几何部分
正方形、三角形的性质
三角形等积转换 （鸟头定理）
相似三角形
矩形面积切割定理
三角形燕尾定理
四边形、梯形蝴蝶定理
求阴影部分面积
毕克定理
多边形的性质
立体图形体积和表面积
圆的性质
多边形
在平面内由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接围成的图形叫做　多边形　， N边形有　　　条边，　　　　个顶点，　　　　个内角。
多边形的内角和为（n-2）×180°，外角和为360°
这个就是多边形的一个外角
怎么证明多边形的内角和呢？
①在多边形内任取一点，连接这一点和所有顶点
②过其中的一个顶点，连接所有的对角线
正多边形
凹多边形
非正多边形
多边形
凸多边形
多边形的分类
凸多边形的性质：
内角均小于180°，内角和为(n-2)×180°，外角和为360°
凸多边形内角中锐角的个数不能多于三个
凸多边形的对角线都在多边形的内部，对角线的条数为n×(n-3)÷2
1.一个多边形的每一个内角都等于144°，求这个多边形的边数。

2.如果一个多边形的边数增加一倍，它的内角和是2160°，那么原来多边形的边数是

3 某同学在计算多边形的内角和时，得到的答案是1125°，老师指出他少加了一个内角的度数，你知道这个同学计算的是几边形的内角和吗？他少加的那个内角的度数是多少？

4.有两个正多边形，它们的边数的比是1：2，内角和之比为3：8，则这两个多边形的边数之和为多少？

5.多边形每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点发出的对角线有
6.一个多边形截去一个角后，变为16边形，则原来的多边形的边数为（　　）

不同的截法，有不同的结果，以四边形ABCD为例，设E、F分别为AB、AD上的点。
（1）若沿EF截下去，则FEBCD是一个五边形，有五个角。
（2）若沿BF截下去，则FBCD是一个四边形，有四个角。
（3）若沿BD截下去，则BDC是一个三角形，有三个角。
因此本题的答案，可能是17边形，可能是16边形也可能是15边形。
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用多边形铺地板
满足的条件是：围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形。
当为一种图形进行拼接时：
正多边形的个数×正多边形的内角度数=360°
两种多边形拼接时满足的条件：
正多边形1的个数×正多边形1的内角度数+正多边形2的个数×正多边形2的内角度数=360°
练习题
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圆和扇形
如左图所示，200米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆。已知每条跑道宽1.22米，那么外道的起点在内道起点前面多少米？（精确到0.01米）
半径越大，周长越长，所以外道的弯道比内道的弯道长，要保证内、外道的人跑的距离相等，外道的起点就要向前移，移的距离等于内外跑道的半个圆的周长。虽然弯道的各个半径都不知道，然而两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽。设外弯道中心线的半径为R，内弯道中心线的半径为r，则两个弯道的长度之差为
　　πR-πr＝π（R-r）
　　　　　 ＝3.14×1.22≈3.83（米）。
　　即外道的起点在内道起点前面3.83米。
例题1
例题2
有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆，此时橡皮筋的长度是多少厘米？
分析与解：由右上图知，绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和。将图中与BC弧类似的6个弧所对的圆心角平移拼补，得到6个角的和是360°，所以BC弧所对的圆心角是60°，6个BC弧等于直径5厘米的圆的周长。而线段AB等于塑料管的直径，由此知绳长=5×6＋5×3.14＝45.7（厘米）。
例题3
如图1所示，四个圆的半径都是5厘米，求阴影部分的面积。
图 1
分析与解：直接套用公式，正方形中间的阴影部分的面积不太好计算。容易看出，正方形中的空白部分是4个四分之一圆，利用五年级学过的割补法，可以得到右上图。右上图的阴影部分的面积与原图相同，等于一个正方形与4个半圆（即2个圆）的面积之和，
为（2r）2＋πr2×2=102＋3.14×50≈257（厘米2）。
例题4
正方形周长是圆环周长的2倍，当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，这个圆环转了几圈？
例题5
如图，甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别是多少齿？
由于齿轮齿数与圈数成反比，所以甲、乙、丙三个齿轮的齿数有如下关系：
　甲：乙=7：5=14：10
　乙：丙=2：7=10：35
　甲：乙：丙=14：10：35
例题 6
草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左图）。问：这只羊能够活动的范围有多大？
例题7
用四条直线最多能将一个圆分成几块？用100条直线呢？
由上面的分析可以看出，画第n条直线时应当与前面已画的（n—1）条直线都相交，此时将增加n块。因为一开始的圆算1块，所以n条直线最多将圆分成
　　1＋（1＋2＋3＋…＋n）
　　=1＋n（n+1）÷2（块）。
　　当n=100时，可分成
　　1＋100×（100＋1）÷2=5051（块）。
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例题1
引申拓展
如图，正方形ABCD的边长是6，O是正方形的中心，其中EO垂直于OF，求四边形EOFD的面积
桌面上有若干张大小相等的正方形纸片，按照顺序一张一张的摆放，要求后摆的纸片必须有一个顶点与前一张纸片的中心重合。
求：
①如果有5张纸片，桌面被覆盖的面积是多少？
②如果有N张纸片呢？
正方形的性质
例题2
如图，在大正方形中画一个最大的圆，圆内画一个最大的正方形，如此下去，共画了4个正方形，求最大正方形和最小正方形的面积之比。
正方形的性质
例题3
正方形ABCD的边长为6，点E、F分别为AD、BC的中点，M、N、K分别是AB、CD的三等分点，P为正方形ABCD内任意一点，求阴影部分的面积。
三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

