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    人教版初中数学九年级上册 - 24.1 圆的有关性质

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  • 时间:  2017-08

24.1 圆的有关性质 习题2

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24.1.1 圆
一、填空题
1.圆内接五边形各边相等,各边所对的圆心角的度数是 .
2.如图1,在⊙O中,,∠B=70°,则∠C= .

3.在半径为2的⊙O中,弦AB的长为,则弦AB所对的圆心角∠AOB的度数是 .
4.若⊙O是△ABC的外接圆,OD⊥BC于D,且∠BOD=48°,则∠BAC= .
5.如图2所示,弦AB过圆心O,∠A=30°,⊙O的半径长为,弦CD⊥AB于E,则CD的长为 .

二、选择题
6.下列图形中对称轴最多的是( )
A.圆 B.正方形 C.等腰三角形 D.线段
7.在同圆或等圆中,如果圆心角∠BOA等于另一圆心角∠COD的2倍,则下列式子中能成立的是( )
A.AB=2CD B. C. D.
8.下列语句中,正确的有( )
①相等的圆心角所对的弦相等;
②平分弦的直径垂直于弦;
③长度相等的两条弧是等弧;
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.如图3,已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角∠ACB的度数为( )
A.100° B.80° C.50° D.40°

10.已知:如图4,△ABC内接于⊙O,AD是⊙O的直径,∠ABC=30°,则∠CAD等于( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
三、解答题
11.如图5,AB是⊙O的直径,AC、CD、DE、EF、FB都是⊙O的弦求∠AOC与∠COF的度数.

12.如图6,一座圆弧形的拱桥,它所在圆的半径为10米,某天通过拱桥的水面宽度AB为16米,现有一小帆船高出水面的高度是3.5米,问小船能否从拱桥下通过?

13.如图7,在⊙O中,弦AB与CD相交于点E,AB=CD.
(1)求证:△AEC≌△DEB;
(2)点B与点C关于直线OE对称吗?试说明理由.


参考答案
一、1. 2. 3. 4. 5.
二、6.A 7.B 8.A 9.C 10.D
三、11.解:因为,
所以,
所以.
12.先算出拱桥高出水面的高度为米,,因此可以通过.
13.解:因为,所以.
所以,即,
所以.
在与中,,,,
所以.
(2)点与点关于直线对称.
理由略.
,且AC=CD=DE=EF=FB,

24.1.2 垂直于弦的直径
1. 已知:AB交圆O于C、D,且AC=BD.你认为OA=OB吗?为什么?


2. 如图所示,是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面,若油面宽AB=600mm,求油面的最大深度。

3. 如图所示,AB是圆O的直径,以OA为直径的圆C与圆O的弦AD相交于点E。你认为图中有哪些相等的线段?为什么?

4. 如图所示,OA是圆O的半径,弦CD⊥OA于点P,已知OC=5,OP=3,则弦CD=____________________。
5. 如图所示,在圆O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D、E,若AC=2cm,则圆O的半径为____________cm。
6. 如图所示,AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,E为垂足,若AB=9,BE=1,则CD=_________________。



(4)题图 (5)题图 (6)题图
7. 如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,以AC为直径作圆与斜边交于点P,则BP的长为________________。
8. 如图所示,四边形ABCD内接于圆O,∠BCD=120°,则∠BOD=____________度。
9. 如图所示,圆O的直径为10,弦AB的长为6,M是弦AB上的一动点,则线段的OM的长的取值范围是( )
A. 3≤OM≤5 B. 4≤OM≤5
C. 3<OM<5 D. 4<OM<5



(7)题图 (8)题图 (9)题图
10. 下列说法中,正确的是( )
A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线
C. 圆周角等于圆心角的一半 D. 等弧所对的圆心角相等
11. 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1:3的两条弧,则劣弧所对的圆周角等于( )
A. 45° B. 90° C. 135° D. 270°
12. 如图所示,A、B、C三点在圆O上,∠AOC=100°,则∠ABC等于( )
A. 140° B. 110° C. 120° D. 130°

