巧妙求和
二
第16周
知识要点
某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。

在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
【例题1】
刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？
根据条件“每天读的页数都比前一天多3页”可知每天读的页数是30、33、36、……57、60。
要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。
这是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.
因此可以很快得解：
（30＋60）×11÷2=495（页）
练习1：
1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个？

2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？

3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？
【例题2】
30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？
开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。

所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1
=（29＋1）×29÷2
=435（次）。
练习2：
1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？

2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了？

3.有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？
【例题3】
某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。那么共握了多少次手？
假设51个同学排成一排，
第一个人依次和其他人握手，一共握了50次，
第二个依次和剩下的人握手，共握了49次，
第三个人握了48次。
依次类推，第50个人和剩下的一人握了1次手，
这样，他们握手的次数和为：
50＋49＋48＋…＋2＋1
=（50＋1）×50÷2
=1275（次）.
练习3：
1.学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有21人参加比赛，一共要进行多少场比赛？

2.在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次手？

3.假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78次电话，问有多少位同学相约互通电话？
【例题4】
求1 ～ 99 这99个连续自然数的所有数字之和。
弄清楚这题是求99个连续自然数的数字之和，而不是求这99个数之和。
为了方便，我们把0算进来（它不影响我们计算数字之和）
计算0～99这100个数的数字之和。
这100个数头尾两配对后每两个数的数字之和都相等，是9+9=18，一共有100÷2=50对，
所以，1～99这99个连续自然数的所有数字之和 是18×50=900。
练习4：
1.求1～199这199个连续自然数的所有数字之和。

2.求1～999这999个连续自然数的所有数字之和。

3.求1～3000这3000个连续自然数的所有数字之和。
【例题5】
求1～209这209个连续自然数的全部数字之和。
不妨先求0～199的所有数字之和，
再求200～209的所有数字之和，然后把它们合起来。
0～199的所有数字之和为（1+9×2）×（200÷2）=1900，
200～209的所有数字之和为2×10+1+2+…+9=65。
所以，1～209这209个连续自然数的全部数字之和为
1900+65=1965。
练习5：
1.求1～308连续自然数的全部数字之和。

2.求1～2009连续自然数的全部数字之和。

3.求连续自然数2000～5000的全部数字之和。