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第八节 二次函数与一元二次方程(一)
第二章 二次函数
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耐心填一填，一锤定音！
1. y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)，y叫做x的__________。它的图象是一条抛物线。它的对称轴是直线x= ,顶点坐标是（ ， ）。
2、二次函数的解析式中
一般式:

顶点式：

交点式：
二次函数
y = ax2 + bx +c (a≠0)
y = a(x-h)2 + k
y = a(x-x1)(x-x2)
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耐心填一填，一锤定音！
3. 抛物线y = x2 + 2x - 4 的对称轴是_______, 开口方向是______,
顶点坐标是___________.
4. 抛物线y=2(x-2)(x-3)与x轴的交点为_______________,与y轴的
交点为___________.
5. 已知抛物线与轴交于A(-1, 0) 和(1, 0) 并经过点M(0,1), 则 此抛物
线的解析式为_______________
y=-x2+1
X = -1
向上
（-1，-5）
(2 ,0) 和（3, 0）
(0 ,12)
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【例】我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0 表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度.
二次函数与一元二次方程
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【例】竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0 表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度. 一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么：
用心想一想，马到功成
( 1 ) h和t的关系式是什么？
（2）图象上的每一个点的横、纵坐标分
别代表什么含义？
( 3 ) 小球经过多少秒后落地?
你有几种求解方法?与同伴进行交流.
二次函数与一元二次方程
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【例】我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0 表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度. 一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么：
用心想一想，马到功成
( 1 ) h和t的关系式是什么？
（2）图象上的每一个点的横、纵坐标分
别代表什么含义？
( 3 ) 小球经过多少秒后落地?
你有几种求解方法?与同伴进行交流.
二次函数与一元二次方程
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用心想一想，马到功成
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系
可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)
是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,
小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么
(1)h和t的关系式是什么？
(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.
二次函数与一元二次方程
解: 是二次函数h=－5t2＋40t．
解: 8s. 可以利用图象，也可以解方程 －5t2＋40t=0
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分别求出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴的交点的坐标,并作出草图.
思路点拨:与x轴交点就是求当 y=0 时这个方程的解,然后
写成点的坐标.
二次函数与一元二次方程
比一比，看谁快
与x轴交点
（-2，0）和（0，0）
（1，0）
与x 轴无交点
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(1) 每个图象与x 轴有几个交点？
(2) 一元二次方程 x2+2x=0, x2-2x+1=0有几个根?
验证一下,一元二次方程 x2-2x+2=0 有根吗?
(3) 二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的坐标与一元二次
方程 ax2+bx+c=0 的根有什么关系?
观察下列二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
二次函数与一元二次方程
议一 议、取长补短
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归纳整理:
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
1、 有两个交点,
2、 有一个交点,
3、 没有交点.
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数与一元二次方程
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的
横坐标就是当y=0时自变量x的值, 即一元二次方程
ax2+bx+c=0的根.
议一 议、取长补短
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二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
有两个交点
有两个相异的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
二次函数与一元二次方程
归纳整理、理清关系
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【例】 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式
h=－4.9t2＋19.6t 来表示．其中t（s）表示足球被踢出后经过的间．
（1）t=1时，足球的高度是多少？（2）t为何值时，h最大？（3）球经过多长时间球落地？（4）方程－4.9t2＋19.6t =0的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?（5）方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?
二次函数与一元二次方程
解：（1）t=1时，h=14.7
教材题变形，拓展延伸！
(2)∵h=－4.9(t-2) 2+19.6 ∴当t=2时，h最大
（3）对于h=－4．9t2＋19．6t 球落地意味着h=0
即－4．9t2＋19．6t=0，解得t1=0（舍去），t2=4 ．
即足球被踢出后经过4s后球落地.
(5)解方程 14.7=－4.9t2＋19.6t 得t=1, t=3
表明球被踢出1秒和3秒时，离地面的高度都是14.7米
图上表示为抛物线与直线h=14.7 的交点的横坐标
(4) 方程－4.9t2＋19.6t =0的根的实际意义是球离地和落地的时间，图上表示为抛物线与x轴交点的横坐 标
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二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系如何 ?
二次函数与一元二次方程
在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60cm?你是如何知道的?
解: 在h=-5t2+v0t+h0中, 令h=60
解得x1=2 , x2=6
开拓创新 试一试
一般地，当y取定值时，二次函数即为一元二次方程
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例: 已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有交点，求k的
取值范围.
点拨：①因为是二次函数，因而k≠0；
②有交点，所以应为△≥0．
二次函数与一元二次方程
错解：由△=（－7）2－4×k×（－7）=49＋28k＞0，
得k＞－ ．
正确解法：此函数为二次函数，∴k≠0，又与x轴有交点，
∴△=（－7）2－4×k×（－7）= 49＋28k≥0，
得k≥－ ，即k≥－ 且k≠0
放开手脚 做一做
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（10分钟100分）
大胆尝试，练一练！
二次函数与一元二次方程
1．抛物线y=-3（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为_____

2．抛物线y=x2－2x＋3与x轴的交点个数为 个．

3．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m=______

4．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k

的取值范围 ．

5．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx
＋c 经过 象限．
(2,0)(-5,0)
0
8
一、二、三
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二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二
次方程ax2+bx+c=0的根关系表
有两个交点
有两个相异的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
二次函数与一元二次方程
归纳小结、说一说
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课内拓展延伸
P63 习题2.8 1,2题.
二次函数与一元二次方程
补充思考题：
若二次函数y=ax2＋bx＋c的函数值恒为正，则需满足 ，若二次函数y=ax2＋bx＋c的函数值恒为负，则需满足 ．