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24.3 正多边形和圆
教学目标
1. 了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题。
2. 通过正多边形与圆的关系的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移的能力。
3. 通过探究正多边形在生活中的实际应用，增强对生活的热爱。
重点：1.正多边形的有关概念，特殊正多边形的有关计算。
2.掌握圆内接正多边形的半径、边心距、边长三者之间的联系。
难点：1.正多边形的半径、中心角、边心距、边长之间关系的正确理解与计算。
2.会作圆和正多边形的辅助性，构造直角三角形，运用勾股定理。
课前准备
师：多媒体课件、圆形纸片 生：直尺、圆规、圆形纸片
教学过程 [来源:Zxxk.Com]
一、复习回顾 ，引入新课
问题1：观察下面多边形，找出它们的边、角有什么特点？ （幻灯3）
问题2：观看大屏幕上这些美丽的图案,都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出正多边形来吗? （幻灯4）
问题3：圆具有哪些对称性？（幻灯5）
二、目标导学,探索新知
目标导学1：理解正多边形的定义（幻灯6~8）[来源:学_科_网Z_X_X_K]
问题1： 什么叫正多边形？
问题2：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
【教师强调】判断一个多边形是否是正多边形，必须同时具备两个必备条件：①各边相等；②各角相等。二者缺一不可。
问题3：正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
【教师强调】正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，且只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形。
目标导学2：了解正多边形和圆的密切关系，借助圆可以画正多边形（幻灯9~11）
问题1：怎样把一个圆进行四等分？
问题2：依次连接各等分点，得到一个什么图形？
归纳：像上面这样，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆，这个正多边形也称为这个圆的内接正多边形。
问题3：刚才把圆进行四等分，依次连接各等分点，得到一个正四边形；你可以从哪方面证明？
练一练：把⊙O 进行 5 等分,依次连接各等分点得到五边形ABCDE ，
:（1）填空。
[来源:Zxxk.Com]
(2)你认为这个五边形ABCDE是正五边形，简单说说理由。
目标导学3：正多边形的有关概念及性质（幻灯12~13）
问题1：类比圆的相关概念，观察下面的图，你能说出什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角吗？
[来源:学科网ZXXK]
问题2：正多边形的内角、中心角、外角怎样计算？请完成下面填空：
正多边形边数
内角
中心角
外角
3
4
6
n
[来源:Z&xx&k.Com]
问题3：正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？
归纳：中心角=外角=。
目标导学4：正多边形的有关计算 （幻灯14~17）
填一填：如图、已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF，回答下面问题：
①它的中心角等于 度 ；
② OC BC (填＞、＜或＝）；
③△OBC是什么三角形？
④圆内接正六边形的面积是△OBC面积的 倍？
⑤圆内接正n边形面积公式：正n边形的面积= 。
例1：（教材P106例）有一个亭子（如图）它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0.1m2）.
分析：由于亭子地基是正六边形，如图所示，所以它的中心角等于3600 ÷6＝600 ，△OBC是等边三角形，从而得到：正六边形的边长等于它的半径。
三、巩固训练，熟练技能
见幻灯18、19、20
四、归纳总结，板书设计（幻灯21）
五、课后作业，目标检测
见《学练优》本课时内容
【教学备注】
【设计意图】让学生观察、归纳出正多边形的特点
【设计意图】意在暗含正多边形有一个辅助外接圆，为正多边形和圆有密切关系做好铺垫。
【教学提示】可借助圆规，或提示学生通过折叠得出结果。
【教学提示】从弧相等—弦相等—边相等；弧相等—圆周角相等—角相等，从而根据正多边形的定义得证。
【教学提示】教师借助图形进行类比概念教学.
