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    人教版初中数学九年级上册 - 24.4 弧长和扇形面积

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24.4 弧长和扇形面积 习题1

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24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积


1.在半径为R的圆中,因为360°的圆心角所对的弧长是圆周长C=__2πR___,所以n°的圆心角所对的弧长为l=_____.
2.在半径为R的圆中,因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆的面积S=__πR2___,所以圆心角为n°的扇形面积是S扇形=_____.
3.用弧长表示扇形面积为__lR___,其中l为扇形弧长,R为半径.

知识点1:弧长公式及应用
1.点A,B,C是半径为15 cm的圆上三点,∠BAC=36°,则弧BC的长为__6π___cm.
2.扇形的半径是9 cm,弧长是3π cm,则此扇形的圆心角为__60___度.
3.已知扇形的圆心角为45°,弧长等于,则该扇形的半径是__2___.

4.(2014·兰州)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AB=2.将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C,则点B转过的路径长为( B )
A.    B.    C.    D.π
5.如图,⊙O的半径为6 cm,直线AB是⊙O的切线,切点为点B,弦BC∥AO.若∠A=30°,求劣弧的长.

解:连接OB,OC.∵AB是⊙O的切线,∴AB⊥BO.∵∠A=30°,∴∠AOB=60°.∵BC∥AO,∴∠OBC=∠AOB=60°.又∵OB=OC,∴△OBC是等边三角形,∴∠BOC=60°,∴劣弧的长为=2π(cm)
知识点2:扇形的面积公式及应用
6.钟面上的分针的长为1,从9点到9点30分,分针在钟面上扫过的面积是( A )
A.π B.π C.π D.π
7.(2014·成都)在圆心角为120°的扇形AOB中,半径OA=6 cm,则扇形AOB的面积是( C )
A.6π cm2 B.8π cm2
C.12π cm2 D.24π cm2
8.如图,已知扇形的圆心角为60°,半径为,则图中弓形的面积为( C )
A. B.
C. D.
,第8题图)   ,第9题图)
9.如图,△ABC的三个顶点都在5×5的网格(每个小正方形的边长均为1个单位长度)的格点上,将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′,且点A′,C′仍落在格点上,则图中阴影部分的面积约是__7.2___.(π≈3.14,结果精确到0.1)
10.如图,△OAB中,OA=OB=4,∠A=30°,AB与⊙O相切于点C,求图中阴影部分的面积.(结果保留π)

解:连接OC,可求∠AOB=120°,OC=2,AC=2,∴S阴影=S△AOB-S扇形=2××2×2-×π×22=4-π


11.如图,某厂生产横截面直径为7 cm的圆柱形罐头,需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面,为了获得较佳视觉效果,字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°,则“蘑菇罐头”字样的长度为( B )
A. cm  B. cm  C. cm  D.7π cm
,第11题图)   ,第12题图)
12.如图,扇形AOB的半径为1,∠AOB=90°,以AB为直径画半圆,则图中的阴影部分的面积为( C )
A.π B.π-
C. D.π+
13.(2014·南充)如图,矩形ABCD中,AB=5,AD=12,将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转,则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是( A )
A.π B.13π C.25π D.25
,第13题图)   ,第14题图)
14.如图,AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点C,连接BC,若∠ABC=120°,OC=3,则的长为__2π___.[来源:Z*xx*k.Com]
15.如图,已知菱形ABCD的边长为3 cm,B,C两点在扇形AEF的上,求的长度及扇形ABC的面积.

解:∵四边形ABCD是菱形且边长为3 cm,∴AB=BC=3 cm.又∵B,C两点在扇形AEF的上,∴AB=BC=AC=3 cm,∴△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,的长l==π(cm),S扇形ABC=lR=×π×3=π(cm2)


16.(2014·昆明)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D是边AC上的一点,连接BD,使∠A=2∠1,E是BC上的一点,以BE为直径的⊙O经过点D.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若∠A=60°,⊙O的半径为2,求阴影部分的面积.(结果保留根号和π)

解:(1)连接OD,∵OB=OD,∴∠1=∠BDO,∴∠DOC=2∠1=∠A.在Rt△ABC中,∠A+∠C=90°,即∠DOC+∠C=90°,∴∠ODC=90°,即OD⊥DC,∴AC为圆O的切线 (2)当∠A=60°时,在Rt△OCD中,有∠C=30°,OD=r=2,∴∠DOC=60°,CD=2,S△ODC=OD·DC=2,S扇形==π,∴S阴影=S△ODC-S扇形=2-π

17.如图,在正方形ABCD中,AD=2,E是AB的中点,将△BEC绕点B逆时针旋转90°后,点E落在CB的延长线上点F处,点C落在点A处.再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG,连接EF,CG.
(1)求证:EF∥CG;
(2)求点C,A在旋转过程中形成的,与线段CG所围成的阴影部分的面积.

