12.2 全等三角形的判定
第十二章 全等三角形
全等三角形的性质是？
全等三角形的对应边相等，
对应角相等
反过来成立吗？
本节就来讨论这个问题
先任意画出一个△ABC，再画一个
△A’B’C’，使△ABC与△A’B’C’满足
上六个条件中的一个或两个。你画出
的△A’B’C’与△ABC一定全等吗？
两个直角三角形，有一个角相等，
它们全等吗？
探
究
1
有一条边相等的两个三
角形全等吗？
一边、一角相等的两个三
角形全等吗？
通过画图我们可以发现，满足上述六个
条件中的一个或两个，△ABC与△A’B’C’
不一定全等。满足三个条件呢？能保证
他们全等吗？我们来分情况讨论。
先任意画一个△ABC再画一个△A’B’C’，
使A’B’=AB，B’C’=BC，C’A’=CA。把
画好的△A’B’C’剪下，放到△ABC上，
它们全等吗？
探究2
画一个△A’B’C’，
使A’B’=AB，
A’C’=AC，
B’C’=BC；
1、画线段B’C’=BC；
2、分别以B’、C’为圆心，线段AB，
AC为半径画弧，两弧交于点A’；
3、连接线段A’B’，A’C’；
C
A
A’
B
C’
B’
探究2反应了什么规律？
三边对应相等的 两个三角形全等
(可简写成SSS)
你能写出它的符号语言吗？
在△ABC与△A’B’C’中，
∵AB=A’B’，BC=B’C’，AC=A’C’
∴ △ABC≌ △A’B’C’
C
A
A’
B
C’
B’
符号语言
我们曾经作过这样的实验，将三根木条钉成
一个三角形木架，这个三角形木架的形状、
大小就不变了。就是说三角形的形状大小
也就确定了，这里用到的就是上面的结论。
用上面的结论可以判断两个三角形全等，
判断两个三角形全等的过程，叫做证明
三角形全等。
例1 如图， △ABC是一个钢架，
AB=AC，AD是连接点A与BC中
点D的支架。求证△ABC≌ △ACD
C
A
B
D
分析：要证△ABC≌ △ACD，可以看
这两个三角形三边是否_______
它们相等吗？
相等
证明：∵D是BC的中点，
∴BD=CD
﹛
AB=AC，
在△ABD与△ACD中
BD=CD，
AD=AD，
∴ △ABD≌ △ACD(SSS）
(公共边)
(已证)
(已知)
你学会了吗？
从例1可以看出，证明是由题设
(已知)出发，经过一步步推理，
最后推出结论(求证)正确的过程。
已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F在一
条直线上，AD=FB。要用“边边边 ”证明
△ABD≌ △FDE，除了已知中的AC=FE，
BC=DE以还应该有什么条件？怎样才能
得到这个条件？
A
B
C
D
E
F
工人师傅常用角尺平分一个任意角。
做法如下：如图，∠AOB是一个任意
角，在边OA、OB上分别取OM=ON，
移动角尺，使角尺两边相同的刻度分
别与M，N重合，过角尺顶点C的射线
OC便是∠AOB的平分线。为什么？
练
习
先任意画一个△ABC，再画一个
△A’B’C’，使A’B’=AB，∠A’= ∠A，
AC=A’C’，(即使有两边和它们的夹角
对应相等)，把画好的△A’B’C’ 剪下，
放到△ABC上，它们全等吗？
探究3
C
A
A’
B
C’
B’
画一个△A’B’C’，
使A’B’=AB，
A’C’=AC，
∠A’= ∠A ；
1、画∠DA’E= ∠A ；
2、在射线A’D上截取A’B’=AB，在
射线A’E上截取A’C’=AC；
3、连接线段B’C’；
探究3反应了什么规律？
两边和它们的夹角对应相等的 两
个三角形全等(可简写成SAS)
你能写出它的符号语言吗？
C
A
A’
B
C’
B’
符号语言
在△ABC与△A’B’C’中，
∵AB=A’B’，AC=A’C’，∠A’= ∠A
∴ △ABC≌ △A’B’C’
例2 如图有一池塘，要测池塘两端
A、B的距离，可先在平地上取一个
可以直接到达A和B的点C，连接AC
并延长到D,使CA=CD；连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，量
出DE的长就是A、B的距离，为什么？
分析：如果能证明△ABC≌ △DEC，
就可以得到AB____DE
=
在△ABC与△DEC中，
CA=CD，CB=CE，
∠1= ∠2
△ABC≌ △DEC还差一个条件是：
_________________
证明：
﹛
CA=CD，
在△ABC与△DEF 中
∠1= ∠2 ，
CB=CE，
∴ △ABC≌ △DEF(SAS）
(已知)
(对顶角相等)
(已知)
你学到了什么？
从例2可以看出，因为全等三角形
的对应边相等，对应角相等，所以
证明分别属于两个三角形的线段
相等或者角相等的问题，常通过
证明这两个三角形全等来解决。
探究4
我们知道，两边和它们的夹角对应
相等的两个三角形全等。由“两边及
其中一边的对角对应相等”的条件能
判定两个三角形全等吗？为什么？
可以通过画图来回答，还可以通过实验来回答
把一长一短的两根细木棍的一端用螺钉铰合
在一起，使长木棍的另一端与射线BC的端
点B重合，适当调整好长木棍与射线BC所成
