量共线的条件判定向量共线，由这两个向量又有公共点，可证三点共线．