令a5=b4=k20(k是正整数),
令c3=d2=m6(m是正整数),
则a=k4, b=k5;
则c=m2, d=m3;
由a-c=15,得
k4-m2=15
(k2+m)(k2-m)=15×1=5×3.
因为 k,m是正整数,
k2+m>k2-m,则
用换元法，然后从分解因式和分解因数入手
看似很难，但懂得方法就简单了。
42.若k=47+41004+4n,并且k是一个完全平方数,则正整数n= 或 .
由k=(27)2+2×27×22000+(22000)2,
=(27+22000)2,
得n=2000
由k=(27)2+2×27×21004+(21004)2,
a2+2ab+b2=(a+b)2
4n可以是完全平方式的b项，
也可以是完全平方式的2ab项，
=(27+21004)2,
得n=506.
此题有2个考点： ①必须熟练掌握好完全平方公式
②不能忘记分类讨论思想
43. 若实数x,y满足x2+y2+x2y2-4xy+1=0,则(x+y)2= .
一条等式，要求两个未知数，首先就要联想到以前做过的利用非负数性质，即非负数+非负数+···+非负数=0,各非负数都等于0。或者是考虑A×B=0，得出A=0或B=0。
这里的非负数可能是两个完全平方式。
将-4xy拆成两个-2xy.则原式可化为
44.若n(n≠0)是关于x的方程x2-mx-5n=0的根，则m-n= .
要理解“根”的定义，
若n代入得
n2-mn-5n=0
A×B=0，得出A=0或B=0。
一条等式，要求两个或两个以上未知数，首先就要联想到利用非负数性质，非负数没得想，那么就考虑
n(n-m-5)=0
∵n≠0
∴n-m=5
即m-n=-5
其中的规律可用含n(n为正整数)的等式表示为 .
两个连续奇数的积
A×B=0，得出A=0或B=0。
分解因式非常重要
从未知入手，化为含有已知的式子。再整体代入。
也可从已知入手，通过适当变形,
再整体代换
整体代换
适当变形
解法1:利用1=abc,以及中间项不变.
若abc=1，求
解法1：因为abc=1，所以a，b，c都不为零．
已学
若abc=1，解方程
解： ∵abc=1，所以原方程可变形为
化简整理为
化简整理为
49. 若a,b,c是互不相等的实数,化简
中间项作为桥梁，最主要是把b-c拆成a-b和c-a,然后再利用平方差公式。
49. 若a,b,c是互不相等的实数,化简
用换元法
化简计算(式中a，b，c两两不相等)：
因为关于x的不等式ax>b的解集是
(乘法法则)
的解集是x< 4，则m的取值范围是 .
由原不等式组可知
4x+24>5x+20,
解得x< 4.
又 x<-m.
∴-m≥4,
故 m≤-4.
（a+b)2013= .
又知-153. 在xy直角坐标系中，无论k为何值，一次函数(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0的图象必经过定点 .
函数的解析式可变形为
k(2x-y-1)+(-x-3y+11)=0
无论k为何值该式都成立，所以
解2:由(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0，
得:(2x-y)k-(x+3y)=k-11.
不论k为何值,上式都成立.
所以2x-y=1,x+3y=11,
解得:x=2,y=3.
即不论k为何值,一次函数(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0的图象恒过(2,3).
不管k取何值都要成立,也就是与k无关 那么k的系数必为0.
而为了使等式k(2x-y-1)-(x+y-11)=0成立,x+y-11也要为0.
所以此函数的图象必经过定点(2,3).
待定系数法.
54. 在xy直角坐标系中,若函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P,并且点P关于原点的对称点P‘的坐标是(-4,2),则关于x,y的方程组
由点P‘的坐标是(-4,2),可知点P的坐标是(4,-2).
