●课程标准
一、函数概念
①通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．
④通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义．
⑤学会运用函数图象理解和研究函数的性质．（非常关键）
知识归纳
1．映射
(1)映射的概念：设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的 一个元素x，在集合B中都有 的元素y与它对应，这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射，记作f：A→B.
(2)象和原象：给定一个集合A到B的映射，且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．
任意
惟一确定
2．函数
(1)传统定义：如果在某个变化过程中有两个变量x、y，对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某种对应法则f，y都有惟一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，记为y＝f(x)．
(2)近代定义：设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的 ，在集合B中都有 的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，其中x的取值范围A叫函数的 ， 叫函数的值域，值域是 的子集（详细定义见教材）
(3)函数的表示法有：
解析法、列表法、图象法．
理解函数概念还必须注意以下几点：
①集合A、B都是非空的数的集合．
②必需有一个对应关系f:A→B
③A中任意对应B中惟一
注意：若两个函数的定义域、对应法则分别相同，称这两个函数相等．例如：与函数y=x(x≥0)是同一函数的是
④函数的定义域是自变量x的取值范围，是函数的一个重要组成部分．同一个对应法则，由于定义域不相同，函数的图象与性质一般也不相同．
⑤函数的图象可以是一条或几条平滑的曲线,但必须是一个变量x只有唯一一个变量y与其对应．
⑥对于以x为自变量的函数，f(a)的含义与f(x)的含义不同．f(a)表示自变量x＝a时所得的函数值，它是一个常量；f(x)是x的函数，通常它是一个变量例如： f(x)=2x+1
(3)实际问题或几何问题给出的函数的定义域：这类问题除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义．
(4)如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合（即各部分的交集）．
4．函数的值域
(1)函数值域的定义
在函数y＝f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
(2)确定函数值域的原则
①当函数y＝f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中y的值的集合．
②当函数y＝f(x)的图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影对应的y的值的集合．
③当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则惟一确定．
(4)求函数值域的方法
求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式．常用的方法有：
①直接法——从自变量x的范围出发，通过观察和代数运算推出y＝f(x)的取值范围；
②配方法——配方法是求“二次型函数”值域的基本方法，形如F(x)＝af 2(x)＋bf(x)＋c的函数的值域问题，均可使用配方法．
⑦单调性法——根据函数在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性求出函数的值域．
⑧求导法——当一个函数在定义域上可导时，可根据其导数求最值；
⑨数形结合法——当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域．
重点难点
重点：①函数的概念．
②函数的定义域、值域．
③分段函数．
难点：复合函数及分段函数．值域及求法
误区警示
1．映射的定义是有方向性的，即从集合A到B与集合B到A的映射是两个不同的映射．
2．判断两个函数是否为相等函数，关键看定义域和对应法则是否都相同．
3．复合函数求定义域时，因不能深刻理解函数定义域的意义而致误，常见的是把已知f(x)的定义域求f(g(x))的定义域与已知f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域混淆．
4．解题过程中忽视定义域的限制作用致误（如对数函数）
5．不要忽视实际问题的实际意义的限制作用．
6．换元法求解析式或函数值域，换元后易漏掉考虑新元的取值范围．
7．判别式法求值域对端点要进行检验．
8．利用均值不等式求值域时，要注意必须满足已知条件和不等式一端是常数，等号能成立，还要注意符号．
9．熟练掌握求函数值域的几种常用方法，要注意这些方法分别适用于哪些类型的函数．
一、定义法
用数学概念的基本定义解决相关问题的方法，称之为定义法．利用定义解题的关键是把握住定义的本质特征．
[例1]　已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，在同一直角坐标系下，函数y＝f(x)的图象与直线x＝a(a为实数常数)的交点个数为 (　　)
A．0个　 　B．1个　 　C．2个　 　D．0个或1个
解析：∵f(x)的定义域为[－1,5]，当a∈[－1,5]时，直线x＝a与函数y＝f(x)的图象必有一个交点，当a∉[－1,5]时，直线x＝a与函数y＝f(x)的图象无交点．
根据函数的定义知，函数是一个特殊的映射，即对于定义域[－1,5]中的任何一个元素，在其值域中有唯一确定的元素与之对应，故直线x＝a与y＝f(x)的图象至多有一个交点．选D.
