函数（三）
六、幂函数、指数函数与对数函数
【讲解】由a＞0且a≠1知t＝3－ax是减函数，从而lg(3－ax) 也是减函数，故只有a＞1时，f (x)才是减函数；
另外， x [－1 ，1] 时， 要保证 3－ax＞0，为此只须考虑最小值：
x＝1时, tmin=3－a，要3－a＞0，
则a＜3，综上知1＜a＜3．
略解：(1)x的指数是0,所以原式=1
(2)x的指数是=0所以原式=1
(3)原式=
解：令121995=a>0则
¸
所以
例8.对于自然数a,b,c (a≤b≤c)和实数x,y,z,w若
(1)ax=by=cz=70w (2)
求证：a·b=c
例9.已知A=6lgp+lgq，其中p,q为素数，且满足q-p=29，求证：3
证明：由于p、q为素数，其差q-p=29为奇数，∴p=2,q=31
A=6lg2+lg31=lg(64×31)=lg1984
1000<1984<10000 故3
证：因为0
0,ay>0由平均值不等式
故
解：在直角坐标系内分别作出函数y=2x和y=log2x的图象，再作直线y=x和y= -x+3，由于y=2x和y=log2x互为反函数，故它们的图象关于直线y=x对称，方程log2x+x-3=0的根a就是直线y= -x+3与对数曲线y=log2x的交点A的横坐标，方程2x+x-3=0的根b就是直线y= -x+3与指数曲线y=2x的交点B的横坐标
设y= -x+3与y=x的交点为M，则点M的横坐标为(1.5,1.5)，所以a+b=2xM=3 log2a+2b=2yM=3
例12.设a、b分别是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，求a+b及log2a+2b
例13 已知函数 f (x)＝|2x －1 －1 |, a＜b＜c 且 f (a)＞f (c)＞f (b) ，则必有
(A) a＜b，b＜1，c＜1
(B) a＜1，b≥1，c＞1
(C) 2－a＜ 2c
(D) 2a＋2c＜4．
【解】函数y=2x的图像右移1个单位得 y = 2x－1 ，再下移1个单位得y = 2x－1 －1，再把 x 轴下方的部分翻折到x 轴上方得y =| 2x－1－1|，图像如下图
故必有a＜1且c＞1．
从而2a－1＜1，2c－1＞1
∴ f (a)＝1－2a－1，f (c)＝2c－1－1
∵ f (a) ＞f (c)
∴ 1－2a－1＞2c－1－1
∴ 2a＋2c＜4．
故选（D）．
(1) 当m＜－2 时，
① 有正实根，②有两个不等正实根．
∴ 原方程有三个实根；
(2) 当m＝－2 时，
① 有正实根，②有一个正实根．
∴ 原方程有两个实根；
(3) 当－2＜m＜0 时，
① 有正实根，②无实根．
∴ 原方程有一个实根；
(4) 当m≥0 时，
① 只有负根，而②无实根或实根为负．
∴ 原方程无实根．
综上所述，知
例15.解方程
(1)x+log2(2x-31)=5
(2) 2lgx×xlg2-2×xlg2-21+lgx+4=0
例16.设a>0且a≠1,求证：方程ax+a-x=2a的根不在区间[-1,1]内
解：设t=ax,则原方程化为：t2-2at+1=0 (1)
由Δ=4a2-4>0得a2>1,即a>1
令f(t)= t2-2at+1 , f(a)=a2-2a2+1=1-a2<0
下略
例16.解方程：lg2x-[lgx]-2=0 (其中[x]表示不大于实数x的最大整数)
解：由[x]的定义知，[x]≤x，
故原方程可变为不等式：
lg2x-lgx-2≤0即-1≤lgx≤2
当-1≤lgx<0时，[lgx]= -1，于是原方程为lg2x=1
解：易知：a>0且a≠1，
设u=x2+ax+5，原不等式可化为
因为f(4)=log3(2+1)×log5(4+1)=1
所以(1)等价于u>4,即x2+ax+5>4
此不等式有无穷多解
由f(4)=1知，(2)等价于0≤u≤4，
即0≤x2+ax+5≤4
从上式可知，只有当x2+ax+5=4有唯一解
即Δ=a2-4=0，a=2时，
不等式0≤x2+ax+5≤4有唯一解x= -1
综上所述，当a=2时原不等式有且只有一个解
又当k=0时，代入原式可推出a=0与已知矛盾，
故k的取值范围为(-∞,-1)U(0,1)
七.函数的最值与函数的值域
f(x)=log2x (2)
(1)×2+(2)消去log2x，
得3f(x)=6，f(x)=2
又f(4)=2,故f(x)的最大值为2
例21.求函数
的最小值
解：由1-3x>0得，x<0,所以函数的定义域为(-∞,0)
令3x=t,则t∈(0,1)，于是
故当x= -1时，得y的最小值-2+2log23
例22 已知函数f (x) 和g(x)都是奇函数，且 F(x) =a · f (x)+b · g(x)+2 ，若在 (0, +∞)上F(x)有最大值8, 则在(－∞, 0)上F(x) 有
(A) 最小值－8 (B) 最小值－4
(C) 最小值－6 (D) 最大值－8
【解】设x＜0，则－x＞0，
依题意F(－x)＝af (－x)+bg(－x)+2≤8
∵ f (x) 和g(x)是奇函数
∴－af (x)－bg (x)+2≤8
∴ a · f (x)+bg (x)≥－6
∴ F (x)＝af (x)+bg (x)+2≥－4．
故F (x)在（－∞，0）上有最小值－4．
应选（B）．
【讲解】若把定义域扩大为 ,那么用平均值不等式知，x＝b时，y 有最小值2b, 而当 时， ,于是猜想，在 上函数递减，当然
在 上 也是减函数．于是有下面的解法1和2．
【讲解】另一个途径就是对函数解析式做出变形，一方面可以变换为x的一元二次方程，用根的判别式建立y的不等式，另一方面可以创造条件使用均值不等式，或配方，以构造y的不等式，另外，函数解析式变形后，可以和三角公式相联系，寻求三角代换的方法．