解:(1)在正方形ABCD中,AB=BC=AD=2,∠ABC=90°,∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得到△ABF,∴△ABF≌△CBE,∴∠FAB=∠ECB,∠ABF=∠CBE=90°,AF=EC,∴∠AFB+∠FAB=90°.∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG,∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°,∴∠CFG=∠FAB=∠ECB,∴EC∥FG.∵AF=EC,AF=FG,∴EC=FG,∴四边形EFGC是平行四边形,∴EF∥CG (2)∵AB=2,E是AB的中点,∴FB=BE=AB=×2=1,∴AF===.由平行四边形的性质,△FEC≌△CGF,∴S△FEC=S△CGF,∴S阴影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC-S扇形FAG=+×2×1+×(1+2)×1-=-



第2课时 圆锥的侧面积与全面积


1.圆锥是由一个__侧___面和一个底面围成的,连接圆锥的__顶点___和底面圆上任一点的线段叫做圆锥的母线.
2.圆锥的侧面展开图是一个__扇___形,扇形的半径为圆锥的__母线___长,扇形的弧长即为圆锥底面圆的__周长___.
3.圆锥的全面积=S侧+S__底___.

知识点1:圆锥的侧面积
1.用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面,要求圆锥的高是4 cm,底面周长是6π cm,则扇形的半径为( B )
A.3 cm           B.5 cm
C.6 cm D.8 cm
,第1题图)   ,第2题图)
2.(2014·淮安)如图,圆锥的母线长为2,底面圆的周长为3,则该圆锥的侧面积为( B )
A.3π B.3
C.6π D.6
3.圆锥的底面半径为6 cm,母线长为10 cm,则圆锥的侧面积为__60π___cm2.
4.圆锥的侧面积为6π cm2,底面圆的半径为2 cm,则这个圆锥的母线长为__3___cm.
5.圆锥的底面半径是1,侧面积是2π,则这个圆锥的侧面展开图的圆心角为__180°___.
6.已知圆锥的母线AB=6,底面半径r=2,求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角.

解:设圆心角为n°,则有2πr=·AB,∴4π=×6,∴n=120,故扇形的圆心角α=120°
知识点2:圆锥的全面积
7.一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆,则该圆锥的全面积为( C )
A.5π B.4π[来源:学.科.网]
C.3π D.2π
8.已知直角三角形ABC的一条直角边AB=12 cm,另一条直角边BC=5 cm,则以AB为轴旋转一周,所得到的圆锥的表面积是( A )
A.90π cm2 B.209π cm2
C.155π cm2 D.65π cm2
9.一个几何体由圆锥和圆柱组成,其尺寸如图所示,求该几何体的全面积(即表面积)是多少?(结果保留π)

解:圆锥的母线长是=5,圆锥的侧面积是×8π×5=20π,圆柱的侧面积是8π×4=32π,几何体的下底面面积是π×42=16π,所以该几何体的全面积(即表面积)是20π+32π+16π=68π



10.一个圆锥的底面半径是6 cm,其侧面展开图为半圆,则圆锥的母线长为( B )
A.9 cm B.12 cm
C.15 cm D.18 cm
11.(2014·襄阳)用一个圆心角为120°,半径为3的扇形作一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面半径为( B )
A. B.1
C. D.2
12.小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面,已知扇形的半径为5 cm,弧长是6π cm,那么这个圆锥的高是( A )
A.4 cm B.6 cm
C.8 cm D.2 cm
,第12题图)   ,第13题图)
13.(2014·南京)如图,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,得到一个扇形,若圆锥的底面圆的半径r=2 cm,扇形的圆心角θ=120°,则该圆锥的母线长l为__6___cm.
14.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是__180___°.
15.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为12 cm,弧长为12π cm的扇形,求这个圆锥的侧面积及高.
解:侧面积为×12×12π=72π(cm2).设底面半径为r,则有2πr=12π,∴r=6 cm.由于高、母线、底面半径恰好构成直角三角形,根据勾股定理可得,高h==6(cm)
16.如图①是某校存放学生自行车的车棚的示意图(尺寸如图所示,单位:m),车棚顶部是圆柱侧面的一部分,其展开图是矩形,如图②是车棚顶部截面的示意图,所在圆的圆心为点O,车棚顶部是用一种帆布覆盖的,求覆盖棚顶的帆布的面积.(不考虑接缝等因素,计算结果保留π)

解:连接OB,过点O作OE⊥AB,垂足为E,交于F,由垂径定理,知E是AB的中点,F是的中点,从而EF是弓形的高,∴AE=AB=2 m,EF=2 m.设半径为R m,则OE=(R-2) m.在Rt△AOE中,由勾股定理,得R2=(R-2)2+(2)2,解得R=4,∴OE=4-2=2(m).在Rt△AEO中,AO=2OE,∴∠OAE=30°,∠AOE=60°,∴∠AOB=120°,∴的长为=(m),故帆布的面积为×60=160π(m2)
[来源:学*科*网Z*X*X*K]

17.如图,圆锥的底面半径为5,母线长为20,一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是( D )
A.5 B.10
C.15 D.20
18.如图,有一个直径是1 m的圆形铁皮,圆心为O,要从中剪出一个圆心角是120°的扇形ABC,求:
(1)被剪掉阴影部分的面积;
(2)若用所留的扇形ABC铁皮围成一个圆锥,该圆锥底面圆的半径是多少?

