3.2.1 函数模型的应用实例
考点一： 图表信息迁移题
理论迁移
[例1]　如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：
(1)通话2分钟，需付电话费__________元；
(2)通话5分钟，需付电话费________元；
(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为____________．
[精解详析]　(1)由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．
(2)由图象可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．
(3)当t≥3时，y关于x的图象是一条直线，且经过(3,3.6)和(5,6)两点，故设函数关系式为y＝kt＋b，
[答案]　(1)3.6　(2)6　(3)y＝1.2t(t≥3)
[一点通]　1．明确横轴、纵轴的意义，如例1中横轴t表示通话时间，纵轴y表示电话费；
2．从图象形状上判断函数模型，如例1中在区间[0,3]和[3，＋∞)上均是直线型；
3．抓住特殊点的实际意义，特殊点一般包括最高点(最大值点)、最低点(最小值点)及折线的拐角点等；
4．通过方程、不等式、函数等数学模型化实际问题为数学问题．
1．某同学家门前有一笔直公路直通长城.星期天，他
骑自行车匀速前往，他先前进了a km，觉得有点累，就休息了一段时间；想想路途遥远，有些泄气，就沿原路往回骑了b km(b＜a)；此时他记起“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进．该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为 (　　)
解析：由题意可知，刚开始s是关于时间t的一次函数，所以其图象是一条上升的线段；由于中间休息了一段时间，该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段；然后原路返回，图象下降；再调转车头继续前进，则图像上升．
答案：C
2．下面是一幅统计图，根据此图得到的以下
说法中，正确的个数是　　　　　　　　(　　)
(1)这几年生活水平逐年得到提高；
(2)生活费收入指数增长最快的一年是2008年；
(3)生活价格指数上涨速度最快的一年是2009年；
(4)虽然2010年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．
A．1　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：由题意知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故(1)正确；“生活费收入指数”在2008～2009年最陡，故(2)正确；“生活价格指数”在2009～2010年最平缓，故(3)不正确；“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故(4)正确．
答案：C
考点二： 分段函数模型的应用
(1)讲课开始后5分钟与25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
　　(2)讲课开始后多少分钟，学生注意力最集中？能持续多少分钟？
　　(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？
[精解详析]　(1)f(5)＝－52＋24×5＋100＝195，
f(25)＝－7×25＋380＝205.
∴讲课开始后25分钟学生的注意力更集中．
(2)当0此时，当t＝10时，f(t)max＝240；
当10当20≤t≤45时，f(t)max＝f(20)＝240.
∴讲课开始后10分钟到20分钟，学生注意力最集中， 能持续10分钟．
[一点通]　分段函数与日常生活联系紧密，故常成为考查的热点.对于分段函数，一定要注意对各个定义区间内的表达式进行分析，特别是区间的端点，以保证在各区间端点“不重不漏”．
3．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千
米/时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地.
(1)把汽车离开A地的距离x(千米)表示为时间t(小时)的函数；
(2)求汽车行驶5小时离A地的距离．
4．根据市场调查，某种新产品投放市场的30天内，每
件的销售价格P(元)与时间t(天)的关系如图所示，日销量Q(件)与时间t(天)之间的关系如表所示．
(1)根据图示，写出该产品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；
(2)在所给的直角坐标系(图2)中，根据表中提供的数据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定日销量Q与时间t的一个函数关系式；
(3)在这30天内，哪一天的日销售金额最大？(日销售金额＝每件产品的销售价格×日销量)
(2)描出实数对(t，Q)的对应点，如图所示．
当0此时t＝5.
当20所以第5天日销售金额最大.
考点三： 二次函数模型的应用
[一点通]　在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小值等问题．
5．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间
加两道隔墙.要使矩形场地的面积最大，则隔墙的长度为 　　(　　)
A．3 m　　　　　　　 B．4 m
C．5 m D．6 m
答案：A
6．据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至
25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，且对应点为二次函数图像的顶点．
(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式；
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？
[例4]　(12分)某个体经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表：
考点四： 根据已知数据选择函数模型
该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A，B两种商品各投入多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．
[精解详析]　以投资额为横轴，纯利润为纵轴，在平面直角坐标系中画出图像，如图所示．
(4分)
由图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟. (6分)
设y＝a(x－4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得
0．65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，
所以y＝－0.15(x－4)2＋2. 　 (8分)
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟．
当x＝3时，W取最大值，约为4.55万元，
此时B商品的投资为9万元．
故该经营者下个月把12万元中的3万元投资A种商品，9万元投资B种商品，可获得最大利润，约为4.55万元． 　　 (12分)
[一点通]　解此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数，再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤是
(1)根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
7．今有一组数据如下：
答案：C
8．某地西红柿从2月1日起开始上市.通过市场调
查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：
Q＝at＋b；Q＝at2＋bt＋c；Q＝a·bt；Q＝a·logbt.
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市时间及最低种植成本．
解：(1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt中的任意一个进行描述时都应有a≠0，而上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合．所以，选取二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．
将表格所提供的三组数据分别代入Q＝at2＋bt＋c，得
方法规律小结
函数应用题常见类型
(1)函数关系已知的应用题
解函数关系已知的应用题的一般步骤是：
①确定函数关系式y＝f(x)中的参数，求出具体的函数解析式y＝f(x)；
②建立函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型．
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解．
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
同学们 再见！