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首页>人教版初中数学八年级上册>12.2 三角形全等的判定
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    人教版初中数学八年级上册 - 12.2 三角形全等的判定

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  • 时间:  2017-08

12.2 三角形全等的判定 习题1

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三角形全等的判定
一、选择题
1.如图,中,,,则由“”可以判定(  )
A. B.
C. D.以上答案都不对

2.如图,在和中,,AC与BD相交于点E,若不再添加任何字母与辅助线,要使,则还需增加的一个条件是( )
A.AC=BD B.AC=BC C.BE=CE D.AE=DE

3.如图,已知AB=AC,BD=DC,那么下列结论中不正确的是( )
A.△ABD≌△ACD        B.∠ADB=90°
C.∠BAD是∠B的一半 D.AD平分∠BAC
4. 如图,AB=AD,CB=CD,∠B=30°,∠BAD=46°,则∠ACD的度数是( )

A.120° B.125° C.127° D.104°
  
5. 如图,线段AD与BC交于点O,且AC=BD,AD=BC, 则下面的结论中不正确的是( )
A.△ABC≌△BAD B.∠CAB=∠DBA C.OB=OC D.∠C=∠D
6. 如图,AB=CD,BC=DA,E、F是AC上的两点,且AE=CF,DE=BF,,那么图中全等三角形共有( )对
A.4对     B.3对    C.2对  D.1对 

7. 如图 ,AB=CD,BC=AD,则下列结论不一定正确的是( ).
A.AB∥DC B. ∠B=∠D C. ∠A=∠C D. AB=BC
8. 如果△ABC的三边长分别为3,5,7,△DEF的三边长分别为3,3x-2,
2x-1,若这两个三角形全等,则x等于( )
A. B.3 C.4 D.5

二、填空题
9.(2011湖北十堰)工人师傅常用角尺平分一个任意角。做法如下:如图,
∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺
两边相同的刻度分别与M,N重合,过角尺顶点C作射线OC。由做法得
△MOC≌△NOC的依据是________.

10.如图,已知,,点A、D、B、F在一条直线上,要使△ ≌△,还需添加一个条件,这个条件可以是 .
 

11.如图,AC=DF,BC=EF,AD=BE,∠BAC=72°,∠F=32°,则∠ABC=

12、如图,用直尺和圆规作一个角等于已知角,能得出的依据是___________
13. 如图,AB=AC,BD=CD,∠B=20°,则∠C= °.

14.如图,若D为BC中点,那么用“SSS”判定△ABD≌△ACD需添加的一个条件是 ___________.
15.如图,已知OA = OB,AC = BC,∠1=30°,则∠ACB的度数是________.

16. 已知线段a、b、c,求作△ABC,使BC=a,AC=b,AB=c,下面作法的合理顺序为______.
①分别以B、C为圆心,c、b为半径作弧,两弧交于点A;
②作直线BP,在BP上截取BC=a;
③连结AB、AC,△ABC为所求作三角形.

17. 如图,AB=CD,BF=DE,E、F是AC上两点,且AE=CF.欲证∠B=∠D,可先用等式的性质证明AF=________,再用“SSS”证明______≌_______得到结论.

18. 如图, 中,,,,则________,__________.

三、解答题
19.(2009年怀化)如图, AD=BC, AB=DC. 求证:∠A+∠D=180°

20.如图,已知线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,请说明∠A=∠C.
  

21.(2010浙江金华)如图,在△ABC中,D是BC边上的点(不与B,C重合),
F,E分别是AD及其延长线上的点,CF∥BE. 请你添加一个条件,使△BDE
≌△CDF (不再添加其它线段,不再标注或使用其他字母),并给出证明.
(1)你添加的条件是: ;
(2)证明: 


22. 如图,AC与BD交于点O,AD=CB,E、F是BD上两点,且AE=CF,DE=BF.请证明下列结论: ⑴∠D=∠B; ⑵AE∥CF.
23. 如图,已知AB=AE,BC=ED,AC=AD.
(1) ∠B=∠E吗?为什么?
(2)若点F为CD的中点,那么AF与CD有怎样的位置关系?请说明理由.