13. △ABC中,∠C=90°,AB=,BC=,以点A为圆心,以长为半径画圆,则点C在圆A___________,点B在圆A_________;
14. 圆的半径等于,圆内一条弦长2,则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于_____________;
15. 如图所示,已知AB为圆O的直径,AC为弦,OD∥BC交AC于D,OD=,求BC的长;

16. 如图所示,破残的圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交弧AB于点C,交弦AB于点D。已知:AB,CD。
(1)求作此残片所在的圆(不写作法,保留作图痕迹);
(2)求(1)中所作圆的半径。

17. 已知:如图所示,Rt△ABC的两直角边BC=3cm,AC=4cm,斜边AB上的高为CD,若以C为圆心,分别以r1=2cm,r2=2.4cm,r3=3cm,为半径作圆,试判断点D与这三个圆的位置关系。

 18. 在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4cm,D是AB边的中点,以点C为圆心,4cm为半径作圆。则A、B、C、D四点在圆内有_____________。
19. 等腰三角形ABC中,B、C为定点,且AC=AB,D为BC中点,以BC为直径作圆D。
(1)顶角A等于多少度时,A在圆D上?
(2)顶角A等于多少度时,A在圆D内部?
(3)顶角A等于多少度时,A在圆D外部?
20. 在半径为5cm的圆中,弦AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,求弦AB与CD之间的距离。
21. 如图所示,圆O的直径AB和弦CD交于E,已知AE=6cm,EB=2cm,∠CEA=30°,求CD。

22. 圆O中若直径为25cm,弦AB的弦心距10cm,求弦长。

23. 若圆的半径2cm,圆中一条弦长1cm,则此弦中点到此弦所对劣弧中点之间的距离?

24. 圆内一条弦与直径的交角为30°,且分直径为1cm和5cm两段,求弦心距,弦长?

25. 半径为5cm的圆O中有一点P,OP=4,则过P的最短弦长_________,最长弦是__________,

26. 如图所示,已知O是∠EPF的平分线上的一点,以O为圆心的圆心角的两边分别交于点A、B、C、D求证:PB=PD,若角的顶点P在圆上或圆内,上述还成立吗?请说明。
             
参考答案
1. 过点O作于E


2. 175mm 3. 略   4. 8 5. 
6.  7. 3.6      8. 120 9. B
10. D 11. A      12. D 13. 内部、外部
14.  15. BC=4cm     16. (1)图略 (2)
17. 外、上、内     18. C、D   19. (1);
(2)为钝角;       (3)为锐角。
20.  21. 22. 15cm 23. 
24.  25. 
26. (1)证明:过O作

(2)上述结论仍成立:
如下图所示
证明略。


24.1.3 弧、弦、圆心角
一、双基整合:
1.如图1,AB、CE是⊙O的直径,∠COD=60°,且,那么与∠AOE相等的角有_____,与∠AOC相等的角有_________.
  
(1) (2) (3)
2.一条弦把圆分成1:3两部分,则弦所对的圆心角为________.
3.弦心距是弦的一半时,弦与直径的比是________,弦所对的圆心角是_____.
4.如图2,AB为圆O的直径,,∠A=25°,则∠BOD=______.
5.如图3,AB、CD是⊙O的两条弦,M、N分别为AB、CD的中点,且∠AMN=∠CNM,AB=6,则CD=_______.
6.如果两条弦相等,那么( )
A.这两条弦所对的弧相等 B.这两条弦所对的圆心角相等
C.这两条弦的弦心距相等 D.以上答案都不对
7.如图4,在圆O中,直径MN⊥AB,垂足为C,则下列结论中错误的是( )
A.AC=BC B. C. D.OC=CN
  
(4) (5) (6)
8.在⊙O中,圆心角∠AOB=90°,点O到弦AB的距离为4,则⊙O的直径的长为( )
A.4 B.8 C.24 D.16
9.如图5,在半径为2cm的圆O内有长为2cm的弦AB,则此弦所对的圆心角∠AOB为() A.60° B.90° C.120° D.150°
10.如图6,AB是⊙O的直径,CD为弦,CD⊥AB于E,则下列结论中不一定成立的是( )
A.∠COE=∠DOE B.CE=DE C.OE=BE D.
11.已知如图,在⊙O中,AD是直径,BC是弦,D为的中点,由这些条件你能推出哪些结论?(要求:不添加辅助线,不添加字母,不写推理过程,写出六条以上结论)

二、拓广探索:
12.如图7所示,已知C为的中点,OA⊥CD于M,CN⊥OB于N,若OA=r,ON=a,则CD=_______.
  