又因为两直线的交点坐标就是方程组的解,
设点A的坐标是A(x1,y1),则点B的坐标是B(0,y1)
x1y1=-3
线段AB的长是|x1|,
线段OB的长是|y1|,
所以△AOB的面积是
A
①△ODB与△OCA的面积相等；
②四边形PAOB的面积不会发生变化；
③PA与PB始终相等；
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点.
其中，错误的结论是 .
不妨设点P的坐标是(x0,y0),其中
x0>0,y0>0,且
x0y0=k.
由题意知,C点的坐标是(x0,0),
D点的坐标是(0,y0),
∴①正确.
②四边形PAOB的面积不会发生变化；
③PA与PB始终相等；
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点.
不妨设点P的坐标是(x0,y0),其中
x0>0,y0>0,且
x0y0=k.
由题意知,C点的坐标是(x0,0),
D点的坐标是(0,y0),
∴四边形PAOB的面积不会发生变化;②正确.
PA与PB的长度随P点的位置变化而变化,所以③不正确.
当点A是PC的中点时,
此时B点的横坐标是
所以B点恰好是PD的中点,④正确.
又∵点B在第四象限,
解:分别过A、B作AN⊥y轴于N，BM⊥y轴于M，设A(a，b),
∴ab=1
在△OAN与△BOM中,
∠AON=90°-∠BOM=∠OBM，∠ONA=∠BMO=90°，
∴△OAN∽△BOM,
在Rt△AOB中,∠AOB=90°,∠B=30°,
本题应用到相似三角形的判定及性质，用待定系数法求函数的解析式。
自A,B分别作y轴的垂线AN,BM,垂足分别为N,M.则
想不出面积比为什么会等于1:3
58. 图7(1)是一个正三角形,分别连接这个三角形各边上的中点得到图(2),再连接图(2)中间的小三角形各边上的中点得到图(3),按此方法继续下去.前三个图形中三角形的个数分别是1个,5个,9个,那么第5个图形中三角形的个数是 个；第n个图形中三角形的个数是 个。
前三个图形中三角形的个数分别是1个,5个,9个,
第2个图形中三角形的个数比第1个图形中三角形的个数多4个,
第3个图形中三角形的个数比第2个图形中三角形的个数也多4个,···
于是第5个图形中三角形的个数是
9+4+4=17(个)
第n个图形中三角形的个数是
1+4(n-1)=4n-3(个).
59.已知P是正方形ABCD所在平面上的点,使△PAB,△PBC,△PCD,
△PDA都是等腰三角形的点P有 个.
点P可能在正方形内,也可能在正方形外,
A
P点有9处,如图,以正方形的各边为边向正方形的内或外作等边三角形,则这些等边三角形的顶点为所作的P点，
还有正方形的对角线的交点也满足条件.
根据正方形的性质可得,满足这样的点首先有:两条对角线的交点;
再以四个顶点为圆心以边长为半径画圆，在正方形里面和外面的交点一共有8个．根据半径相等，这些点就是要求的点．
59.已知P是正方形ABCD所在平面上的点,使△PAB,△PBC,△PCD,
△PDA都是等腰三角形的点P有 个.
易知正方形的中心满足条件.
画出正方形平行于边的对称轴，分别以A、B、C、D为圆心，以边长为半径画弧，
这些弧线与两条对称轴有8个交点，
60.若△ABC的三边长a,b,c满c3=a3+b3,则△ABC是 三角形.
(填“锐角”、“直角”或“钝角）
显然c>a, c>b,
所以△ABC是锐角三角形.
解:∵a3+b3=c3
∴∠C为△ABC中的最大角,
∴∠C为锐角．
还要用到“余弦定理”
其实答案这样说不严谨
∵a3+b3=c3
显然c>a,c>b,
61.过等腰三角形一个底角顶点的直线将等腰三角形分为两个等腰三角形，则原来的等腰三角形顶角的度数是 .
