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直线与圆有怎样的位置关系？
怎么才能滚好铁环？
24.2.2直线和圆的位置关系课件
教学目标
【知识与能力】
经历探索直线和圆的位置关系的过程．
理解直线和圆的位置关系，探索圆的切线性质.
【过程与方法】
【情感态度与价值观】
通过观察，比较和动手操作，感受到数学活动充满想象和探索，感受证明的必要性、严谨性及数学结论的确定性．
教学重难点
直线和圆的位置关系的性质和判定．
用对称变换及反证法研究切线的性质．
．O
l
．O
l
．O
l
．A
．B
在太阳升起过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？
我们把太阳看作一个圆，地平线看作一条直线，由此你能得出直线和圆的位置关系吗？
l
l
l
观察平面图，由此你能得出直线和圆的位置关系吗？
．O
l
．O
叫做直线和圆相离 ．
直线和圆没有公共点，
l
直线和圆有唯一的公共点，
叫做直线和圆相切 ．
唯一的公共点叫切点．
．O
l
直线和圆有两个公共点，
叫做直线和圆相交 ．
这时的直线叫做圆的割线 ．
直线和圆的位置关系
．A
．B
切点
割线
—— 用公共点的个数来区分
切线
这时的直线叫切线，
快速判断下列各图中直线与圆的位置关系．
除了用公共点的个数来区分直线与圆的位置关系外，能否像点和圆的位置关系一样用数量关系的方法来判断直线和圆的位置关系？
2．直线和圆的位置关系
—— 数量特征
r
d
直线 l 和⊙O相交
O
d
r
直线 l 和⊙O相离
d
r
直线 l 和⊙O相切
O
O
l
l
l
d < r
d = r
d > r
d：弦心距
r ：半径

1．根据直线和圆相切的定义，经过点A用直尺近似地画出⊙O的切线．
O
2．圆的直径是13cm，如果直线与圆心的距离分别是
（1）4.5cm ； （2） 6.5cm ； （3） 8cm，
那么直线与圆分别是什么位置关系？ 有几个公共点？
有两个公共点；
有一个公共点；
没有公共点．
判定直线与圆的位置关系的方法有____种：
（1）根据定义，由__________________的个数来判断；
（2）根据性质，由_______________________的关系来判断．
（在实际应用中，常采用第二种方法判定）
两
直线 与圆的公共点
圆心到直线的距离与半径
．
d
r
O
l
直线 l 和⊙O相切
切线
怎样判定切线？
切线有什么特征？
3．切线
切线的判定定理
．
圆的切线有无数条．
已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线．
作法：
（1）连接OA．
（2）过点A作OA的垂线l．
l 即为所求的切线．
生活中的切线现象（雨伞转动）
切线的性质定理
．
证明：假设OA与CD不垂直，
过点O作一条半径垂直于CD，垂足为M，
则OM＜OA，
即圆心O到直线CD的距离小于⊙O的半径，
因此CD与⊙O相交，
这与已知条件“直线CD与⊙O相切” 矛盾，
所以OA与CD垂直．
即圆的切线垂直于过切点的半径．
．
C
O
D
M
A
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长．
A
4． 切线长
PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．
OB是⊙O的一条半径吗？
PB是⊙O的切线吗？
（利用图形轴对称性解释）
PA、PB有何关系？
∠APO和∠ BPO有何关系？
O
P
A
B
∟
∟
M
⌒
⌒
1
2
证明：
∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP
又OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）
∴PA=PB，∠1=∠2
作辅助线
求证： PA=PB， ∠APO=∠ BPO．
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
切线长定理
连接圆心和切点是我们解决切线长定理相关问题时常用的辅助线．
切线是直线，不能度量
切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
．
O
P
A
B
切线与切线长的比较
B
O
P
A
H
D
C
切线长定理的推论
PO垂直平分AB
一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？
5． 内切圆
三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆．
三角形的内心
三角形内切圆的圆心．
（即三角形三条角平分线的交点）
∵O在∠B的角平分线上，
∴OD＝OE，
又∵O在∠C的平分线上，
∴OD＝OF，
∴OD＝OE＝OF．
∴D、E、F在同一个圆上
O即为内切圆的圆心．
求证：三角形三条角平分线的交点是内切圆的
圆心．
O
D
E
F
(角平分线的性质定理)
证明：
三角形的内切圆可以作出一个，因为三角形三个内角的平分线交于一点，这点即为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的圆只有一个．并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆（inscribed circle of triangle）．
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心（incenter）．
课堂小结
相离
相切
相交
d < r
d = r
d > r
切点
交点
切线
割线
0
1
2
1． 直线和圆的五种位置关系
2． 切线的判定定理
经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
3． 切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径．
．
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长．
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
5． 切线长定理
4． 切线长
6． 三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆．
7． 三角形的内心
三角形内切圆的圆心．
（即三角形三条角平分线的交点）
2． 已知⊙O的直径是11cm，点O到直线a的距离是5.5cm，则⊙O与直线a的位置关系是 ______，直线a与⊙O的公共点个数是_______．
1． 已知⊙O的半径为5cm，点O到直线a的距离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是________;直线a与⊙O的公共点个数是_______．
相交
相切
两个
一个
随堂练习
3． 已知⊙O的直径为10cm，点O到直线a的距离为7cm，则⊙O与直线a的位置关系是 _______;直线a与⊙O的公共点个数是____．
4． 直线m上一点A到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线m与⊙O的位置关系是____________．
零
相离
相切
或相交
5． △ABC中，∠ ABC=50°∠ACB=
75 °，点O是⊙O的内心，求∠ BOC的度数．
A
O
C
B
解：∵点O是⊙O的内心
∴∠OBC=1/2∠ABC=25°
∠OCB=1/2∠ACB=37.5°
∴∠BOC=180°－25°－37.5°
=117.5°
解：连接OA、OB、OC，则
S= AB × r + AC × r + BC × r
= (AB +AC+BC) × r
= l r
6． △ABC的内切圆半径为 r ， △ABC的周长为 l ，求△ABC的面积． （提示：设内心为O，连接OA、OB、OC．）
r
r
r
7． 已知：AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°， AT＝AB．
　求证：AT是⊙O的切线．
证明：∵AB=AT，∠ABT=45°
∴∠ATB=∠ABT=45°
∴∠TAB=180°－∠ABT－∠ATB=90°
∴AT⊥AB，
即AT是⊙O的切线．