一元一次方程
专题分析
方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．
用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．
如果给等式中的文字( 未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．
只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．
解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．
一元一次方程 ax=b 的解由 a，b 的取值来确定：
(1) 若a≠0，则方程有唯一解；
(2)若 a=0，且 b=0，方程变为 0×x=0，则 方程有无数多个解；
(3)若 a=0，且 b≠0，方程变为 0²x=b，则 方程无解．
例 1、 解方程
解法 一：
从里到外逐级去括号．去小括号得：
解法 二
按照分配律由外及里去括号．去中括号得：
例 2、 已知下面两个方程3(x+2)=5x，
①4x-3(a-x)=6x-7(a-x)
② 有相同的解，试求 a 的值 。
分析： 本题解题思路是从方程①中求出 x 的值，代入方程②，求出 a 的值．
解：由方程①可求得 3x-5x=-6，
所以 x=3．由已知，x=3 也是方程②的解，根据方程解的定义，把 x=3 代入方程②时，应有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，
7(a-3)-3(a-3)=18-12，
所以 4a=18,

a=
例 3、 已知方程 2(x+1)=3(x-1)的解为 a+2，求方程
2[2(x+3)-3(x-a)]=3a 的解．
解 ：由方程 2(x+1)=3(x-1)
解得 x=5．
由题设知 a+2=5，
所以 a=3．
于是有：
2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，
即 -2x=-21，
例 4、 解关于 x 的方程
(mx-n)(m+n)=0．
分析：这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n 取不同值时，方程解的情况．
解 ：把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0，
整理得 m(m+n)x=n(m+n)．
当m+n≠0且m≠0时，方程有唯一解
当 m+n≠0，且 m=0 时，方程无解；
当 m+n=0 时，方程的解为一切实数．
说明 ：含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围．解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．
例 5、 解方程
分析：本题将方程中的括号去掉后产生x 项，但整理化简后，可以消去x ，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程．
解、 将原方程整理化简得 ：
2
2
若 a-b≠0，即 a≠b，即 a=-b 时，方程无解；若 a-b=0，即 a=b，方程有无数多个解．
方程有唯一解
例 6、 已知(m -1)x -(m+1)x+8=0 是关于 x 的一元一次方程，求代数式 199(m+x)(x-2m)+m 的值．
2
2
解 ：因为(m -1)x -(m+1)x+8=0 是关于 x 的一元一次方程，
所以m -1=0，即 m=±1．
(1)当 m=1 时，方程变为-2x+8=0，
因此 x=4，
代数式的值为：
199(1+4)(4-2×1)+1=1991；
(2)当 m=-1 时，原方程无解．
所以所求代数式的值为 1991．
2
2
2
例 7 、
已知关于 x 的方程 a(2x-1)=3x-2 无解，
试求 a 的值．
解： 将原方程变形为：2ax-a=3x-2，
即 (2a-3)x=a-2．
由已知该方程无解，
所以2a-3=0且a-2≠0,
解得a=
例 8、 k为何正数时，方程 k x-k =2kx-5k 的解是正数？
2
2
分析 ：当方程ax=b有唯一解 时，此解的正负由不得a、b来确定：
(1)若 b=0 时，方程的解是零；反之，若方程 ax=b 的解是零，则 b=0 成立．
(2)若 ab＞0 时，则方程的解是正数；反之，若方程 ax=b 的解是正数，则 ab＞0 成立．
(3)若 ab＜0 时，则方程的解是负数；反之，若方程 ax=b 的解是负数，则 ab＜0 成立．
解： 按未知数 x 整理方程得(k2-2k)x=k2-5k．
要使方程的解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k)＞0．
看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)．
因为 k2≥0，
所以，只要 k＞5 或 k＜2且k≠0时，上式大于零，
所以，当 k＜2且k≠0 或 k＞5 时，原方程的解是正数，所以 k＞5 或 0＜k＜2 即为所求．
例 9 、若 abc=1，解方程
解： 因为 abc=1，所以原方程可变形为
说明： 像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．
例 10 、若 a，b，c 是正数，解方程
解法 1
原方程两边乘以 abc，得到方程
ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc．
移项、合并同类项得
ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)] +ac[x-(a+b+c)]=0，
因此有[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0．
因为 a＞0，b＞0，c＞0，
所以 ab+bc+ac≠0，所以x-(a+b+c)=0，
即 x=a+b+c 为原方程的解．
解法 2
将原方程右边的 3 移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到
设 m=a+b+c，则原方程变形为
因为a,b,c是正数，所以x-m=0, 即x-(a+b+c)=0．
所以 x=a+b+c 为原方程的解．
说明： 注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一．
例 11 、设 n 为自然数，[x]表示不超过 x 的最大整数，解方程：

x+2[x]+3[x]+4[x]+…+n[x]=
分析 要解此方程，必须先去掉[ ]，由于 n 是自然数，所以 n 与(n+1) 中必须有一个是偶数，因此
是整数，因为[x]是整数，2[x],3[x],…,n[x]都是整数，所以x必须是整数。
例 12 、已知关于 x 的方程

且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值．
练习
1．解下列方程：

(1)

(2)

(3)
2．解下列关于 x 的方程：
(1)、a (x-2)-3a=x+1；
(2)
(3)
2
3. a为何值时，方程
有无数多个解？无解？

4．当 k 取何值时，关于 x 的方程 3(x+1)=5-kx，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于 1 的解．
好好学习