(7) (8) (9)
13.如图8,直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C,其中B点坐标为(4,4),则该圆弧所在圆的圆心坐标为_________.
14.如图9所示,在△ABC中,∠A=70°,⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等,则∠BOC=( ) A.140° B.135° C.130° D.125°
15.如图所示,已知AB是⊙O的直径,M、N分别是AO、BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB,求证:.
三、智能升级:
16.如图:⊙O1和⊙O2是等圆,P是O1O2的中点,过P作直线AD交⊙O1于A、B,交⊙O2于C、D,求证:AB=CD.

17.如图所示,点O是∠EPF平分线上的一点,以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D.
(1)求证:AB=CD;
(2)若角的顶点P在圆上或在圆内,(1)的结论还成立吗?若不成立,请说明理由;若成立,请加以证明.

参考答案
1.略 略 2.90° 3.:2 90° 4.50° 5.6 6.D 7.D 8.B 9.C 10.C 11.略 12.2 13.(2,0) 14.D
15.提示:连接OC,OD,由OM=OA,ON=OB,得OM=ON,OC=OD,
∴Rt△CMO≌Rt△DNO,∵∠COA=∠DOB,∴
16.提示:过点O1作O1M⊥AB于M,过点O2作O2N⊥CD于N,
再证明△O1MP≌△O2NP,得OM=ON,∴AB=CD
17.(1)证明:过点O分别作PB、PD的垂线,垂足分别为M、N,
∵点O是∠EPF平分线上的点,∴OM=ON,从而AB=CD.
(2)结论成立,证明略.
24.1.4 圆周角
一、选择题
1.如图1,A、B、C三点在⊙O上,∠AOC=100°,则∠ABC等于( ).
A.140° B.110° C.120° D.130°
  
(1) (2) (3)
2.如图2,∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是( )
A.∠4<∠1<∠2<∠3 B.∠4<∠1=∠3<∠2
C.∠4<∠1<∠3∠2 D.∠4<∠1<∠3=∠2
3.如图3,AD是⊙O的直径,AC是弦,OB⊥AD,若OB=5,且∠CAD=30°,则BC等于( ).
A.3 B.3+ C.5- D.5
二、填空题
1.半径为2a的⊙O中,弦AB的长为2a,则弦AB所对的圆周角的度数是________.
2.如图4,A、B是⊙O的直径,C、D、E都是圆上的点,则∠1+∠2=_______.
 
(4) (5)
3.如图5,已知△ABC为⊙O内接三角形,BC=1,∠A=60°,则⊙O半径为_______.

三、综合提高题
1.如图,弦AB把圆周分成1:2的两部分,已知⊙O半径为1,求弦长AB.


2.如图,已知AB=AC,∠APC=60°
(1)求证:△ABC是等边三角形.
(2)若BC=4cm,求⊙O的面积.

3.如图,⊙C经过坐标原点,且与两坐标轴分别交于点A与点B,点A的坐标为(0,4),M是圆上一点,∠BMO=120°.
(1)求证:AB为⊙C直径.
(2)求⊙C的半径及圆心C的坐标.

参考答案
一、1.D 2.B 3.D
二、1.120°或60° 2.90° 3.
三、1. 2.(1)证明:∵∠ABC=∠APC=60°,
又,∴∠ACB=∠ABC=60°,∴△ABC为等边三角形.
(2)解:连结OC,过点O作OD⊥BC,垂足为D,
在Rt△ODC中,DC=2,∠OCD=30°,
设OD=x,则OC=2x,∴4x2-x2=4,∴OC=
3.(1)略 (2)4,(-2,2)