制作人：蔡 琳
授课人：蔡 琳
二次函数与一元二次方程
观察二次函数 的图象：
观察下列图象，分别说出一元二次方程
x2-6x+9=0和x2-2x+3=0的根的情况.
根据一元二次方程 的根的情况，
研 讨 探 究
问题：一元二次方程的根与图象和x轴交点坐标有什么关系 ？
方程x2-2x-3=0中△>0,方程有两个实根，二次函数y=x2-2x-3与x轴有两个交点（函数图象与x轴相交）
方程x2-2x+1=0中△=0,方程有两个等根，二次函数y=x2-2x＋1与x轴有一个交点（函数图象与x轴相切）
方程x2-2x＋3=0中△<0,方程有两个实根，二次函数y=x2-2x＋3与x轴有没有交点（函数图象与x轴相离）
能推广到一般的一元二次方程和二次函数吗？
联 想 发 散
当a>0时，方程ax2+bx+c=0的根
与函数y=ax2+bx+c的图象之间的关系
ax2+bx+c=0（a>0）
y=ax2+bx+c
(a>0)
△=b2-4ac
△>0
△=0
△<0
方程无实数根
1、方程 的根是 ；则函数 的图象与x轴的交点有 个，其坐标是 ．
-5，1
2
（-5，0）、（1，0）
大显身手
2、方程 的根是 ；则函数 的图象与x轴的交点有 个，其坐标是 ．
3、下列函数的图象中，与x轴没有公共点的是（ ）
1
（5，0）
D
4、已知二次函数y=x2-4x+k+2与x轴有公共点，求k的取值范围.
例1. 已知二次函数
（1）判别上述抛物线与X轴交点情况
（2）设抛物线与X轴交点之间距离为 ，求k的值
例2：已知二次函数 的图像与X轴有两个不同的交点
（1） 求k的取值范围
（2） 当k为何值时，这两个交点横坐标的平方和等于50.(x12+x22=50)
例3 设二次函数
的图像与X轴交于A，B两点，与y轴交于C点，线段OA与OB的长的积等于6
（O是坐标原点）
求：m的值
练习1.已知抛物线Y=X2—（m—3）X+m
（1）求证：无论M取何值时，抛物线都与X轴有两个交点。
（2）M为何值时，抛物线都与X轴有两个交点间的距离等于3。
练习2：如图，抛物线 和X轴的正半轴相交于A，B两点，和y轴相交于点C ∠ABC= ∠ACO
求证：a与c互为倒数
A
o
B
x
y
C