答案：D
二、求函数解析式常用的方法
1．换元法
[例2]　已知f(1－cosx)＝sin2x，求f(x)．
解析：令t＝1－cosx，则cosx＝1－t
∴sin2x＝1－cos2x＝1－(1－t)2＝－t2＋2t
∴f(x)＝－x2＋2x，但t＝1－cosx∈[0,2]
∴f(x)＝－x2＋2x　x∈[0,2]（注意新的变量的取值范围）．
答案：C
总结评述：已知f(g(x))是关于x的函数，即f[g(x)]＝F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)＝t，由此能解出x＝φ(t)．将x＝φ(t)代入f[g(x)]中，求得f(t)的解析式，再用x替换t，便得f(x)的解析式．注意，换元后要确定新元t的取值范围．
2．待定系数法
若已知函数类型，则可用此法．
[例4]　设二次函数f(x)满足f(x＋2)＝f(2－x)，且f(x)＝0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．
解析：设＝ax2＋bx＋c(a≠0)
由知，该函数的图象关于直线x＝2对称（通常函数满足 f(a＋x)＝f(b－x) 时，有f(x)图象关于直线x＝a+b／2对称）
点评：充分抓住已知条件式的结构特征，运用x取值的任意性获得②式是解决此题的关键．
若已知2f(x)－f(－x)＝2x－1，你会求f(x)吗？
4．赋值法
此类解法的依据是：如果一个函数关系式中的变量对某个范围内的一切值都成立，则对该范围内的某些特殊值必成立，结合题设条件的结构特点，给变量适当取值，从而使问题简单化、具体化，从而获解．
[例6]　已知函数f(x)满足f(0)＝1，f(a－b)＝f(a)－b(2a－b＋1)(a、b∈R)，求f(x)．
解析：解法1：令a＝0，则f(－b)＝f(0)－b(－b＋1)＝1＋b(b－1)＝b2－b＋1
再令－b＝x得，f(x)＝x2＋x＋1.
解法2：令b＝a，则1＝f(0)＝f(a)－a(2a－a＋1)＝f(a)－a(a＋1)，
∴f(a)＝a(a＋1)＋1＝a2＋a＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.
5．转化法
已知f(x)在某个区间上的表达式及f(x)具有某种性质(如奇偶性、对称性等)，求f(x)在另一个区间上的表达式，常用转化法求解．
[例7]　已知函数f(x)的定义域是R，且f(x)= f(x+2).当
x∈ [-2,-1]时, f(x)= x2 ，则当x∈ [2, 3]时， 求f(x)的解析式
分析：本题中函数的定义域为R，且分子、分母中至少有一个为关于x的二次式，所以可用判别式法；但注意到分子为x的一次式，可在x≠0时，分子、分母同除以x，用均值定理去求解；导数法更具有一般性．
答案：B
总结评述：当一个函数的对应法则和定义域确定后，其值域随之得到确定，所以两个函数当且仅当定义域和对应法则分别相同时为相等函数.
答案：B
已知函数f(x)、g(x)分别由下表给出

则f[g(1)]的值为________；满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是________．
解析：f[g(1)]＝f(3)＝1.

故f[g(x)]>g[f(x)]的解为x＝2.
答案：1；2
A．1　　　　 B．2　　　　
C．3　　　　 D．4
分析：依据分段函数的定义，当x<6时，f(x)＝f(x＋3)，当x≥6时，f(x)＝log2x，依次递推可求出f(－1)．
解析：f(－1)＝f(2)＝f(5)＝f(8)＝log28＝3，选C.
答案：C
分析：可依据y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，及y＝f(2－x)可由y＝f(－x)的图象向右平移两个单位得到来求解，也可直接求出y＝f(2－x)的解析式取特值验证．
解析：由函数y＝f(x)的图象关于y轴对称得到y＝f(－x)的图象，再把y＝f(－x)的图象向右平移2个单位得到y＝f(2－x)的图象，故选A.
答案：A
答案：C
解析：当x<1时，f(x)≥1⇔(x＋1)2≥1⇔x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x<1.