【教学提示】正多边形的有关计算问题转化到以正多边形半径、边心距、弦的一半为边的直角三角形中去解决。
【教学提示】关键是先算出各正多边形的中心角的一半，在直角三角形中去解决。这里的直角三角形都是含30°、45°60°的特殊角，可利用三边之比快速解决。当然也可以用勾股定理建立方程解决。
教学反思
可取之处：正多边形是一种特殊的多边形，在生产生活中应用广泛。本节课抓住正多边形的核心概念，从学生已有的知识出发，将圆的有关概念与正多边形诸多概念进行对比学习，学生易于理解和掌握，这样设计突出了知识间的联系，关注学生的最近发展区，知识不枯燥乏味并且突出重点。利用圆的垂径定理，将正多边形的半径、边心距、边长一半转化为直角三角形的有关计算问题，难点有效突破，充分体现了转化的数学思想。让学生感受转化思想的魅力，精心设计练习，具有针对性，并将知识点结合习题有效落实，最终掌握解题的方法和技巧，落实数学思想方法。
不足之处：有的学生利用正多边形的定义去判定一个多边形是不是正多边形，只考虑其中一个必备条件；在正多边形的有关概念只去死记硬背，而不去结合图形记忆。
24．3 正多边形和圆
1．了解正多边形和圆的有关概念．
2．理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系．
3．会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形．
[来源:学|科|网]
一、情境导入
如图，要拧开一个边长为6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少是多少？你能想办法知道吗？
二、合作探究
探究点一：正多边形的有关概念和性质
【类型一】求正多边形的中心角
已知一个正多边形的每个内角均为108°，则它的中心角为________度．[来源:Z§xx§k.Com]
解析：每个内角为108°，则每个外角为72°，根据多边形的外角和等于360°，∴正多边形的边数为5，则其中心为360°÷5＝72°.
【类型二】正多边形的有关计算
已知正六边形ABCDEF的半径是R，求正六边形的边长a和面积S.
解：作半径OA、OB，过O作OH⊥AB，则∠AOH＝＝30°，∴AH＝R，∴a＝2AH＝R.由勾股定理可得：r2＝R2－(R)2，∴r＝R，∴S＝·a·r×6＝·R·R·6＝R2.
方法总结：熟练掌握多边形的相关概念，以及等边三角形与圆的关系及有关计算．
【类型三】圆的内接正多边形的探究题
如图所示，图①，②，③，…，，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)求图①中∠MON的度数；
(2)图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________； (3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系．(直接写出答案)
解：图①中，连接OB，OC.∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°.又∠OCN＝30°，∠BOC＝120°，而BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM＝∠CON，∴∠MON＝∠BOC＝120°；
(2)90° 72°；
(3)∠MON＝.
探究点二：作圆的内接正多边形[来源:Z。xx。k.Com]
如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．
解析：度量法：用量角器量出圆心角是120度的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分．
解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°；
(2)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．
方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC＝120°；[来源:学科网]
(2)在⊙O上用圆规截取＝；
(3)连接AC，BC，AB，则△ABC为圆内接正三角形．
方法三：(1)作直径AD；
(2)以D为圆心，以OA长为半径画弧，交⊙O于B，C；
(3)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．
方法四：(1)作直径AE；
(2)分别以A，E为圆心，OA长为半径画弧与⊙O分别交于点D，F，B，C；
(3)连接AB，BC，CA(或连接EF，ED，DF)，则△ABC(或△EFD)为圆内接正三角形．
[来源:Z.xx.k.Com]
方法总结：解决正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法、尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍的正多边形．
三、板书设计
教学过程中，强调正多边形与圆的联系，将正多边形放在圆中便于解决、探究更多关于正多边形的问题.
