24.3正多边形和圆
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形。
三条边相等三个角相等（60度）。
四条边相等四个角相等（900）
一 .正多边形定义
问题1，什么样的图形是正多边形？
各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.
练习:
1. 矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为什么?
矩形不是正多边形，因为四条边不都相等;
菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等;
正方形是正多边形．因为四条边都相等，四个角都相等.
3.正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n
条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。
正多边形的性质及对称性
4. 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，
它的中心就是对称中心。
1、正多边形的各边相等
2、正多边形的各角相等
正n边形与圆的关系
1.把正n边形的边数无限增多,就接近于圆.
2.怎样由圆得到多边形呢？
A
B
C
D
思考1: 把一个圆4等分, 并依次连
接这些点,得到正多边形吗??
弧相等
弦相等（多边形的边相等）
圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
思考2: 把一个圆5等分, 并依次连接这些点,
得到正多边形吗??
证明：∵AB=BC=CD=DE=EA
A
B
C
D
E
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
∴AB=BC=CD=DE=EA
∵BCE=CDA=3AB
⌒
∴∠A=∠B
同理∠B=∠C=∠D=∠E
∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E
又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上
∴五边形ABCDE是⊙O的 内接正五边形.
定义：把圆分成n（n≥3）等份：
依次连结各分点所得的多边形是这个圆
的内接正多边形.
.
O
中心角
半径R
边心距r
正多边形的中心:
一个正多边形的
外接圆的圆心.
正多边形的半径:
外接圆的半径
正多边形的中心角:
正多边形的每一条
边所对的圆心角.
正多边形的边心距：
中心到正多边形的
一边的距离.
二. 正多边形有关的概念
A
B
新课讲解
中心
半径
中心角
边心距
正多边形中的有关概念：
既是外接圆的圆心，也是内切圆的圆心
每个正多边形的半径，分别将它们分割成什么样的三角形？它们有什么规律？
正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形．
正多边形与三角形
作每个正多边形的边心距，又有什么规律？
边心距又把这n个等腰三角形分成了2n个直角
三角形，这些直角三角形也是全等的．
.
O
中心角
A
B
G
边心距把△AOB分成
2个全等的直角三角形
设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
R
a
新课讲解
正n边形的一个内角的

度数是____________;

中心角是___________;
正多边形的中心角与外角的大小关系是________.
相等
抢答题：
1.o是正
与　　 的圆心。
△ABC的中心，它是△ABC的
2、OB叫正△ABC的　

它是正△ABC的 的半径。
3、OD叫作正△ABC的　　　　　它是正△ABC的 的半径。
D
半径
外接圆
边心距
内切圆
外接圆
内切圆
4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做
正方形ABCD的
5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做
正方形ABCD的
A
B
C
D
.O
E
中心
边心距
6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的
弦心距OF叫正五边形ABCDE的 　　　　，
它是正五边形ABCDE的　　　　　圆的半径。
7、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE的　　　　角，
它的度数是
边心距
内切
中心
72度
8、图中正六边形ABCDEF的中心角是（ ）　　　　
它的度数是（ ）
9、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有
什么数量关系？为什么？
B
A
∠AOB
60度
解答：正六边形的半径与边长数量关系是相等
因为：正六边形的中心角
是60度和半径组成的三角
形是等边三角形，所以边
长与半径相等。
例1、 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形， 求地基的周长和面积
.
O
B
C
r
R
P
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
.
O
B
C
r
R=4
P
例2、如图：已知正六边形ABCDEF的边长为6cm，
（1）求正六边形ABCDEF的外接圆的半径。
（2）求正六边形ABCDEF的边心距。
作半径OA、OB；
∵OA=OB，∠AOB=60°
∴△OAB是正三角形，R=AB=6cm，
H
R
解：（1）
（2）作OG⊥AB于H，得Rt△OHB．
练习：已知正六边形ABCDEF的的边心距为
r =6cm，求正六边形ABCDEF的外接圆的半径R。
A
B
C
O
D
S3
例4: 已知正六边形ABCDEF的半径为R,求这个正六边形的边长a6、周长l6、面积S6 .
A
B
C
D
E
F
O
G
当堂训练
1.课本P107第1题
例5:如图,M,N分别是⊙O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.
(1)求图①中∠MON的度数;
(2)图②中∠MON= ;
图③中∠MON= ;
(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.；四边形MONB的面积与正n边形面积之间的关系
.
.
.
A
B
C
M
N
M
N
M
N
O
O
O
1、两个正六边形的边长分别是3和4，这两个正六边形的面积之比等于________
2．圆内接正方形的半径与边长的比值是________
3．圆内接正四边形的边长为4 cm，那么边心距是________
4．已知圆内接正方形的边长为4，则该圆的内接正六边形边长为__________．
5． 圆内接正六边形的边长是8 cm用么该正六边形的半径为________；边心距_____．
练习；
6．以下有四种说法：①顺次连结对角线相等的四边形各边中点，则所得的四边形是菱形；②等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；③顶点在圆周上的角是圆周角；④边数相同的正多边形都相似，其中正确的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D 4个
7．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）
A.互余 B.互补 C.互余或互补 D.不能确定
9．若一个正多边形的每一个外角都等于36°,那么这个正多边形的中心角为（ ）
A．36° B、 18°
C．72° D．54°
10．将一个边长为a正方形硬纸片剪去四角，使它成为正n边形，那么正n边形的面积为（ ）

11．正六边形螺帽的边长为a，那么扳手的开口b最小应是( )
A、
巩固提高：
1、如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（ ）
D
2、周长相等的正方形和正六边形的面积分别为S4和S6，则S4和S6的大小关系为___________
3、已知圆的半径为6，则它的内接三角形、正方形、正六边形的边长分别为_______
4、若同一个圆的内接三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r3,r4,r6,则r3:r4:r6=____________
5、边长为a的正三角形的高h=_____,外接圆半径R=_____,内切圆半径r=______
S4＜S6
6、如图，正六边形ABCDEF中，阴影部分的面积为 ，则此正六边形的边长为_______
例7、如图，已知⊙O的内接等腰△ABC，AB=AC，弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BE=BC，求证：五边形AEBCD是正五边形
例8、如图，有一个圆O和两个正六边形T1、T2， T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值
怎样画一个正多边形呢？
问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.
120 °
①用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．
②用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠oAc=30°．
A
O
C
B
你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？
·
A
B
C
D
O
O
A
B
C
D
E
F
·
90°
72°
60°
你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？
O
A
B
C
E
F
·
D
以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形.
先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形………
定理：
把圆分成n（n≥3）等份：
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的
　内接正多边形；
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交
　点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边
　形。
A
B
C
D
E
O
如图：
已知点A、B、C、D、E是⊙O 的5等分点，画出⊙O的内接和外切正五边形
说说作正多边形的方法有哪些?
归纳

（1）用量角器等分圆周作正n边形；
（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形, 用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形．