12.2 三角形全等的判定
第1课时 边边边(SSS)
一、选择题
1. B 2. A 3.C 4.C 5.C 6.B 7.D 8.B

二、填空题
9. sss 10. (答案不惟一,也可以是)
11. 76 12. sss 13 .20 14. AB=AC 15. 60
16. ②①③ 17. EC, △ABF≌△DCE
18. F, ABE

三、解答题
19.证明:连结AC
   ∵AD=BC,AB=DC,AC=CA
∴△ABC≌△CDA
∴∠BAC=∠ACD
∴AB∥CD
∴∠A+∠D=180°

20. 解:连结OE
在△EAC和△EBC中

∴△EAC≌△EBC(SSS)
∴∠A=∠C(全等三角形的对应角相等)

21. 解:(1)(或点D是线段BC的中点),,中
任选一个即可﹒
(2)以为例进行证明:
∵CF∥BE,
∴∠FCD﹦∠EBD.
又∵,∠FDC﹦∠EDB,
∴△BDE≌△CDF.
22. 证明:(1)在△EAD和△FCB中
AD=CB,AE=CF,DE=BF
∴△EAD≌△FCB(SSS)
∴∠D=∠B
(2)由(1)知:△EAD≌△FCB
∴∠DEA=∠BFC
∵∠AEO=180-∠DEA,
∠CFO=180-∠BFC,
∴∠AEO=∠CFO
∴ AE∥CF

23. 解:(1)∠B=∠E
理由如下:在△ABC和△AED中
AB=AE,BC=ED,AC=AD.
∴△ABC≌△AED(SSS)
∴∠B=∠E.

(2)AF垂直于CD.
理由如下:
∵点F是CD的中点,
∴CF=FD.
在△ACF和△ADF中
AC=CD,AF=AF,CF=DF
∴△ACF≌△ADF(SSS)
∴∠AFC=∠AFD.
又∵∠AFC+∠AFD=180
∴∠AFC=∠AFD=90
∴AF垂直于CD.
12.2三角形全等的判定SAS(第2课时)
一、选择题
1. 如图,AB=AC,AD=AE,欲证△ABD≌△ACE,可补充条件( )
A.∠1=∠2 B.∠B=∠C C.∠D=∠E D.∠BAE=∠CAD
2. 能判定△ABC≌△A′B′C′的条件是( )
A.AB=A′B′,AC=A′C′,∠C=∠C′
B. AB=A′B′, ∠A=∠A′,BC=B′C′
C. AC=A′C′, ∠A=∠A′,BC=B′C
D. AC=A′C′, ∠C=∠C′,BC=B′C
3. 如图,AD=BC,要得到△ABD和△CDB全等,可以添加的条件是( )
A. AB∥CD B. AD∥BC C. ∠A=∠C D. ∠ABC=∠CDA


4.(2013•铁岭)如图,在△ABC和△DEC中,已知AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC,不能添加的一组条件是(  )
A.BC=EC,∠B=∠E B.BC=EC,AC=DC
C.BC=DC,∠A=∠D D.AC=DC,∠A=∠D
5.(2013•陕西)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,若连接AC、BD相交于点O,则图中全等三角形共有(  )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
6.(2009·黄冈中考)在△ABC和中,∠C=,b-a=,b+a=,则这两个三角形( )
A. 不一定全等 B.不全等
C. 全等,根据“ASA” D. 全等,根据“SAS”
7.(2012•巴中)如图,已知AD是△ABC的BC边上的高,下列能使△ABD≌△ACD的条件是(  )
A.AB=AC B.∠BAC=90° C.BD=AC D.∠B=45°

8.(2012十堰)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,点M是AD的中点,且MB=MC,若AD=4,AB=6,BC=8,则梯形ABCD的周长为(  )
A.22      B.24      C.26      D.28

二、填空题
9. 如图,已知BD=CD,要根据“SAS”判定△ABD≌△ACD,则还需添加的条件是 .
10. 如图,AC与BD相交于点O,若AO=BO,AC=BD,∠DBA=30°,∠DAB=50°,
则∠CBO=
度.

  
11.(2011黑龙江鸡西)如图,点B、F、C、E在同一条直线上,点A、D在直线BE 的两侧,AB∥DE,BF=CE,请添加一个适当的条件: ,
使得AC=DF.
12.(2009·怀化中考)如图,已知,,要使 ≌,可补充的条件是 (写出一个即可).
13.(2005•天津)如图,OA=OB,OC=OD,∠O=60°,∠C=25°,则
∠BED= 度.

  
14. 如图,若AO=DO,只需补充 就可以根据SAS判定△AOB≌△DOC.

15. 如图,已知△ABC,BA=BC,BD平分∠ABC,若∠C=40°,则∠ABE为
度.
16.(2012•临沂)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2cm,CD⊥AB,在AC上取一点E,使EC=BC,过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F,若EF=5cm,则
AE= cm.
  
17. 已知:如图,DC=EB,EC=BA,DC⊥AC, BA⊥AC,垂足分别是C、A,则
AE与DE的位置关系是 .

18. △ABC中,AB=6,AC=2,AD是BC边上的中线,则AD的取值范围是 .

