11.1 与三角形有关的角（1）
旧知回顾
我们已经知道,任意一个三角形的内角和等于180°.怎么证明这个结论呢?
方法一:通过具体的度量,验证三角形的内角和为180°.
验证：三角形的三个内角和是180°
图1
图2

图3
A
B
C
A
A
B
B
C
C

结论：三角形的内角和等于1800.
证明：过点A作EF∥BC
则∠B=∠2（两直线平行,内错角相等）
同理∠C=∠1
因为∠2+∠1+∠BAC=1800（平角定义）
所以∠B+∠C+∠BAC=1800（等量代换）
已知：△ABC.
求证：∠A +∠B +∠C =180°
E F
三角形内角和定理: 三角形内角和等于180°.
证明:沿长BC到D点,过点C作AB的平行线CE.
方法二
证明:过A作AE∥BC，
∴∠C=∠CAE (两直线平行,内错角相等)
∠EAC+∠BAC+∠B=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换)
方法三
三角形内角和定理: 三角形内角和等于180°.
三角形内角和定理: 三角形内角和等于180°.
证明:过⊿ABC的两个锐角作BC的垂线BD和CE,
过点A作BD的平行线AF.由图可知BD∥AF∥CE.
∴∠BAF=∠ABD
∠ECA=∠FAC
(两条直线平行,内错角相等.)
∴ ⊿ABC的三个内角


∠A+∠B+∠C=∠ABC+∠ACB+ ∠BAF+ ∠FAC=
=∠DBA+∠ABC+∠ACB+∠ACE=90°+90°=180°
方法四
思路总结
为了证明三个角的和为180°,利用逆向思考的方法,把问题转化为一个平角,同旁内角互补,或者两个直角之和,或者其它方法.这种转化思想是数学中的常用方法.
一个三角形中能有两个直角吗？
一个三角形中能有两个钝角吗？
三个内角都能小于600吗？
讨论
例题讲解
例1.已知: 在△ ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线.求∠ADB的度数。
例题讲解
例2.如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C 岛在B 岛的北偏西40°方向,从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度?
练一练
1.求出下列图中x的值:
x
x
x
x =600
x
x
x =450
2 x
x
┐
x =300
练一练
2.在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C , 求∠C的度数。
解：在△ABC中,
∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°
∴∠B+∠C=100°
∵∠B=∠C
∴∠B=∠C=50°
练一练
3.已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数。
解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x.
列出方程 x+3x+5x=180°
x=20°
答：三个内角度数分别为20°,60°,100°。
练一练
证明：在△ABC中
∵∠A+∠B+∠C=180゜(三角形内角和定理）
∠C= 90゜（已知）
∴∠A+∠B+90゜=180゜（等量代换）
∴∠A+∠B=180゜－90゜= 90゜
（等式性质）
即∠A+∠B=90゜
A
B
C
已知：在△ABC中，∠C＝ 90゜
求证：∠A＋∠B＝90 ゜
1、三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等于180 °
2、通过思考、去探究、去总结三角形内角和的定理，并且发现要证明三角形三个内角的和等于180 °需
转化为：平角或两直线平行同旁内角和等于180°。
作 业
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11.1 与三角形有关的角（2）
旧知回顾
1.三角形的内角和定理的内容
2、在ABC中，
（1）若∠C=90°，∠A=30 ° ，则∠B= ；
65°
60°
（2）若∠A=50 ° ，∠B=∠C，则∠B= .
旧知回顾
3、在△ＡＢＣ中，
若∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２：３：４，则∠Ａ＝　　　　，∠Ｂ＝ , ∠Ｃ＝ .
40°
60°
80°
D
定义：三角形的一边与
另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
画图并思考：
画一个△ABC ，你能画出它的所有外角来吗？请动手试一试．同时想一想△ABC的外角共有几个呢？
归纳：
每一个三角形都有６个外角．
每一个顶点处的外角都有２个,这两个外角是对顶角．
(1)
(2)
(3)
判断下列图中∠１是否为△ＡＢＣ的外角？
(4)
练一练
三角形的一个外角与三角形三个内角之间有何关系？
数量关系：三角形的一个外角与它相邻内角的和是180°
位置关系：外角与它相邻的内角互为邻补角。
三角形的一个外角与它不相邻的两 个内角之间有何关系？
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
思考：如何说明∠ACD= ∠B+ ∠ A
D
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
D
∠ACD+ ∠ACB=180°
∠A+ ∠B+ ∠ACB=180°
所以， ∠A+ ∠B= ∠ACD
解：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
∵∠ACD 是△ABC的一个外角,
∴∠ACD= ∠B+ ∠A
2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
1、三角形的一个外角与它相邻的内角互补；
三角形的外角与内角的关系：
1、说出下列各图中∠1的度数。
∠1=90°
∠1=95°
∠1=85°
∠1=80°, ∠2=40°
巩固练习
例题讲解

3
2
1
A
B
C
结论：三角形的外角和等于360°
∵∠1+∠4=180°,
∠2+∠5=180°,
∠3+∠6=180°
∴∠1+∠4+∠2+∠5+∠3+∠6=540°
∵∠4+∠5+∠6=180°
∴∠1+∠2+∠3=360°
2
如图，在△ABC的每个顶点处各取一个外角∠1、∠2 、∠3 ，你能求出∠1＋∠2 ＋∠3 的度数吗?
练一练
1、如图，D是△ABC的BC边上一点，
∠B＝∠BAD，∠ADC＝８0°,
∠BAC=70°.
求：（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数.
2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
1、三角形的一个外角与它相邻的内角互补；
(二)三角形的外角与内角的关系：
(三) 三角形的外角和为360°。
(一)三角形的外角的定义:三角形的一边与 另一边的延长线组成的角.
练一练
A
D
E
C
F
B
N
P
M
2、如图,∠A＋∠B＋∠B＋∠D＋∠E＋∠F的度数.
∵∠A+∠B=∠1，∠C+∠D=∠2，∠E+∠F=∠3
∴∠A+∠B+∠C+∠D+
∠E+∠F=∠1+∠2+∠3
∵∠1+∠2+∠3=360°
∴∠A+∠B+∠C+∠D+
∠E+∠F= 360°
作 业
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