等比数列的前n项和
2.5
课本中介绍了一个关于数列问题的传说
《国际象棋格上的麦粒》
国王为了奖励国际象棋的发明者， 问发明
者需要什么，发明者说: “请按如下的方法赏给
我麦粒： 在棋盘的第一格放 1 粒，第二格放 2
粒，第三格放 4 粒, 第四格放 8 粒，…… 如此类推，每一格的麦粒数是前一格的 2 倍，直到把棋盘的64个格子全部放完。” 国王欣然答应，
结果……
上面的全部麦粒数是一个等比数列的和.
如果知道等比数列的首项和公比, 怎样求前 n 项和呢? 请同学们看下面的问题.
问题 1. 等比数列的任一项乘以公比 q 后是一个什么数? 等比数列的前 n 项和 Sn 的各项乘以公比 q 后发生了什么样的变化? 与 Sn 进行怎样的计算会消掉许多项? 请同学们试试.
等比数列的前 n 项和公式:
能否用首项, 末项以及 q 的一次式表示? 请同学们试试.
如: 棋盘上的麦粒数之和为
=18446744073709551615.
例2. 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 求证 S7, S14-S7, S21-S14 也成等比数列.
练习： 1.如果一个等比数列前 5 项和等于 10, 前 10 项和等于 50, 那么它前 15 项和等于多少?
问题2. 我们学习了等差数列和等比数列的前 n项和公式, 请问: 下面这个求和如何运算?
例3. 已知数列 {an} 的通项公式为 an=2n-3n+1, 求前n 项和 Sn.
练习： 求和:(a-1)+(a2-2)+…+(an-n)
例4. 求和：
练习：求和1－4+9－16+…+(－1)n+1n2
例5. 已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn=kcn-k (其中 c, k 为常数), 且 a2=4, a6=8a3.
(1) 求 an;
(2) 求数列 {nan} 的前 n 项和 Tn.
练习：求和：1+2x+3x2+…+nxn-1
2.已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{bn}是
等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4－b4=10.
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式;
（2）记Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn，n∈N+，
证明:Tn+12=－2an+10bn（n∈N+）.
1.若数列{an}的前n项和Sn=3n-1-a,数列{an}为
等比数列,则实数a的值是_______.
课后练习