三、解答题
19. 如图,点A、F、C、D在同一直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.求证:BC∥EF.







20. 已知:如图,点A、B、C、D在同一条直线上,EA⊥AD,FD⊥AD,AE=DF,AB=DC.
求证:∠ACE=∠DBF.





21. 如图CE=CB,CD=CA,∠DCA=∠ECB,求证:DE=AB.

 

22. 如图,AB=AC,点E、F分别是AB、AC的中点,求证:△AFB≌△AEC.




23.(2010·黄冈中考)如图,一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合,过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点,试探究线段AE与EF的数量关系,并说明理由。




第2课时 边角边(SAS)
一、选择题
1. A 2. D 3. B 4. C 5. C 6. D 7. A 8. B
二、填空题
9. ∠CDA=∠BDA 10. 20 11. AB=DE. 12. AE=AC(答案不唯一);
13. 70 14. BO=CO 15. 80 16. 6 17. 垂直 18. 2 < AD < 4
三、解答题

19. 证明:∵AF=DC,∴AC=DF,
又∵∠A=∠D ,
∴AB=DE,∴△ABC≌△DEF,
∴∠ACB=∠DFE,∴BC∥EF.

20. 证明:∵AB=DC
∴AC=DB
∵EA⊥AD,FD⊥AD
∴∠A=∠D=90°
在△EAC与△FDB中

∴△EAC≌△FDB
∴∠ACE=∠DBF.

21. 证明:∵∠DCA=∠ECB,
∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE,
∴∠DCE=∠ACB,
∵在△DCE和△ACB中
,
∴△DCE≌△ACB,
∴DE=AB.

22. 证明:∵点E、F分别是AB、AC的中点,
∴AE=AB,AF=AC,
∵AB=AC,
∴AE=AF,
在△AFB和△AEC中,
AB=AC,
∠A=∠A,
AE=AF,
∴△AFB≌△AEC.

23. 解:AE=EF.
理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC
又∵BH=BE
∴AH=CE
∵△BHE为等腰直角三角形.
∴∠H=45°
∵CF平分∠DCE
∴∠FCE=∠H=45°
∵AE⊥EF, ∠ABE=90°
∴∠BAE+∠BEH=∠BEH+∠FEM=90°
即:∠BAE=∠FEM
∴∠HAE=∠CEF
在△HAE和△CEF中,
∠H=∠FCE,AH=CE,∠HAE=∠CEF
∴△HAE≌△CEF,
∴AE=EF.

三角形全等的判定

要点感知1 斜边和一条_______分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成_____或“_____”).
预习练习1-1 如图,∠B=∠E=90°,AB=DE,AC=DF,则△ABC≌△DEF的理由是( )

A.SAS B.ASA C.AAS D.HL
要点感知2 直角三角形全等除“HL”外,还有SSS,SAS,ASA,AAS都适合.
预习练习2-1 下列命题:①两直角边分别相等的两个直角三角形全等;②两锐角分别相等的两个直角三角形全等;③斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等;④一锐角和一直角边分别相等的两个直角三角形全等;⑤一锐角和斜边分别相等的两个直角三角形全等.其中,正确的命题有_____.(填写正确的序号)

知识点1 用“HL”判定直角三角形全等
1.已知如图,AC⊥BC,AD⊥BD,垂足分别为C、D,AC=BD,Rt△ABC与Rt△BAD全等吗?为什么?

2.已知,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,求证:AD平分∠BAC.

3.如图,∠ACB=∠CFE=90°,AB=DE,BC=EF,求证:AD=CF.

知识点2 直角三角形全等的判定方法的选用
4.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,如图,那么下列各条件中,不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( )

A.AB=A′B′=5,BC=B′C′=3
B.AB=B′C′=5,∠A=∠B′=40°
C.AC=A′C′=5,BC=B′C′=3
D.AC=A′C′=5,∠A=∠A′=40°
5.如图,在△ABC中,点D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,BE=CF.
(1)图中有几对全等的三角形?请一一列出;

选择一对你认为全等的三角形说明理由.

6.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,DE⊥BC,AC=6,EC=6,∠ACB=60°,则∠ACD的度数为( )
A.45° B.30° C.20° D.15°

7.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,一条线段PQ=AB,点P,Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动,当AP=_____时,才能使△ABC≌△QPA.
8.如图,已知方格纸中是4个相同的正方形,则∠1+∠3=_____.

9.如图,已知AE=DE,AB⊥BC,DC⊥BC,且AB=EC.求证:BC=AB+DC.

