3.1.2 用二分法求方程的近似解
上节回忆
1、函数的零点的定义：
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
2、如何判断函数y=f(x)在区间[a,b]上是否
有零点?
(1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线
(2) f(a)·f(b)<0
思考：区间[a,b]上零点是否是唯一的？
C
练习：
问题:你会解下列方程吗?2x-6=0; 2x2-3x+1=0; lnx+2x-6=0
求方程根的问题

相应函数的零点问题
思路
可以转化为求函数 在区间（2，3）内零点的近似值。
求方程 的近似解的问题
那么，如何才能找到零点的近似值 ？？
引例：有12个大小相同的小球，其中有11个小球质量相等，另有一个小球稍重，用天平称几次就可以找出这个稍重的球？
引例
从某水库闸房到防洪指挥部的某一处电话线路发生了故障。这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？(每50米一根电线杆)
如果沿着线路一小段一小段查找，
困难很多。
每查一个点要爬一次电线杆子，10km长，大约有200根电线杆子呢。
想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
这能提供一个求函数零点的思路吗？
在已知存在零点的区间确定函数的零点的近似值，实际上就是如何缩小零点所在的范围，或是如何得到一个更小的区间，使得零点还在里面，从而得到零点的近似值。
思考：如何缩小零点所在的区间？
思路：用区间两个端点的中点，将区间一分为二……
思路
对于一个已知零点所在区间[a,b],取其中点 c ,计算f(c),如果f(c）=0，那么 c 就是函数的零点；如果不为0，通过比较中点与两个端点函数值的正负情况，即可判断零点是在（a,c)内，还是在（c,b)内，从而将范围缩小了一半，以此方法重复进行……
（2，3）
（2.5，3）
（2.5，2.75）
（2.5，2.5625）
（2.53125，2.5625）
（2.53125，2.546875）
（2.53125，2.5390625）
2.5
2.75
2.625
2.5625
2.53125
2.546875
（2.5，2.625）
2.5390625
2.53515625
-0.084
0.512
0.215
0.066
-0.009
0.029
0.010
0.001
1
0.5
0.25
0.125
0.0625
0.03125
0.015625
0.0078125
(精确度为0.01)
精确度为0.01,即零点值与近似值的差的绝对值要小于或等于0.01
我们可将此区间内的任意一点作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值.
如图
所以
所以方程的近似解可以为
二分法概念
问题5: 你能归纳出“给定精确度ε,用二分法求函数零点近似值的步骤”吗?
二分法的实质:就是将函数零点所在的区间不断地一分为二，使新得到的区间不断变小，两个端点逐步逼近零点．
思考1:求函数f(x)的零点近似值第一步应做什么？
思考2:为了缩小零点所在区间的范围，接下来应做什么？
确定区间[a,b]，使 f(a)f(b)<0
求区间的中点c，并计算f(c)的值
思考3:若f(c)=0说明什么？ 若f(a)·f(c)<0或f(c)·f(b)<0 ，则分别说明什么？
若f(c)=0 ，则c就是函数的零点；
若f(a)·f(c)<0 ，则零点x0∈(a,c)；
若f(c)·f(b)<0 ，则零点x0∈(c,b).
思考4:若给定精确度ε，如何选取近似值？
当|m—n|<ε时，区间[m，n]内的任意一个值都是函数零点的近似值.
用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
1、 确定区间[a,b]，验证f(a).f(b)<0,给定精确度ε ；
2、求区间（a,b）的中点c，
3、计算f(c)
（1）若f(c)=0，则c就是函数的零点；
（2）若f(a).f(c)<0，则令b= c（此时零点x0∈(a, c) );
（3）若f(c).f(b)<0，则令a= c（此时零点x0∈( c,,b));
4、判断是否达到精确度ε ，即若|a-b|< ε 则得到零点近似值a(或b),否则重复2~4

牛刀小试：
0
1
2
3
4
6
5
7
8
-6
-2
3
10
21
40
75
142
273
列表
尝试:借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）.
先确定零点的范围；再用二分法去求方程的近似解
绘制函数图像
取（1，1.5）的中点x2=1.25 ,f(1.25)= -0.87，因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈（1.25，1.5）
同理可得， x0∈（1.375，1.5），x0∈(1.375，1.4375），由于
|1.375-1.4375|=0.0625< 0.1
所以，原方程的近似解可取为1.4375
借助计算器用二分法求
的近似解(精确度0.1).
方程的近似解为
练一练：
基本知识:1. 二分法的定义;
2.用 二分法求解方程的近似解的步骤.
通过本节课的学习,你学会了
哪些知识?
定区间，找中点，
中值计算两边看;
同号去，异号算，
零点落在异号间;
周而复始怎么办?
精确度上来判断.
二分法求方程近似解的口诀:
例3.已知函数 的图象如图所示,则( ).
·
·
0 1 2
A.b∈(-∞,0) B.b∈(0,1)
C.b∈(1,2) D.b∈(2,+∞)
略解:由题意f(0)=0,f(1)=0,f(2)=0,f(-1)<0.得:d=0,a+b+c=0,8a+4b+2c=0,-a+b-c<0.求得b<0.选A.
例4.已知函数 的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧,则实数m的取值范围是( ).
A. (0,1] B. (0,1) C. (-∞,1) D. (-∞,1]
略解:m=0时,f(x)=-3x+1 符合题意,故可排除A和B;m=1时,二次函数 与x的交点(1,0)在原点右侧,符合题意,
故选D.