圆幂与根轴
平面几何讲座之
1.概念：
圆的幂是表示平面上一点P与圆O的位置关系的一个量。
定义：点P对圆O的幂=PO2-R2
2.圆幂定理
圆幂定理实质上是三个定理的统一概括：
——切线定理，割线定理，以及相交弦定理
一.圆幂
等差幂线定理：平面上到两点间距离的平方差为定值的点的轨迹是一条垂直于该两点连线的直线。该直线称为等差幂线。反之，等差幂线上任一点到所对应两点距离的平方差为定值。
二.等差幂线定理

注1：等差幂线定理由同一法易证，本处略。
注2：一般的，在证明角度关系较为缺乏，而线段数量关系较为丰富的垂直问题，等差幂线定理是首选。但应选择构造适当的等式关系进行转化而不应陷于纯粹的计算。
1.定义与定理：平面上到已知两圆的幂相等点的轨迹是一条垂直于两圆连心线的直线，称之为根轴。
根轴的本质是等差幂线。
*几类特殊的根轴
两圆相交——根轴为相交弦所在直线
两圆外切——根轴为内公切线
两圆内切——根轴为公切线
三.根轴
蒙日定理：三圆彼此相交，则三条根轴相交于一点（三圆圆心不共线）或彼此平行（三圆圆心共线）。习惯上，称三根轴的交点为根心
四.蒙日定理与根心
有相当一部分几何题用圆幂与根轴的性质处理会意想不到地便捷。然而大多题目表面上不会涉及圆幂根轴。故应发挥圆幂根轴“中转站”的功能，将各类几何论断联系起来。而不应往相关方面生搬硬套。下面来看几道习题。
例一.设AD是圆O1,圆O2的公共弦，过D的直线交圆O1于B，交圆O2于C。E是线段AD上异于A,D的点。连结CE交圆O1于P,Q,连结BE交圆O2于MN.证明：1.P,M,Q,N共圆，记圆心O3.
2.DO3⊥BC
1.证明：由相交弦定理，ME×EN=AE×ED=QE×EP 知P,M,Q,N共圆
例一.设AD是圆O1,圆O2的公共弦，过D的直线交圆O1于B，交圆O2于C。E是线段AD上异于A,D的点。连结CE交圆O1于P,Q,连结BE交圆O2于MN.证明：1.P,M,Q,N共圆，记圆心O3.
2.DO3⊥BC
2.设圆O3半径为R. 则B到圆O3的幂=BO32-R2=BM×BN=BD×BC C到圆O3的幂=CO32-R2=CP×CQ=CD×BC
故BO32-CO32=BD×BC-CD×BC=(BD-CD) ×BC =(BD-CD) (BD+CD) =BD2-CD2 所以 DO3⊥BC
解析：延长PQ至N，使PQ×QN=BQ×QC
于是，∠PNC= ∠PBC= ∠PDA，∴Q,N,D,C四点共圆，PQ×PN=PC×PD
两式相减有PQ2=PC×PD-BQ×QC=P的幂+Q的幂。
例二：设P是圆O外一点，PAB,PCD是两条切线，AD,BC交于点Q，延长BD,AC交于点R.求证：PQ2=P的幂+Q的幂 PR2=P的幂+R的幂
又在PR上取点M，连CM,满足∠PAC= ∠CMR= ∠CDB,于是又P,A,C,M共圆，M,C,D,R共圆。故有RM×RP=RC×RA,PM×PR=PC×PD,两式相加即有PR2=P的幂+R的幂
例二：设P是圆O外一点，PAB,PCD是两条切线，AD,BC交于点Q，延长BD,AC交于点R.求证：PQ2=P的幂+Q的幂 PR2=P的幂+R的幂
评注：这个结论十分重要，应作为定理牢记。
用本题结论可以很容易地证明2003国家集训队的一道试题以及2010年全国高中数学联赛加试第一题。

例三.四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC,BD交于点H.且四边对边延长线分别交于点P,点O.求证：OH⊥PQ.（2003国家集训队）