分类讨论相思
设△ABC中,AB=AC,∠A=x°,
⑴如图,当AD=DB,CB=CD时,
∠A=∠ABD=x°,
∠BDC=∠CBD=2x°,
∴∠ABC=∠ACB=3x°,
∴7x°=180°,
⑵如图,当AD=DB=CB时,
∠A=∠ABD=x°,
∠BDC=∠BCD=∠ABC=2x°,
∵∠A=∠ABC=∠ACB=180°,
∵∠A=∠ABC=∠ACB=180°,
∴5x°=180°,
∴ ∠A=36°.
如果过等腰三角形的一个顶点的直线将这个等腰三角形分成两个等腰三角形，那么这个等腰三角形的顶角的度数为 .
分类讨论相思
经过顶角的顶点有两种情况，
经过底角的顶点也有两种情况,
①当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形,则AC=BC,
AD=CD=BD，
设∠A=x°
则∠ACD=∠A=x°,∠B=∠A=x°,
∴∠BCD=∠B=x°,
4x=180°
∴顶角是90°
②如图,AC=BC=BD,AD=CD,
设∠B=x°,
∴∠A=∠B=∠ACD=x°
∴∠CDB=∠BCD=2x°
5x=180°
则顶角是108°.
③当过底角的的顶点把它分成了两个等腰三角形，如上题
一种是顶角是36°．
62.如图，将周长为8的ΔABC沿BC方向平移1个单位，得到ΔDEF，则四边形ABFD的周长为 .
又∵AB+BC+AC=8，
将△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
∴AD=1，
BF=BC+CF
DF=AC,
=BC+1,
∴四边形ABFD的周长是
AD+AB+BF+DF
=1+AB+BC+1+AC
=1+8+1=10.
63.如图,已知ΔABC与ΔCDE都是等边三角形,若∠AEB=145°,则∠DBE的度数是 .
易证△ACE≌△BCD
（SAS）
∵∠DBE=∠EBC+∠CBD
可能有∠CBD=∠CAE
将∠DBE拆分，替换
可在∠EBC、∠CBD这两个角中看是否能找到对等的角来替换
现在已有∠DBE=∠EBC+∠CAE
怎么能∠EBC+∠CAE扯在一起.
又跟∠AEB=145°有关联,
∵∠CAE+∠EAB +∠ABE+∠EBC+∠BCA=180°
∠EBC+∠CAE=180°-60°-（180°-145°）
∠DBE=85°
64.As showing in the figure 10, if ∠XOY=60°,M is a point in the angle ∠XOY. The distance from M to OX is MA, which is 2. The distance from M to OY is MB, which is 11. The value of OM is .
64.译文：如图10，若∠XOY=60°,点M是∠XOY内一点，它到OX的距离MA=2,到OY的距离MB=11,则OM= .
如图,延长AM交OY于C,则
∠ACO=30°,
在Rt△MBC中,
MC=2MB=22,
OC=2OA,
在Rt△CAO中,
AC=AM+MC=24.
OA2=OC2-AC2
=4OA2-AC2
在Rt△MAO中,
OM2=OA2+AM2
∴OM=14.
D1
B1
易发现△BB1C≌△CD1D（ASA）
由B、D分别向l4引垂线，交l4于B1、D1，
∴B1C=D1D=2.
又∵BB1=1.
66.如图，分别以△ABC的AB、AC为边在形外作正方形ABEF、ACMN，若△ABC的面积S△ABC =6，则△AFN的面积S△AFN= .
N
分别作NH⊥FA于H,CG⊥AB于G,
可证明△AGC≌△AHN，（AAS）
∴CG=NH.
又∵AB=AF,
S△AFN =S△ABC=6.
67.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在D‘处，则重叠部分△AFC的面积为 .
易证△AFD′≌△CFB,
∴D′F=BF，
设D′F=x，则AF=8-x，
在Rt△AFD′中，(8-x)2=x2+42，
解得：x=3，
∴AF=AB-FB=8-3=5,
过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、H，过C点作CG⊥DH，垂足为G，
∵DH⊥x轴,
∴DH∥y轴,
DG=BO=2,
又∵AE=ED
∴AO=OH,
而A(-1,0),
故D(1,K).