已知五条线段长分别为3，5，7，9，11，若每次以其中三条线段为边组成三角形，则最多可构成互不全等的三角形（ ）个
解：先确定最大边，只要较小两边之和大于最大边长，即可构成三角形，由此易得，可构成的三角形的三边长为11、3、9；11、5、7；11、5、9；11、7、9；9、3、7；9、5、7；7、3、5；共7个。

已知等腰三角形的周长是8，边长为整数，则腰长是_________。
解：设腰长为a，则底边长为，根据三角形三边关系，确定不等式，所以腰长为3
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相似三角形的性质及判定
相似三角形就是形状相同，大小不等的三角形，只要形状不改变，大小怎么改变都可以
在小学阶段，最容易出现的就是由于两条平行线而出现的相似三角形，如下图
金字塔式
沙漏式
两条平行线被第三条直线所截而形成的同位角、内错角、同旁内角的识别
相似三角形的性质：
①相似三角形的对应角相等
②相似三角形的对应边成比例
③相似三角形的周长之比等于他们的相似比
④相似三角形的一切对应线段成比例，如对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径
⑤相似三角形的面积比等于相似比的平方

相似三角形的判定：
① 三个角相等的两个三角形相似 （平行线之间的内错角、对顶角、同旁内角相等）
②三边对应成比例的两个三角形相似
③有两对对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似
线段的n等分点的概念：
一条线段被平均分成n段，那么叫做把这条线段n等分，这样的点有（n-2）个，它们叫做这条线段的n等分点，这是应用等积转换和鸟头定理的基础

三角形和梯形的中位线：
三角形中位线是取三角形两腰中点的连线，中位线是一条线段，每个三角形有3条中位线，中位线的长度等于对应底边长度的一半。
梯形中位线是取梯形两腰中点的连线，中位线是一条线段，梯形有且只有一条中位线，中位线的长度是上下底之和的一半。
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相似三角形例题
已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且ΔADG的面积ΔEFG的面积多6平方厘米，则ΔABC的面积是多少平方厘米。
三角形等积转换
三角形面积公式 S=底×高÷2 所以当三角形同高时，面积之比也就等于底边长度之比，即两个三角形高相等时，面积与它们的底边长成正比
在解题的过程中，要先发现同高的三角形，根据底边长的比例，求出三角形的面积之比，再根据其他的条件进行计算
等积转换 例题1
等积转换 例题2
等积转换 例题3
图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍， EF的长是BF长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米?

