5.3 简单的轴对称图形 （第2课时）
线段的垂直平分线
轴对称的性质
o
P
Q
1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分
轴 对 称 的 性 质
2.对应线段相等,对应角相等
在轴对称图形和两个成轴对称图形中，
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称为“三线合一”）
(1)∵AB=AC,AD⊥BC（高线）
∴∠ ____= ∠_____;____=____
(2) ∵AB=AC,AD是中线
∴____⊥____; ∠_____= ∠_____
(3) ∵AB=AC ,AD是角平分线
∵____ ⊥____;_____=____
BAD
CAD
BD
CD
AD
BC
BAD
CAD
AD
BC
BD
CD
等腰三角形三线合一几何语言
等腰三角形的两个底角相等。（简称等边对等角）
请把上面这个结论转化成几何语言
∵ ___ = ____
∴____=____
B
A
C
AB
AC
∠B
∠C
两个底角相的三角形是等腰三角形。（简称等角对等边）
请把上面这个结论转化成几何语言
∵ ___ = ____
∴____=____
B
A
C
AB
AC
∠B
∠C
线段是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的一条对称轴吗？这条对称轴与线段存在着什么关系？
按照下面的步骤做一做：
1）在纸片上画一条线段AB，
对折AB使点A，B重合，
折痕与AB的交点为O；
O
2）在折痕上任取一点C，
沿CA将纸折叠；
3）把纸展，
A
O
得到折痕CA和CB。
（2）CO与AB有怎样的位置关系？
（1）AO与BO相等吗？CA与CB呢？能说明你的理由吗？
垂直
AO=BO
CA=CB
1线段是轴对称图形
它的一条对称轴就是
对折后能使之完全重合的那条折痕；
2、线段的对称轴过线段AB的 点，
中
O
3、线段的对称轴与线段AB 。（位置关系）
垂直
4、线段的对称轴上的任意一点C到线段AB的两端点A,B的距离______
相等
1 垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。
线段的垂直平分线
2 线段的对称轴是这条线段的 垂直平分线
A
B
线段的垂直平分线
3垂直平分线的性质：垂直平分线上的任意点到这条线段两个端点的距离相等。
用几何语言表达
∵
AO=BO,MO⊥AB
M
(已知)
∴
MA=MB
(线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)
如图，已知线段AB，画出它的垂直平分线.
1、尺规作图做垂直平分线
观察领悟作法，探索思考证明方法：
A
B
尺规作线段的中垂线
作法：(1)以点A为圆心，以大于AB一半的长为半径画弧；
(2)以点B为圆心，以同样的长为半径画弧，两弧的交点记为C、D；
(3)经过点C、D作直线CD．
直线CD即为所求．
用直尺找出线段AB的中点O.
2.再过点O画出与线段AB
垂直的直线CD，
A
D
C
B
O
直线CD就是线段AB的垂直平分线
已知线段的垂直平分线的作法：
2、用直尺做垂直平分线
2.如图，△ABC中，AD垂直平分边BC，AB＝5，那么AC＝ .
5
1.线段的对称轴是它的 。
垂直平分线
练习题
1.在△ABC中，BC=10，边BC的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D，BE=6，求△BCE的周长．
解：因为DE是线段BC的
垂直平分线
所以EC=EB=6
所以△BCE的周长=EB+EC+BC=6+6+10=22
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如图,AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=________, DA=____.
4
6
在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝8 cm，△ABE的周长是14 cm，
总结
求：AB的长．
直线MN和DE分别是线段AB、BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和 PC相等吗?为什么?
如图，在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线交AC于D，如果BC=10cm，那么△BCD的周长是_______cm.
A
B
C
D
E
26
如图，已知点D在AB的垂直平分线上，如果AC=5cm,BC=4cm,那么△BDC的周长是（ ）cm。
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
D
MN是DE与BC的中垂线，BD与CE相等吗？为什么？
M
N
B
C
D
E
解：∵MN是DE的垂直平分线
∴MD=ME（线段垂直平分线的性质）
又∵MN是BC的垂直平分线
∴MB=MC （线段垂直平分线的性质）
∴MB-MD=MC-ME（等式的性质）
即：BD=CE
在直线AB上找一点P，使点P到M、N两点的距离相等。
解：
作线段MN的垂直平分线，
交直线AB于点P，
点P即为所求点。
如图：
1、如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方,才能使从A、B到它的距离之和最短？
街道
C
D
街道
C
2、如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？
D
P
草原上两个居民点A、B在河流的同旁.一汽车从点A出发到B，途中需要到河边加水.汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？
A
B
作法：①作点A关于CD的对称点A’
②连结A’B交CD于点
M则点M即为所求的点．
A′
河
M
C
D
E
A
B
C
A、B、C三点表示三个镇，随着乡镇外资、集体、个体工业的发展需要，现三镇联合建造一个变电所，要求变电所到三镇的距离相等，请你作出变电所的位置（用点P表示）
1、分别连接AB、BC
2、分别作线段AB、BC的垂直平分线
两直线交于点P
则点P为所求的变电所的位置
P
在△ABC中用刻度尺和量角器画出线段AB、BC、CA的垂直平分线，看看三条垂直平分线的位置有什么关系
A
B
C
∟
∟
∟
P
解答：
三条垂直平分线交于一点
思考：若设交点为P，连接PA、PB、PC，那么PA、PB、PC有什么关系？
结论：三角形三条边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等。
锐角三角形三边的垂直平分线的交点在它的内部
钝角三角形三边的垂直平分线的交点在它的外部
直角三角形三边的垂直平分线的交点在它的一条边上
总结
求作一点P，使它和已△ABC的三个顶点距离相等.
对于任意△ABC，是否能找到一点P，使得：
（1）该点P与△ABC的三个顶点的距离相等？
1. 垂直于一条线段并且平分它的直线叫这条线段的垂直平分线。
2. 线段是轴对称图形，它的垂直平分线是它的一条对称轴 .
3. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 .