∵ABCD是平行四边形，
∴AB=CD, ∠ABC=∠ADC，
∵BO∥DH，
∴∠OBC=∠EDH,
∴∠CDG=∠ABO，
∴△AOB≌△CGD（AAS）
∵∠AOB=∠DGC=90°
故C(2,k-2).
∴GC=AO=1
∵C、D在双曲线上,
∴1×k=2×(k-2)
解得k=4
69.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°，点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C运动，给出以下结论：
A
①AE=AF;
②∠CEF=∠CFE;
③当点E、F分别为边BC、DC的中点时,△AEF是等边三角形;
④当点E、F分别为边BC、DC的中点时,△AEF的面积最大.
其中正确的结论有 个.
解:∵点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C运动,
∴BE=DF,
∵AB=AD,∠B=∠D,
∴△ABE≌△ADF,
∴AE=AF,①正确;
∴CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE,②正确;
∵BE=DF,
∵在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=BC,
∴△ABC是等边三角形,
∴当点E、F分别为边BC、DC的中点时,(三线合一）
∴△ABE和△ADF是直角三角形,且∠BAE=∠DAF=30°,
∴∠EAF=120°-30°-30°=60°，
∴△AEF是等边三角形,③正确;
69.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°，点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C运动，给出以下结论：
④当点E、F分别为边BC、DC的中点时,△AEF的面积最大.
其中正确的结论有 个.
∵△AEF的面积
=菱形ABCD的面积-△ABE的面积-△ADF的面积-△CEF的面积
∴△AEF的面积是BE的二次函数,
∴当BE=0时,△AEF的面积最大,④错误.
69. 在梯形ABCD中,AD∥BC，∠A=90°,∠C= 45°,E是CD的中点,AB=2AD=4,则BE= .
过点D、E作DF⊥BC交BC于点F,延长AD、BE交于点G.
由题易得BF=2,
∵∠C= 45°,
∴CF=DF=4
BC=BF+FC=6,
∵E是CD的中点,
AD∥BC
∴DG=BC=6,
在Rt△ABG中,
且BG=2BE,
四边形ABFD是矩形，
70. 在梯形ABCD中,AD∥BC，∠A=90°,∠C= 45°,E是CD的中点,AB=2AD=4,则BE= .
A
解:如图,分别过点D、E作DF⊥BC于点F,EH⊥BC于点H,
∴EH∥DF,∠DFB=∠DFC=∠EHB=∠EHC=90°,
又∠A=90°AD∥BC,
∴∠ABC=90度,
∴四边形ABFD是矩形,
∵AB=2AD=4,
∴AD=2,
∴BF=AD=2，DF=AB=4，
在Rt△DFC中,∠C=45°,
∴FC=DF=4,
∵E是CD的中点,
∴HC=EH=2,
∴FH=2，
∴BH=4,
在Rt△EBH中,
上式对k=1,2,3,···,99求和，得
72.The positive real number solution for the equation
解:令xyz=u,则
到U=6时，就有点牵强了。
能被3或9整除的数的特征是:这个数的各位上的数字之和能被3或9整除.
解：x,y都是0到9的整数，
因为 x,y,z是正整数,
由原方程得
经检验(1,2,3)是原方程的根，
故原方程的正整数解是(1,2,3).
75.一个正整数的平方数，去掉它的个位数、十位数和百位数后，还有一个平方数。则满足要求的最大的正整数 .
设n为所求,去掉n2的后三位数,得至k2,则
0≤n2-1000k2<1000,
n2>1000k2,
n≥32k,
1000>n2-1000k2≥322k2-1000k2=24k2
∴6≥k.
当k=6时，n≥192.
若n>192,则
1000>n2-1000k2>1932-1000×62=1249
显然不成立.
