24.1.4 圆周角
1.理解圆周角的概念,掌握圆周角的定理的内容及
简单应用.
2.掌握圆周角的定理的三个推论及简单应用.
3.渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数
学思想方法.
学习目标
学习重点：圆周角的概念，圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质。

学习难点：圆周角定理的分类证明。
自学指导
认真看书85-88页，独立完成以下问题，看谁做得又对又快？

1、什么是圆周角，它和圆心角有区别吗？
2、圆周角定理是什么？它的推论呢？
3、什么是圆内接多边形？圆内接四边形四个角之间有什么关系？
一、 情境导入
圆周角：__________，并且角_______________.
圆心角: ___________的角.
顶点在圆上
两边都和圆相交
顶点在圆心
二、 先学环节 教师释疑
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理
分类讨论
完全归纳法
【定理】
弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？
什么时候圆周角是直角？反过来呢？
直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？
定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.
也可以理解为：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.
【理解定理】
3.如图，⊙O1和⊙O2是等圆，
如果 那么∠E和
∠F是什么关系？
反过来呢？
O
B
A
D
E
C
【想一想】1.如下左图，比较∠ACB，∠ADB，∠AEB的大小.
2.如上右图，如果 那么∠E和∠F是什么关系？
反过来呢？
【推论1】同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆
或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
思考：1.“同圆或等圆”的条件能否去掉？
2.判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等.
O
半圆（或直径）所对的圆周角是90°；
90°的圆周角所对的弦是直径.
如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，
那么这个三角形是直角三角形.
【推论2】
【推论3】
如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线
交⊙O于D，求BC,AD,BD的长．
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
∵AB是直径， ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
∵CD平分∠ACB，
∴AD=BD.
【解析】
【例题】
1.如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
则∠AOC等于（ ）.
A.50° B.80° C.90° D.100°
D
2.如图，△ABC是等边三角形，动点P在圆
周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC
等于（ ）.
A.30° B.60° C.90° D、45°
B
【跟踪训练】
三、后教环节 突出重点 突破难点
1.如图，∠A=50°，∠AOC=60°
BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ ）.
A.70° B.110° C.90° D.120°
B
2.（南通·中考） 如图，⊙O的直径
AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的
长是( )
A．1 B． C． D．2
【解析】选D. 直径所对的圆周角是直角，在直角三角形中，30°的角所对的边是斜边的一半.
四、当堂检测 巩固新知
3.（衢州·中考）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D是弧BC的中点，已知∠AOB=98°，∠COB=120°．则∠ABD的度数是　　　　　　．
【解析】如图，连接OD，∵D是弧BC的中点，∠COB=120°．∴∠CBD= ∠COD= × ∠COB=30°.
又∠AOB=98°，∠COB=120°．∴∠OAB=41°，
∠OBC=∠OCB=30°, ∠ABD=41°+30°+30°=101°.
答案：101°
4.如图，△ABC的顶点A,B,C都在⊙O上，∠C＝30°，
AB＝2，则⊙O的半径是多少？
【解析】连结OA,OB,
∵∠C=30°，∴∠AOB=60°,
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形,
∴OA=OB=AB=2，即半径为2.
5.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这
个三角形是直角三角形.（提示：作出以这条边为直径的圆）
·
求证： △ABC 为直角三角形.
证明：
CO= AB,
以AB为直径作⊙O，
∵AO=BO，
∴AO=BO=CO.
∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径,
已知：如图,在△ABC中，CO为AB边上的中线，
且CO= AB，
∴ △ABC 为直角三角形.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.圆周角定义及其两个特征；
2.圆周角定理的内容及其推论；
3.思想方法：一种方法和一种思想：
在证明中，运用了数学中的分类方法和“化归”思想．
分类时应作到不重不漏；化归思想是将复杂的问题转
化成一系列的简单问题或已证问题．
五、课堂小结
六、家庭作业
1、必做 p89页 3,5题
2、选作 四清综合应用