的角后，固定住长木棍，把短木棍摆起来
动动手
练
习
1、如图，两车从路段AB的一端A出
发，分别向东，向西行进相同的距
离，到达C、D两地，此时C、D到B
的距离相等吗？为什么？
A
D
C
B
2、如图，点E、F在BC上，BE=CF，
AB=DC，∠B=∠C，求证：∠A=∠D
A
D
C
B
F
E
探究5
先任意画一个△ABC，再画一个
△A’B’C’，使A’B’=AB，∠A’= ∠A，
∠B’= ∠B ，(即两角和它们的夹边
对应相等)，把画好的△A’B’C’ 剪下，
放到△ABC上，它们全等吗？
画一个△A’B’C’，
使A’B’=AB，
∠A’= ∠A ,
∠B’= ∠B ；
1、画A’B’=AB ；
2、在A’B’同旁画∠DA’B’=∠A ，
∠EB’A’= ∠B ，A’D，B’E交于点C’；
A
B
C
A’
B’
C’
E’
D’
两角和它们的夹边对应相等的 两
个三角形全等(可简写成ASA)
你能写出它的符号语言吗？
C
A
A’
B
C’
B’
在△ABC与△A’B’C’中，
∵ ∠A’= ∠A ，AB=A’B’， ∠B’= ∠B ，
∴ △ABC≌ △A’B’C’
探究6
在△ABC与△DEF中，∠A= ∠D，∠B= ∠E ，
BC=EF， △ABC与△DEF全等吗？能利用角
边角的条件证明你的结论吗？
C
A
D
B
F
E
两个角和其中一个角的对边对应
相等的 两个三角形全等
(可简写成AAS)
C
A
A’
B
C’
B’
在△ABC与△A’B’C’中，
∵ ∠A’= ∠A ，∠B’= ∠B ， BC=B’C’，
∴ △ABC≌ △A’B’C’
例3 如图，D在AB上，E在AC上，
AB=AC，∠B= ∠C，求证AD=AE
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
分析：如果能证明△ABE_____△ACD，
就可以得到AB____DE
≌
=
﹛
AB=AC，
在△ABE与△ACD 中
∠B= ∠C ，
∠A= ∠A，
∴ △ABE≌ △ACD(ASA）
(已知)
( )
(已知)
证明：
公共角
∴AD=AE( )
全等三角形对应边相等
探究7
三角对应相等 的两个三角形全等吗？
现在我们学了哪些判定全等的方法？
判定两个三角形全等的方法
1、SSS：三边对应相等
2、SAS 两边及夹角对应相等
3、ASA两角夹边对应相等
4、AAS 两角及一角的对边对应相等
1、如图，要测量河两岸相对两点A，B两
点的距离，可以在AB的垂线BF上取两点
C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线
DE，使A，C，E在一条直线上，这时
测得DE的长就是AB的长，为什么？
A
B
C
D
E
F
2、 如图，AB⊥BC， AD⊥DC ，
∠1= ∠2，求证AB=AD
1
2
A
B
C
D
分析：如果能证明
△ABC_____△ACD，
就可以得到AB____AD
≌
=
对于两个直角三角形，除了直角相等的
条件外，还要满足几个条件，这两个直角
三角形就全等了？
讨论
A
B
C
D
E
F
由三角形全等的条件判断，对于两个直角
三角形，满足一边一锐角对应相等，或两
直角边对应相等，这两个直角三角形
全等吗？如果满足斜边和一条直角边
对应相等，这两个直角三角形全等吗？
探究８
先任意画一个ＲＴ△ABC，使∠Ｃ＝９０°，再画一个ＲＴ△A’B’C’，使A’B’=AB，ＢＣ= Ｂ‘Ｃ’，把画好的△A’B’C’ 剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
画一个ＲＴ△A’B’C’，
使Ｂ‘Ｃ’=ＢＣ，
Ａ‘Ｂ’= ＡＢ；
1、画∠ＭＣ’Ｎ= ９０°；
2、在射线Ｃ‘Ｍ上取Ｂ’Ｃ‘＝ＢＣ
３、以Ｂ‘为圆心，ＡＢ为半径画弧，交射线Ｃ’Ｎ于点Ａ‘
４、连接Ａ‘Ｂ’
A
B
C
A’
B’
C’
Ｎ
Ｍ
斜边和一条直角边对应相等
的两个直角三角形全等
(可简写成斜边、直角边或ＨＬ)
你能写出它的符号语言吗？
在ＲＴ△ABC与ＲＴ△A’B’C’中，
∠Ｃ＝∠Ｃ＝９０°
∵ AB=A’B’， BＣ= B’Ｃ‘，
∴ＲＴ△ABC≌ＲＴ△A’B’C’
符号语言
例４　 如图，AＣ⊥BC， ＢD⊥ＡD ，
ＡＣ= ＢＤ，求证BＣ=AD
A
B
C
Ｄ
﹛
AC=BD，
在RT△ABC与RT△BAD 中
AB= BA ，
∴ RT△ABC ≌ RT△BAD (HL)
(已知)
(公共边)
证明：∵ AＣ⊥BC，ＢD⊥ＡD
　∴ ∠C＝∠Ｄ＝９０°
∴BC=AD ( )
全等三角形对应边相等
1、如图，Ｃ是路段ＡＢ的中点，两人
从Ｃ同时出发，以相同的速度分别沿两
条直线行走，并同时到达Ｄ，Ｅ两地，
ＤＡ⊥ＡＢ，ＥＢ⊥ＡＢ，Ｄ，Ｅ与路
段ＡＢ的距离相等吗？为什么？
Ｄ
Ｂ
Ｃ
Ａ
Ｅ
２　 如图，AＢ＝ＣＤ， ＡＥ⊥ＢＣ，
ＤＦ⊥ＢＣ，ＣＥ= ＢＦ，求证AE=DF
Ｄ
Ｂ
Ｃ
Ａ
Ｅ
F
这节课你学到了什么？
１、怎样判定三角形全等？
２、怎样判定直角三角形全等？
３、证明线段、角相等常用什么方法