24.3 正多边形和圆
教学内容
1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆，正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距．
2．在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系．
3．正多边形的画法．
教学目标
了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．
复习正多边形概念，让学生尽可能讲出生活中的多边形为引题引入正多边形和圆这一节间的内容．
重难点、关键
1．重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．
2．难点与关键：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．
教学过程
一、复习引入
请同学们口答下面两个问题．
1．什么叫正多边形？
2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？
老师点评：1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点．
二、探索新知
如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、D、E、F都在这个圆上．
因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
我们以圆内接正六边形为例证明．
如图所示的圆，把⊙O分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形．
∵AB=BC=CD=DE=EF
∴AB=BC=CD=DE=EF[来源:Zxxk.Com]
又∴∠A=BCF=（BC+CD+DE+EF）=2BC
∠B=CDA=（CD+DE+EF+FA）=2CD
∴∠A=∠B
同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A
又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上[来源:学_科_网]
∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆．
为了今后学习和应用的方便，我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．
外接圆的半径叫做正多边形的半径．
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
例1．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．
分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．
解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于=60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．
因此，所求的正六边形的周长为6a
在Rt△OAM中，OA=a，AM=AB=a
利用勾股定理，可得边心距
OM==a
∴所求正六边形的面积=6××AB×OM=6××a×a=a2
现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形．
例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形．
分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，应该先求边长为3的正五边形的半径．
解：正五边形的中心角∠AOB==72°，
如图，∠AOC=30°，OA=AB÷sin36°=1.5÷sin36°≈2.55（cm）
画法（1）以O为圆心，OA=2.55cm为半径画圆；
（2）在⊙O上顺次截取边长为3cm的AB、BC、CD、DE、EA．
（3）分别连结AB、BC、CD、DE、EA．
则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形，如图所示．
三、巩固练习
教材P115 练习1、2、3 P116 探究题、练习．
四、应用拓展
例3．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6．
（1）求△ABC的边AB上的高h．
（2）设DN=x，且，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？
（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．
分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，应用圆的对称性就能圆满解决此题．
解：（1）由AB·CG=AC·BC得h==4.8
（2）∵h=且DN=x
∴NF=
则S四边形DEFN=x·（4.8-x）=-x2+10x
=-（x2-x）
=- [（x-）2-]
=-（x-2.4）2+12
∵-（x-2.4）2≤0
∴-（x-2.4）2+12≤12 且当x=2.4时，取等号
∴当x=2.4时，SDEFN最大．
（3）当SDEFN最大时，x=2.4，此时，F为BC中点，在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3．
∴BE==1.8
∵BM=1.85，∴BM>EB，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案．
∵当x=2.4时，DE=5
∴AD=3.2，
由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示:
此时，AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树．
五、归纳小结（学生小结，老师点评）
本节课应掌握：
1．正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边的边心距．
2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边的边心距之间的等量关系．
3．画正多边形的方法．
4．运用以上的知识解决实际问题．
六、布置作业
1．教材P117 复习巩固1 综合运用5、7 P118 8．
2．选用课时作业设计．
课时作业设计
一、选择题
1．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（ ）．
A．60° B．45° C．30° D．22．5°
(1) (2) (3)
2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（ ）．
A．36° B．60° C．72° D．108°
3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（ ）
A．18° B．36° C．72° D．144°
二、填空题
1．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．
2．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，如图2所示，若AC=6，则AD的长为________．
3．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图3所示，AB∥CD，且CD为直径，如果⊙O的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______；△ODA的周长是_______；∠BOC的度数是________．
三、综合提高题
1．等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．
[来源:学+科+网Z+X+X+K]
2．如图所示，已知⊙O的周长等于6cm，求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积．
3．如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M．
（1）求证：四边形CDEM是菱形；
（2）设MF2=BE·BM，若AB=4，求BE的长．
答案:
一、1．C 2．C 3．D
二、1．a2 2． 3．r 3r 60°[来源:学§科§网Z§X§X§K]
三、1．设BC与⊙O切于M，连结OM、OB，
则OM⊥BC于M，OM=a，
连OE，作OE⊥EF于N，则OE=OM=a，∠EOM=45°，OE=a，
∵EN=a，EF=2EN=a，∴S正方形=a2．
2．设正六边形边长为a，则圆O半径为a，[来源:Z|xx|k.Com]
由题意得：2a=6，∴a=3．
如右图，设AB为正六边形的一边，O为它的中心，
过O作OD⊥AB，垂足为D，
则OD=r6，则∠DOA==30°，AD=AB=，
在Rt△ABC中，OD=r6=cm，
∴S=6·ar6=×3××6=cm2．
3．略