当n=192时,1922=36846满足要求.
同余
两个整数a,b除以正整数m，若余数相同，则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)，这叫做同余式。
76.若m,n是整数,且n2+3m2n2=30m2+517,求3m2n2的值.
由题设的等式，得
如果a≡b(mod m)，则m∣b－a
77.一个三角形可以被分成两个等腰三角形,若原三角形的一个内角是36°,求原三角形的最大内角的所有可能值.
设△ABC中，∠B=36°.
分类讨论思想
⑴若分割线不过点B.
①∠B=36°,AD=AB=CD(图①),最大角是∠A=126°,
②∠B=36°,AD=DB=CD(图②),最大角是∠A=90°,
③∠B=36°,AD=DB=AC(图③),最大角是∠A=72°,
④∠B=36°,AD=DB,DC=AC(图④),最大角是∠A=108°,
⑤∠B=36°,AD=DC,DB=AB(图⑤),最大角是∠A=108°,
⑵若分割线过点B.
⑥∠B=36°,BD=DC,AD=AB(图⑥),最大角是∠A=132°,
78.如图,等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,点D在AC上，将△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE.若AB=4,AD:DC=1:3,求DE的长度.
中考题，但此题本来有①求∠DCE的度数；②才求DE的长度，它将第一点省了，就变得不知从哪里入手。
∵△CBE是由△ABD旋转得到的,
∴△ABD≌△CBE,
∴∠A=∠BCE=45°,
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=90°.
在等腰直角三角形ABC中,
∵AB=4,
又∵ AD:DC=1:3
∵ AD=CE，且∠DCE=90°，
⑴求证：DA平分∠CDE．
⑵对任意的实数b(b≠0),AD•BD为定值;
⑶是否存在直线AB,使得四边形OBCD为平行四边形?若存在,求出直线的解析式;若不存在,请说明理由.
⑴证明:对于y=x+b,令x=0,则y=b;令y=0,则x=-b,
∴A点坐标为(-b，0),B点坐标为 (0，b),
∴∠OAB=45°，
∴OA=OB,
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠DAC=∠OAB=45°
又∵DC⊥x轴，DE⊥y轴,
∴∠ACD=∠CDE=90°,
∴∠ADC=45°,
∴AD平分∠CDE;
⑵对任意的实数b(b≠0),AD•BD为定值;
A
∴△ACD和△BDE均为等腰直角三角形
⑵ ∵∠ADC=∠EDB=45°,
∴CD•DE=2,
⑶是否存在直线AB,使得四边形OBCD为平行四边形?若存在,求出直线的解析式;若不存在,请说明理由.
⑶存在直线AB，使得OBCD为平行四边形.
理由如下:
若四边形OBCD为平行四边形,则AO=AC,OB=CD,
由⑴知AO=BO,AC=CD
∴OC=2AO=2OB=-2b, DC=OB=-b,
∴D点坐标为(-2b，-b),
解得b=1或b=-1,
∵b＜0,
∴b=-1,
∴存在直线AB:y=x-1,使得四边形OBCD为平行四边形.
直线y=k1x+b,与y轴的交点是(0,b),
将直线y=k1x+b向下平移2b个单位得到, y1=k1x-b的图象,
点A′、B′的横坐标分别为-1,4.
过点A′、B′分别作y轴的平行线得到四个区域，观察知区域①、③中
④
③
②
①
一次函数y1=k1x-b的图象在反比例函数
④
③
②
①
由交点的横坐标，得到自变量的取值范围是
x<-1或
0＜x＜4.
x<-1或
0＜x＜4.
-5＜x＜-1或x＞0.
∴不等式的解集可由双曲线不动,直线向下平移2b个单位得到,
直线向下平移2b个单位的图象如图所示,
交点A′的横坐标为-1,交点B′的横坐标为-5,
当-5＜x＜-1或x＞0时,
双曲线图象在直线图象上方,