解:(1)连接OA,OB,OC,由SSS可证△ABO≌△ACO,∵∠BAC=120°,∴∠BAO=∠CAO=60°,又OA=OB,∴△OAB是等边三角形,可知AB= m,点O在扇形ABC的上,∴扇形ABC的面积为π·()2=(m2),∴被剪掉阴影部分的面积为π·()2-=(m2) (2)由2πr=π·,得r=,即圆锥底面圆的半径是 m


专题训练(八) 平面图形的运动及不规则图形面积问题

一、求动态中弧长或扇形面积
1.已知一个半圆形工件,未搬动前如图所示,直径平行于地面放置,搬动时为了保护圆弧部分不受损伤,先将半圆作如图所示的无滑动翻转,使它的直径紧贴地面,再将它沿地面平移50 m,半圆的直径为4 m,则圆心O所经过的路线长是__(2π+50)m___.(结果用π表示)
,第1题图)  ,第2题图)
2.如图,在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD,将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动地在x轴上滚动,当点A离开原点后第一次落在x轴上时,点A运动的路径线与x轴围成图形的面积为( C )
A.+         B.+1
C.π+1 D.π+
3.如图,正六边形ABCDEF是边长为2 cm的螺母,点P是FA延长线上的点,在A,P之间拉一条长为12 cm的无伸缩性细线,一端固定在点A,握住另一端点P拉直细线,把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动),求点P运动的路径长.

解:点P运动的路径长为+++++=(12+10+8+6+4+2)=14π(cm)

4.如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=3,边CD在直线l上,将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚,当点A第一次翻滚到点A1位置时,求点A经过的路线长.

解:如图,A″C1==5,==π,A′A″⌒==2π,A″A1⌒==π,则点A第一次翻滚到点A1位置时,点A经过的路线长为+A′A″⌒+A″A1⌒=π+2π+π=6π


5.如图,把Rt△ABC的斜边AB放在直线l上按顺时针方向在l上转动两次,使它转动到三角形A″B′C′的位置.若BC=1,AC=,当顶点A运动到点A″的位置时.
(1)求点A所经过的路线长;
(2)求点A所经过的路线与l所围成的图形的面积.

解:点A所经过的路线图略.(1)在Rt△ABC中,AB==2,∴∠BAC=30°,则∠ABC=60°,∴∠ABA′=120°,∴的长为=.又∵∠A′C′A″=90°,∴A′A″⌒的长为=π,∴点A所经过的路线长为π+π
(2)S扇形BAA′=××2=,S扇形C′A′A″=××=,S△A′BC′=×1×=,∴点A经过的路线与l所围成的图形的面积是π+π+=π+

二、求不规则图形面积问题
6.(用割补法)如图,在矩形ABCD中,AB=2DA,以点A为圆心,AB为半径的圆弧交DC于点E,交AD的延长线于点F,设DA=2.

(1)求线段EC的长;
(2)求图中阴影部分的面积.
解:(1)在矩形ABCD中,AB=2DA,DA=2,∴AB=AE=4,∴DE==2,∴EC=CD-DE=4-2
(2)在Rt△DEA中,∵=,∴∠DEA=30°,∴∠DAE=60°,∴S阴影=S扇形EAF-S△DAE=-×2×2=π-2
7.(用旋转法)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=5 cm,AC=2 cm,将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转45°至△A1B1C的位置,求线段AB扫过区域(图中阴影部分)的面积.

解:∵∠BAC=90°,∴BC2=AB2+AC2=52+22=29.∵S阴影=S扇形CBB1+S△A1B1C-S△ABC-S扇形CAA1.又∵△ABC旋转得到△A1B1C,∴S△ABC=S△A1B1C,∴S阴影=S扇形CBB1-S扇形CAA1=-=π(cm2)[来源:学科网]
[来源:Z+xx+k.Com]
8.(用平移法)如图是两个半圆,点O为大半圆的圆心,AB是大半圆的弦,且与小半圆相切,AB=24.求图中阴影部分的面积.


解:将小圆向右平移,使两圆变成同心圆(如图),连接OB.过O作OC⊥AB于C点,则AC=BC=12.∵AB是大半圆的弦且与小半圆相切,∴OC为小圆的半径,∴S阴影=S大半圆-S小半圆=π·OB2-π·OC2=π·AC2=72π

9.(用等积变形法)如图,已知点A,B,C,D均在已知⊙O上,AD∥BC,BD平分∠ABC,∠BAD=120°,四边形ABCD的周长为15.

(1)求此圆的半径;
(2)求图中阴影部分的面积.
解:(1)易证∠DBC=30°,AB=AD=DC,BC=2DC,∴BC+BC=15,∴BC=6,∴此圆的半径为3 (2)连接OA,OD,过O作OE⊥AD于点E.可求∠AOD=60°,∴S扇形AOD==π.在Rt△AOE中,可求AE=,OE=,∴S△AOD=×3×=,∴S阴影=S扇形AOD-S△AOD=