答案：A
答案：D
点评：f(x)在R上是增函数，a的取值不仅要保证f(x)在(－∞，1)上和[1，＋∞)上都是增函数，还要保证x1<1，x2≥1时，有f(x1)解析：f(3)＝f(2)－f(1)＝f(1)－f(0)－f(1)＝－f(0)＝－log24＝－2.
答案：B
答案：{x|2≤x<4且x≠3}
答案：(－2，－1)∪(1,2)
答案：C
答案：B
[例6]　用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)，若矩形底部长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域．
总结评述：求由实际问题确定函数的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义．如本题使函数解析式有意义的x的取值范围是x∈R，但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量x表示的，这就是实际问题对变量的制约．
这类函数与几何结合的小综合题，考查数形结合的能力和思维的严密性以及解决实际问题的能力，符合新课改的要求．
分析：甲、乙共买60本，若甲买n本，则乙买(60－n)本，由C(n)的定义和n∈N*找出n的取值范围和分界点，然后确定其解析式，在每一段上求得最值后，比较得出结果．
解析：设甲买n本书，则乙买(60－n)本(不妨设甲买的书少于或等于乙买的书)，
则n≤30，n∈N*.
①当1≤n≤11且n∈N*时，49≤60－n≤59，
出版公司赚的钱数f(n)＝12n＋10(60－n)－5×60
＝2n＋300；
②当12≤n≤24且n∈N*时，36≤60－n≤48，
出版公司赚的钱数
f(n)＝12n＋11(60－n)－5×60＝n＋360；
③当25≤n≤30且n∈N*时，30≤60－n≤35，
出版公司赚的钱数
f(n)＝11×60－5×60＝360.
∴当1≤n≤11时，302≤f(n)≤322；
当12≤n≤24时，372≤f(n)≤384；
当25≤n≤30时，f(n)＝360.
故出版公司最少能赚302元，最多能赚384元．
一、选择题
1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是 (　　)
[答案]　A
[解析]　要注意y＝s(t)在某一点的导数就是曲线在该点处的斜率，即为在该点处的速度，可知选A.
[答案]　C
[答案]　B
[答案]　C
[点评]　这类题目解决的基本方法通过分析变化趋势或者一些特殊的点，采用排除法；或求函数解析式．
二、填空题
5．(2010·山东潍坊)已知函数f(x)＝2x的反函数是y＝g(x)，令h(x)＝g(1－|x|)，则关于函数h(x)有下列命题：
①h(x)的定义域是(－1,1)；
②h(x)是奇函数；
③h(x)的最大值为0；
④h(x)在(－1,0)上为增函数．
其中正确命题的序号为________．(注：将所有正确命题的序号都填上)
[答案]　①③④
[解析]　由已知得，g(x)＝log2x，∴h(x)＝log2(1－|x|)，∴1－|x|>0，∴－1∵y＝x＋1在(－1,0)为增函数，∴h(x)＝log2(x＋1)在(－1，0)上也为增函数，综上知①③④正确．
[答案]　(－∞，0]
7．若集合M＝{－1,0,1}，N＝{－2，－1,0,1,2}，从M到N的映射f满足：对每个x∈M，恒使x＋f(x)是偶数，则映射f有________个．
[答案]　12
[解析]　当x＝－1时，f(x)可以取－1、1；当x＝1时，f(x)可以取－1、1；当x＝0时，f(x)可以取－2、0、2.
1．设M＝{a，b，c}，N＝{－1,0,1}，从M到N的映射f满足f(a)>f(b)≥f(c)，试确定这样的映射f的个数为(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
[答案]　D
[解析]　可根据f(a)>f(b)≥f(c)列表

故符合条件的映射共有4个．
[答案]　A
[答案]　B
[解析]　f(1)＝1，
当a≥0时，f(a)＝ea－1，∴1＋ea－1＝2，
∴a＝1，
当－1[答案]　C
5．(2010·北京东城区)已知点P在直线x＋y＋5＝0上，点Q在抛物线y2＝2x上，则|PQ|的最小值等于________．
[点评]　抽象函数关系讨论性质，主要用赋值法解决．