左图是一个矩形，长为10厘米，宽为5厘米，则阴影部分面积为______平方厘米．
四边形ABCD中，M是AB的中点，P是BC的中点，N是CD的中点，Q是DA的中点，图中阴影部分的面积是1。求图中标有字母X、Y、Z、T的四个小三角形的面积之和为多少？
等积转换 例题4和5
如图，梯形ABCD的一腰AD被EF分成相等的三段，已知甲、乙两部分的面积之比为12：5，求AB与CD的长度之比
已知长方形ABCD的面积是24平方厘米，三角形ABE的面积是5平方厘米，三角形AFD的面积是6平方厘米，那么三角形AEF的面积是多少平方厘米．
鸟头定理 例1
AB=5BE,BC=4CF,AC=3CD,如果三角形DEF的面积是1，求三角形ABC的面积
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在右图中，AE：EC=1：2，CD：DB=1：4，BF：FA=1：3，△ABC的面积S=1，那么四边形AFHG的面积为_________。
燕尾定理+等积转换 连接AH
矩形面积切割定理
性质1
在矩形内部任取一点O，连接点O和矩形的四个顶点，将矩形分成了四个小三角形，它们的面积满足 S1+S2=S3+S4=矩形面积的一半
性质2
过矩形内部的任意一点引两条直线分别与矩形的两组边平行，把矩形分成了四个小矩形，他们的面积满足 S1×S4=S2×S3
O
矩形面积切割定理 例题1
例题2
如图，在长方形ABCD中，AB=6厘米，BC=8厘米，四边形EFHG的面积是3平方厘米，阴影部分的面积和是______平方厘米．
图中长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是15，34，47，那么图中阴影部分的面积是_______．

矩形面积切割定理 例题3
矩形ABCD被分成9个小矩形，其中5个小矩形的面积如图所示，求矩形ABCD的面积
1
2
3
4
16
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任意四边形蝴蝶定理
在一般四边形中，连接对角线后将其分成四个三角形，满足如下性质：
① S1×S3=S2×S4
② AO:OC=(S1+S2):(S3+S4)
③ DO:OB =(S1+S4):(S2+S3)
任意四边形蝴蝶定理 例1
如图所示，三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3，且AO=2，DO=3，求CO与DO的长度之比
梯形蝴蝶定理
在一般的梯形中，上底长度为a，下底长度为b，连接梯形对角线后将其分成四个三角形，他们满足如下性质：
① S1:S3=a² ：b²
② S2=S4
③ S1:S2=a:b
④ S1:S2:S3:S4=a² : ab : b² : ab
A
C
B
D
O
梯形蝴蝶定理 例题1
梯形蝴蝶定理 例题2
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梯形蝴蝶定理 例题3
图中△AOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，则梯形ABCD的面积为______．
三角形燕尾定理
G为三角形ABC内的任意一点，分别连接三个顶点与G点并延长与对边分别交于D、E、F三点；所分割成的三角形有如下性质：
①S（ABG）: S（AGC）= S（BGE）: S（GCE）= BE:EC
②S（ABG）: S（BGC）= S（AGF）: S（CGF）= AF:FC
③S（AGC）: S（BGC）= S（AGD）: S（BGD）=AD:DB
燕尾定理 例题1
燕尾定理 例题2
燕尾定理 例题3
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毕克定理 例题1
毕克定理 例题2
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阴影部分面积 例题1
阴影部分面积 例题2
立体图形的体积和表面积
有一个如图所示的通风管，求它的体积和表面积
例题1
例题2
如图，ABCD是直角梯形。（单位：厘米）
① 将梯形以AB为轴旋转一周，得到的旋转体体积是多少？
② 将梯形以CD为轴旋转一周，得到的旋转体体积是多少？
例题3
如图所示为一个棱长6厘米的正方体，从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体，则剩下的体积是原正方体的百分之______（保留一位小数）．
例题图形三视图
正视图
左视图
俯视图
3
1
2
2
求此立体图形的表面积和体积
俯视图
正视图
将一些变长为1的小正方体码放成一个立体。求这个立体的体积的最大值。
特殊值法 例题1
特殊值法 例题2
特殊值法 例题3
面积切割 例题1
面积切割 例题2
面积切割 例题3