1.2 函数及其表示
1.2.1
函数的概念(一)
1．设 A、B 是_____________，如果按照某种确定的对应关

系 f，使对于集合 A 中的_________数 x，在集合 B 中都有____

______的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合

B 的一个_____，记作_______________.
唯一
函数
y＝f(x)，x∈A
非空的数集
任意一个
确定
2．函数 y＝f(x)中的 x 叫_______，x 的取值范围 A 叫做函

数的________，与 x 相对应的 y 值叫做________，函数值的集

合{f(x)|x∈A}叫做函数的_____．

3．函数的三要素是_______、_____和__________．

4．由于值域是由函数的定义域和对应关系决定的，所以，

如果两个函数的_______和__________完全一致，则称这两个函
数相同．
定义域
值域
对应关系
定义域
5．(1)满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的集合叫做_______，
表示为________；
对应关系
闭区间
[a，b]
自变量
定义域
函数值
值域
(2)满足不等式 a＜x＜b 的实数 x 的集合叫做________，表
示为_______；
开区间
(a，b)
(3)满足不等式 a≤x＜b 或 a＜x≤b 的实数 x 的集合叫做

_______________，分别表示为_______________；

(4)实数集 R 用区间表示为_____________；

(5)把满足 x≥a，x＞a，x≤b，x＜b 的实数 x 的集合分别表

示为__________________________________________．
半开半闭区间
[a，b)，(a，b]
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)
重点 1
函数的判断
判断一个对应关系是否为函数要把握三个要点：

①两集合是否为非空数集；

②对集合 A 中的每一个元素，在 B 中是否都有元素与之对

应；

③A 中任一元素在 B 中的对应元素是否唯一．
重点 2
f(x)与 f(a)，a∈A 的关系
f(a)表示当 x＝a 时的函数值，是一个值域内的值，是常数；

f(x)表示自变量为 x 的函数，表示的是变量，如 f(x)＝2x，当

x＝3 时，f(3)＝2×3＝6.
函数概念的理解
B
例 1：设 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，如图 1 的四个
)
图形，其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的有(
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
图 1
思维突破：根据函数定义去判断．
由函数的定义知，M 中任一元素在 N 中都有唯一的元素与

之对应，即在 x 轴上的[0,2]内任取一点，作y 轴的平行线与图象

只有一个交点．
由函数定义知①不是，因为当1
之对应；③中的x＝2 对应元素y＝3∉N，所以③不是；④中 x=1

时，在N 中有两个元素与之对应，所以④不是．只有②符合函

数的定义，所以②正确．
根据函数定义可知，函数图象与垂直于 x 轴
的直线至多有一个交点，如果有两个或两个以上的交点，就不

是函数图象．
1－1.下列对应关系是表示从集合 M 到集合 N 的函数的是
(
)
D
B．M＝R，N＝R，f：x→y＝ x

C．M＝{x|x≥0}，N＝R，f：x→y2＝x

D．M＝R，N＝{y|y≥1}，f：x→y＝x2＋1
解析：A 对于M 中的元素0，N 中没有元素与之对应，故

该对应不是从M 到N 的函数；B 对于M 中的元素－1，N 中没

有元素与之对应，故该对应不是从M 到N 的函数；C 对于M 中

的元素，如x＝1，通过对应关系f：x→y2=x 得到 M 中两个元

素±1 与之对应，故该对应不是从 M 到 N 的函数．
函数相等的判定

例 2：下列各组中的两个函数是否表示同一函数？
(5)f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈Z)；

(6)f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.

思维突破：判定两个函数是否相等，关键在于看函数定义

域和对应关系(有时化简后)是否相同，两者中只要有一个不同，

两个函数就不是同一函数．
讨论函数问题时，要保持定义域优先的原

则，判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，

则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相

同，则相等，否则不相等．
2－1.下列各组函数是否表示同一函数？
求解析式已给出的函数定义域

例 3：求下列函数的定义域：
思维突破：求函数定义域，就是解析式中使各部分都有意

义的自变量的取值范围的公共部分的集合．
①若 f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；

②若 f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；③若 f(x)是指

数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合；④若 f(x)

是由几个式子构成的，则函数的定义域是个部分定义域的交集；
⑤若 f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题

有意义．
C
3－2.求下列函数的定义域：
kx ＋4kx＋3
例 4：当 k 为何值时，函数 y＝
kx＋7
2
的定义域是一切
实数．

错因剖析：忽略了对 k≠0 和 k＝0 情况的讨论，事实上，

只有当 k≠0 时才能用判别式，易验证 k＝0 时，kx2＋4kx＋3＝

3≠0，也成立．