思路分析：本题角度关系相对缺乏，应联想运用等差幂线定理证明。
证明：由前面的结论PH2=P的幂+H的幂
QH2=Q的幂+H的幂
则PH2-QH2=P的幂-Q的幂=（PO2-R2)-(QO2-R2)=PO2-QO2 由等差幂线定理，OH⊥PQ. 证毕
思路分析：本题若不知前面的结论，证明会有相当困
难。但若在前两题的基础上，思考如何将问题转化为
已解决的问题，不难想到用同一法和反证法处理。
例四.已知锐角三角形ABC外心为O,K是边BC上一点（不是中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于M。求证：若OK⊥MN，则A,B,D,C四点共圆。（2010全国高中数学联赛加试）
证明：假设A,B,C,D不共圆，并设AK交三角形ABC外接圆与D’ 连结CD’并延长交AM延长线与M’
同样得到N’ 连结M’N’。设AK延长线交MN,M’N’与R,R’。
由例二的结论，OK⊥M’N’.而已知OK ⊥MN。∴MN∥ M’N’. 且有MR/RN=M’R’/R’N’
三角形AMN中，AR,CM,BN交于一点。由赛瓦定理，
AB/BM×MR/RN×NC/CA=1
三角形AM’N’中，同理AB/BM’ ×M’R’/R’N’ ×N’C/CA=1
两式相除得到 BM/BM’=CN/CN’
再由比例的性质
BM/MM’=CN/NN’
过B做MN平行线交AN于B’ 因三线平行
而BM/BM’=B’N/NN’
从而B’N=CN.
B’,C重合 即有BC∥MN OK⊥BC
这将导致K为BC中点，矛盾。从而必有A,B,C,D四点共圆。
解析：易知NK，BC不平行。设三圆根轴(BC,NK,AM)交于点P，连结PO,AO,KM。设圆O半径R。则由∠KMP= ∠ANK= ∠ACB得M,P,C,K四点共圆。
下面来看几道关于根轴根心的题目。
例五.设三角形ABC的边AB,AC上分别有N,K两点，且N,K,C,B四点共圆。若三角形ABC,三角形ANK外接圆还交于异于A的点M。求证：AM⊥OM
由根轴及圆幂，有PM×PA=PC×PB=PO2-R2,
AM×PA=AK×AC=AO2-R2 两式相减，并利用PA=PM+AM
得 PM2-AM2=PO2-AO2
即有AM⊥OM
下面来看几道关于根轴根心的题目。
例五.设三角形ABC的边AB,AC上分别有N,K两点，且N,K,C,B四点共圆。若三角形ABC,三角形ANK外接圆还交于异于A的点M。求证：AM⊥OM
证明：如图，设过S,T的切线与小圆根轴直线MN交于P(根心），连结PO，交ST于Q。若S,N,T共线，有PN×PM=PT2=PQ×PO,于是N,M,O,Q共圆，PO⊥ST。故OM⊥MN
例六.圆O1，圆O2相交于点MN,且分别于大圆O内切于点S,T，求证OM⊥MN等价于S,N,T共线
反之，若OM ⊥MN,设ST与PM交于点N’.则由ST ⊥PO知PN’ ×PM=PQ ×PO=PT2=PN ×PM故N与N’重合。证毕。
例六.圆O1，圆O2相交于点MN,且分别于大圆O内切于点S,T，求证OM⊥MN等价于S,N,T共线
例七.已知凸四边形EBCD对角线交于O，三角形EOD，三角形BOC垂心分别为H1,H2.BE,CD延长后交于点A.求证：A, H1,H2共线等价于E,B,C,D共圆。
证明：设D在EO上投影为F, E在DO上投影为G， B在CO上投影为Q， C在BO上投影为P
考虑以EB为直径的圆O1(过G,Q) 以CD为直径的圆O2 （过F,P)
由于H1对圆O1,O2的幂相等（DH1×H1F=EH1×H1G)，H1在两圆根轴上。同理H2也在两圆根轴上。。所以H1H2为两圆根轴。
例七.已知凸四边形EBCD对角线交于O，三角形EOD，三角形BOC垂心分别为H1,H2.BE,CD延长后交于点A.求证：A, H1,H2共线等价于E,B,C,D共圆。
于是，H1,H2,A共线等价于A在两圆之根轴上
等价于AE×AB=AD×AC
等价于E,B,C,D四点共圆。证毕。
最后，再来看一道比较复杂的问题
例八.如图，四边形ABCD内接于圆。其边AB，CD延长线交于点P。AD,BC延长线交于点Q。由点Q作圆的两切线QE,QF。证明：P,E,F共线。
证明：连QP并在QP上取点M使得B,C,M,P四点共圆 则QE2=QC×QB=QM×QP①
∵∠PMC=∠ABC=∠QDC
∴Q,M,C,D四点共圆
∴PC×PD=PM×PQ②
最后，再来看一道比较复杂的问题
例八.如图，四边形ABCD内接于圆。其边AB，CD延长线交于点P。AD,BC延长线交于点Q。由点Q作圆的两切线QE,QF。证明：P,E,F共线。
连PF交圆ABCD于E’ 做QG⊥PF于G 则有PC×PD=PE’ ×PF③
QC×QB=QF2④
①+②并注意③ ④有
QM×QP+PM×PQ=PQ2=QC×QB+PC×PD
最后，再来看一道比较复杂的问题
例八.如图，四边形ABCD内接于圆。其边AB，CD延长线交于点P。AD,BC延长线交于点Q。由点Q作圆的两切线QE,QF。证明：P,E,F共线。
=QF2+PE’ ×PF ∴PQ2-QF2=PE’ ×PF=(PG-GE’)PF ⑤ 又PQ2-QF2=(PG2+QG2)-(QG2+GF2)=PG2-GF2=(PG-GF)(PG+GF)=(PG-GE)PF⑥
比较⑤ ⑥得PE’=PG-GE’=PG-GE ∴E=E’ 即有P,E,F共线。证毕
通过以上两例可以发现：很多情况根轴与根心并不是问题证明的核心，而是起到转化线段数量关系的作用。对于多圆相交（切）的问题，应尝试用蒙日定理及切割线定理构造，发现四点共圆。
下面留两个思考题。
m为圆O外一条直线。OP ⊥m，P在m上。Q为m上异于P的一点。QA,QB是圆的两切线，PM,PN,分别与QA,QB垂直，M,N为垂足。直线MN与OP交于K.求证：K是不依赖于Q点位置的一定点。（提示：用Simson定理（见附））
圆内接四边形ABCD内有点P，且∠BPC= ∠BAP+ ∠CDP.令E,F,G,分别为P到AB,AD,CD之垂足。求证：⊿FEG∽ ⊿PBC
附：平面几何中的基本定理
1.梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）
　　△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点A'、B'、C'，则A'、B'、C'共线的充要条件是
　　CB'/A'C·CB'/B'A·AC'/C'B=1
2.塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）
　　△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点A'、B'、C'，则AA'、BB'、CC'三线平行或交于一点的充要条件是
　　BA'/A'C·CB'/BA'·AC'/C'B=1
3.托勒密(Ptolemy)定理
　　四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。
4.西姆松(Simson)定理（西姆松线）
　　从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
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