函数(一)
这里主要研究运用函数的概念及函数的性质解题,函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材复习,这里以例题讲解应用
一.函数的对称性
例1 函数y = f ( x ) 对任意实数x，总有
（1）f (a－x) = f ( b + x )，这里a，b是常数，问函数的图像有什么性质，证明你的结论；
（2）f (a－x) =－f ( b + x )，这里a，b是常数，问函数的图像有什么性质，证明你的结论．
∴ PQ垂直直线 ，且被其平分，
【解（1）】 设y = f (a－x) = f ( b + x )则点P (a－x，y)，Q ( b + x， y) 都在函数y = f (x)的图像上．
且P、Q两点纵坐标相等，
∴ P、Q 两点关于直线 对称
而P、Q又是曲线y = f (x)上的动点，
∴ 函数y = f (x)的图像关于直线
对称．
【解（2）】设 y= f (a－x)=－f (b + x ) 则点R (a－x，y)，S ( b+x，－y)都在函数y = f (x) 的图像上．
∴
∴线段RS的中点是定点M（ ）．
即R、S两点关于定点M 对称，
而R、S是曲线y = f (x)上的动点．
∴ 函数y = f (x)的图像关于点 M（ ）对称．
问题:当a=0,b=0函数f(x)具有什么性质?
例2 f ( x )是奇函数，x＞0时，f ( x ) = x · (4－3x)，那么x＜0时f ( x ) = _______．
【解法1】x＞0时，f ( x ) = x·(4－3x)，
在其上取三点P1（0，0）、
则它们关于原点的对称点分别是Q1 (0，0)，
设x＜０时，
∵ Q2在其上， ∴
解之，得a = 3，
∴ x＜０时，
【解法2】 设x＜0，则－x＞0
∴ f (－x) = (－x)·(4 + 3x)
∵ f ( x )是奇函数，
∴ f (－x) = －f ( x )
∴ x＜0时，
f ( x ) =－f (－x )=x(4+3x)．
若把问题改为: f ( x )满足f ( 1+x ) = f (3- x ) ，x＞2时，f ( x ) = x · (4－3x)，那么x＜2时求 f ( x ) 的解析式.请解答.
例3 已知函数 f ( x ) 对任意实数a，b都有

，且f（0）≠0，则f ( x )是
（A）奇函数非偶函数
（B）偶函数非奇函数
（C）是奇函数也是偶函数
（D）既非奇函数也非偶函数
【讲解】

由 ，自然联想

到 ．

即y=cosx肯定是符合题意的一个函数．
自然就选（B）．
但要把本题改为解答题，又该如何？怎样用好已知的等式？
【解法1】
∵
∴
∴ f ( b ) = f (－b )且b∈R．
∴ f ( x )是R上的偶函数．
由于f ( 0 )≠0，所以f ( x )不是奇函数．
应选（B）．
于是, f ( a )+f (－a ) = 2 f ( 0 )·f ( a ) =2 f ( a )
∴ f (－a ) = f ( a )，a∈R
∴ f ( x )是R上的偶函数．
而f ( 0 )≠0，故f ( x )不是奇函数．
应选（B）．
例4 函数y = f ( x )在 (-∞,0] 上是减函数，而函数
y = f (x+1)是偶函数．设 ， b = f ( 3 ) ，

c = f (arccos (－1))．那么a，b，c的大小关系是____.
例5.定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有f(x＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( )
A.150 B. C.152 D.
解：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x＝
于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.即有一个根就是，其余100个根可分为50对，
每一对的两根关于x＝ 对称利用中点坐标公式，这100个根的和等于

×100＝150

例6.设f(x)是R上的奇函数，且f(x＋3)＝－f(x)，当

0≤x≤ 时，f(x)＝x，则f(2003)＝( )
A.－1 B.0 C.1 D.2003
解：f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝－f(x＋3)＝f(x)∴ f(x)的周期为6f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1
问题：函数f(x)满足f(a+x) =f(b-x)且f(c+x)= f(d-x)那么f(x)是不是周期函数?为什么?若是,周期是多少?
二.函数的单调性
【解法1】 设 ．
∴ f (x1 ) > f (x2 )

故函数 是减函数．
【解法2】
从而 是 上的减函数．
在y轴左侧，增减的转折点是x=－2，且先减后增，故[-2,0] 是递增区间；
在y轴右侧，增减的转折点是x = 2，且先减后增，故[2,+∞) 是递增区间．
例10. 已知f ( x )=－x2 + 2x + 8，
g ( x ) = f ( 2－x 2 )，求g ( x )的单调增区间．
【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题，所以应“分层剥离”为两个函数
t=－x2+2 ① y = f ( t ) =－t 2 + 2t + 8 ②
(1)x∈(-∞,-1] 时,函数①递增,且t≤1,而t ∈ (-∞, 1]
时,函数②也递增，故(-∞,-1] 是所求的一个单调增区间；
(2)x∈ (-1,0]时，函数①递增，且t∈(1,2] ，
而 t∈(1,2] 时，函数②递减，
故(-1,0] 是g ( x )的单调减区间；
(3)x∈(0,1]时,函数①递减，且t∈(1,2] ，
而 t∈(1,2],函数②也递减，
故(0,1]是g ( x )的单调增区间；
（4）x∈(1，+∞)时，
函数①递减，且t∈(－∞，1)
而t∈(－∞，1) 时，函数②递增，
故(1，+∞)是g ( x )的单调减区间．
综上知，所求g ( x )的增区间是
例12.已知(3x＋y)2001＋x2001＋4x＋y＝0，
求4x＋y的值.
解：构造函数f(x)＝x2001＋x，则
f(3x＋y)＋f(x)＝0注意到f(x)是奇函数且为R上的增函数，所以 3x＋y＝－x 4x＋y＝0
三 函数方程与迭代
例13解方程：ln( ＋x)＋ln( ＋2x)＋3x＝0
解：构造函数f(x)＝ln( ＋x)＋x则由已知得：f(x)＋f(2x)＝0不难知，f(x)为奇函数，且在R上是增函数(证明略)所以f(x)＝－f(2x)＝f(－2x)由函数的单调性，得x＝－2x所以原方程的解为x＝0
练习.1.设x,y是实数，且满足，

求x+y的值；

求cos(x+2y)
3.⑴解方程解方程x+log2(2x-31)=5
(2)解方程:(x＋8)2001＋x2001＋2x＋8＝0

(3)解方程：
(2)解：原方程化为(x＋8)2001＋(x＋8)＋x2001＋x＝0 即(x＋8)2001＋(x＋8)＝(－x)2001＋(－x)构造函数f(x)＝x2001＋x原方程等价于f(x＋8)＝f(－x)而由函数的单调性可知f(x)是R上的单调递增函数于是有x＋8＝－xx＝－4为原方程的解