10.如图,在△ABC中,AD是中线,分别过点B,C作AD及其延长线的垂线BE,CF,垂足分别为点E,F.求证:BE=CF.


11.如图所示,已知AB=CD,DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,且BF=DE,求证:AB∥CD.

12.如图,已知AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,如果AD=AF,AC=AE.求证:BC=BE.


挑战自我
13.已知:点O到△ABC的两边AB,AC所在直线的距离相等,且OB=OC.
(1)如图1,若点O在边BC上,求证:∠ABO=∠ACO;

(2)如图2,若点O在△ABC的内部,求证:∠ABO=∠ACO.

参考答案
课前预习
要点感知1 直角边 斜边、直角边 HL
预习练习1-1 D
预习练习2-1 ①③④⑤
当堂训练
1.Rt△ABC≌Rt△BAD.理由如下:∵AC⊥BC,AD⊥BD,∴∠C=∠D=90°.在Rt△ABC和Rt△BAD中,AB=BA,AC=BD,∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
2.证明:∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD和Rt△ACD中,AB=AC,
AD=AD,∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).∴∠BAD=∠CAD,即AD平分∠BAC.
3.证明:∵∠ACB=∠CFE=90°,∴∠ACB=∠DFE=90°.在Rt△ACB和Rt△DFE中,AB=DE,BC=EF,∴Rt△ACB≌Rt△DFE(HL).∴AC=DF.∴AC-AF=DF-AF,即AD=CF.
4.B
5.(1)△BDE≌△CDF,△AED≌△AFD,△ABD≌△ACD.(2)∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴△BDE和△CDF是直角三角形.∵D是BC的中点,∴BD=CD.又∵BE=CF,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
课后作业
6.B 7.CB 8.90°
9.证明:∵AB⊥BC,DC⊥BC,∴∠B=∠C=90°.在Rt△ABE和Rt△ECD中,AE=DE,
AB=EC,∴Rt△ABE≌Rt△ECD.∴BE=CD.∵BC=BE+EC,∴BC=AB+DC.
10.证明:∵在△ABC中,AD是中线,∴BD=CD.∵CF⊥AD,BE⊥AD,∴∠CFD=∠BED=90°.在△BED与△CFD中,∵∠BED=∠CFD,∠BDE=∠CDF,BD=CD,∴△BED≌△CFD(AAS).∴BE=CF.
11.证明:∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠AFB=∠CED=90°.在Rt△ABF和Rt△CDE中,AB=CD,
BF=DE,∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴∠BAF=∠DCE.∴AB∥CD.
证明:∵AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,∴∠ADB=∠AFB=90°.∵AB=AB,AD=AF,∴Rt△ABD≌Rt△ABF.∴DB=FB.∵AC=AE,AD=AF,∴Rt△ADC≌Rt△AFE.∴DC=FE.∴DB-DC=FB-FE,即BC=BE.
13.(1)证明:过点O作OE⊥AB于E,作OF⊥AC于F,则∠BEO=∠CFO=90°,OE=OF.又∵OB=OC,∴Rt△BOE≌Rt△COF(HL).∴∠ABO=∠ACO.(2)证明:过点O分别作OE⊥AB,OF⊥AC,E,F分别是垂足,则∠BEO=∠CFO=90°,OE=OF.又OB=OC,∴Rt△OEB≌Rt△OFC.∴∠EBO=∠FCO.即∠ABO=∠ACO.

三角形全等的判定ASA,AAS
1、如果两个三角线的 以及 分别对应相等,那么这两个三角形 ,简写为“ ”或“ ”。
2、下列条件不一定能判断两个全等三角形的是( )
A、三边对应相等 B、两条边和夹角对应相等
C、两条边和一个角对应相等 D、两个角和夹边对应相等
3、如图,AB=DB,BC=BE,欲使△ABE≌△DBC,则须增加的条件是( )
A、∠A=∠D B、∠E=∠C C、∠A=∠C  D、∠1=∠2
4.如图8所示,在△ABC与△DEF中,∠A=∠D,CG和FH分别是AB和DE边上的中线,再从以下条件①AB=DE,②AC=DF,③CG=FH中任选取两个为题设,另一个为结论,则最多可以构成____个正确的命题.
 A.1个  B.2个  C.3个  D.4个
5、如图,已知∠ADC=∠AEB,AD=AE,求证OB=OC.
证明:在△ABE和△ACD中
  =  (  )
= ( )
= ( )
∴ ≌ (  )
∴AB=AC ( )
∠B=∠C ( )
又∵AD=AE
∴ BD=CE( )
∠ADC=∠AEB ( )
∠ =∠ ( )
在△BOD和△COF中
= ( )
= ( )
= ( )

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