第二十一章
一元二次方程
21．1 一元二次方程
1．一元二次方程的概念
一个
2
整式
只含有_______未知数，并且未知数的最高次数是_______
的________方程，叫做一元二次方程．
注意：一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；
(2)未知数的最高次数是 2；(3)是整式方程．
2．一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式是 ax2 ＋bx ＋c ＝0(a≠0) ，其中

________是二次项，________是二次项系数；________是一次

项，________是一次项系数；________是常数项．

注意：(1)前提条件：a≠0；(2)二次项系数，一次项系数，

常数项都是带前面符号的，这是在做题过程中容易忽视的知识
点．
相等
3．一元二次方程的解

能够使一元二次方程左右两边__________的未知数的值叫

做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．
ax2
a
bx
b
c
知识点 1
一元二次方程的概念(重点)
(1)其中为一元二次方程的有哪些；
(2)对比各方程的特征请说明：判断一个方程为一元二次方
程应从哪几方面考虑．
思路点拨：根据一元二次方程的定义即可解答．
解：(1)是一元二次方程的有：2x－x2＝3， ＋x2＝3和x
＝27x2；
(2)一元二次方程必须满足四个条件：
①未知数的最高次数是 2；
②二次项系数不为 0；
③是整式方程；
④只含有一个未知数．
【跟踪训练】
其中是一元二次方程的有(
)
B
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
解析：①③④⑦是一元二次方程．
2．当 m 为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)(m－1)x2＋3x＝5；

(2)4xm＋3－x－1＝0.
解：(1)由题意，得 m－1≠0，∴m≠1.
(2)∵m＋3＝2，∴m＝－1.
如果(m－2)x|m｜＋mx－1=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为( )．
已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋m2－1=0有一个根是0，求m的值．
知识点 2
一元二次方程的一般形式
【例 2】 将方程(8－2x)(5－2x)＝18 化成一元二次方程的

一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

思路点拨：一元二次方程的一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

具有两个特征：(1)方程的右边为 0；(2)左边的二次项系数不能

为 0.注意：写二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常

数项时，不要漏掉其前面的符号．

解：去括号，得 40－16x－10x＋4x2＝18，

移项，得 4x2－26x＋22＝0，

其中二次项系数为 4，一次项系数为－26，常数项为 22.
【跟踪训练】
3．把方程 x(2x－1)＝1 化成 ax2＋bx＋c＝0 的形式，则 a，
)
A
b，c 的一组值是(
A．2，－1，－1
C．2,1，－1
B．2，－1,1
D．2,1,1
7．如果关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的二
次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：－1 必是该方
程的一个根．
证明：∵关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的
二次项系数与常数项之和等于一次项系数，
∴a＋c＝b.
∴当 x＝－1 时，ax2＋bx＋c＝a－b＋c＝b－b＝0，
∴－1 必是该方程的一个根．
4．把下列关于 x 的一元二次方程化为一般形式，并指出其
二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)3x2＝5x－1；
(2)a(x2－x)＝bx＋c(a≠0)．
解：(1)一般形式为 3x2－5x＋1＝0，二次项系数为 3，一次
项系数为－5，常数项为 1.
(2)一般形式为 ax2－(a＋b)x－c＝0，二次项系数为 a，一次
项系数为－(a＋b)，常数项为－c.
知识点 3
一元二次方程的解(难点)
【例 3】 已知关于 x 的一元二次方程(m－1)x2＋3x－5m＋4
＝0 有一根为 2，求 m 的值．
思路点拨：一根为 2 即 x＝2 为方程的解，故只需把 x＝2
代入原方程．
解：把 x＝2 代入(m－1)x2＋3x－5m＋4＝0，得
4(m－1)＋6－5m＋4＝0.解得 m＝6.
【跟踪训练】
5．已知 1 是关于 x 的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0 的
)
一个根，则 m 的值是(
A．1
C．0
B．－1
D．无法确定
6．如果 2 是一元二次方程 x2＋2x＝c 的一个根，那么常数
c 是(
)
D
A．2
B．－4
C．6
D．8
B