函数模型及其应用
(必修1) 第三章 函数的应用
了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能建立简单的数学模型，利用这些知识解决应用问题.
1.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)=1.06×(0.50×［m］+1)给出，其中m>0,［m］是大于或等于m的最小整数(如［4］=4,［2.7］=3,［3.8］=4).若从甲地到乙地的一次通话时间为5.5分钟的电话费为( )
C
A.3.71元 B.3.97元
C.4.24元 D.4.77元
2.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了如下一组数据：
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )
B
A.y=2x-2 B.y= (x2-1)
C.y=log2x D.y=( )x
将各组数据代入验证，选B.
3.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式的电话费相差（ ）
A
A.10元 B.20元
C.30元 D. 元
两种话费相差为Δy，
根据几何关系可得Δy=Δy′,
=12,Δy′=10，
所以Δy=10.
4.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x (x∈N*)的关系为y=-x2+12x-25，则为使其营运年平均利润最大,每辆客车营运年数为（ ）
C
A.2 B.4 C.5 D.6
平均利润 = ≤12-10=2,当且仅当x= ,即x=5时,等号成立,故选C.
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.那么，面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？事实上，要顺利地建立函数模型，首先要深刻理解基本函数的图象和性质,熟练掌握基本函数和常用函数的特点,并对一些重要的函数模型必须要有清晰的认识.一般而言，有以下8种函数模型：
①一次函数模型:f(x)= kx +b(k、b为常数,k≠0);
②反比例函数模型：f(x)= +b(k、b为常数,k≠0);
③二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)，二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见的;
④指数型函数模型：f(x)=kax+b(k、a、b为常数，k≠0,a>0且a≠1);
⑤对数型函数模型：f(x)=mlogax+n(m、n、a为常数,m≠0,a>0且a≠1);
⑥幂函数型模型：f(x)=axn+b(a、b、n为常数,a≠0,n≠0);
⑦“对勾”函数模型：f(x)=x+ (k为常数,k>0)，这种函数模型应用十分广泛,因其图象是一个“对勾号”,故我们把它称之为“对勾”函数模型；
⑧分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛.
题型一 函数模型的选择
扇形的周长为c(c>0)，当圆心角为多少弧度时，扇形面积最大？
当r= 时， Smax= ,
此时|α|= = = =2.
所以当圆心角大小为2 rad时，扇形面积最大，为 .
(方法一)因为c=l+2r,所以l=c-2r>0,
所以0面积S= lr= (c-2r)r=( -r)r(0当且仅当α= ，即α=2时，等号成立.
所以当圆心角大小为2 rad时，扇形面积最大，为 .
(方法二)因为c=l+2r=αr+2r,所以r= .
所以S= αr2=α·( )2=
= ≤
= .
(1)虽然问“α为多少时”，但若以α为自变量，运算较大且需用到均值不等式等技巧，而方法一以半径为自变量，是一个简单的二次函数模型.同样，若以弧长l为自变量，也是一个二次函数模型.所以在构造函数过程中，要合理选择自变量.
(2)一般的，当线绕点旋转时，常以旋转角为变量.
　　　(3)合理选择是画图象还是分离参数解决不等式组成立问题.当图易于作出时，常用图象解决；当易分离参数且所得函数的最值易于求解时，可用分离参数法.
题型二 已知函数模型求参数值
如图,木桶1的水按一定规律流入木桶2中，已知开始时木桶1中有a升水，木桶2是空的，t分钟后木桶1中剩余的水符合指数衰减曲线y1=ae-mt（其中m是常数，e是自然对数的底数）.假设在经过5分钟时，木桶1和木桶2的水恰
好相等,求：
(1)因为木桶2中的水是从木桶1中流出 的，而木桶1开始的水是a,又满足y1=ae-mt，所以y2=a-ae-mt.
(2)因为t=5时,y1=y2,所以ae-5m=a-ae-5m，
解得2e-5m=1 m= ln2.所以y1=ae .
当y1= 时,有 =ae t=15(分钟).
所以经过15分钟木桶1的水是 .
（1）木桶2中的水y2与时间t的函数关系；
（2）经过多少分钟，木桶1中的水是 升?
题型三 给出函数模型的应用题
经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格（元）均为时间t(天)的函数,且销售量近似满足g(t)=80-2t(件）,价格近似满足f(t)=20- |t-10|（元）.
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.
(1)y=g(t)·f(t)=(80-2t)·(20- |t-10|)
=(40-t)(40-|t-10|)= (30+t)(40-t)(0≤t<10)
(40-t)(50-t)(10≤t≤20).
(2)当0≤t<10时,y的取值范围是[1200,1225].
在t=5时,y取得最大值为1225；
当10≤t≤20时,y的取值范围是[600,1200],
在t=20时，y取得最小值为600.
答:第5天,日销售额y取得最大值为1225元,第20天,y取得最小值600元.
阅读题目、理解题意是解决应用题的前提.本题的关键是对f(x)的假定的理解.选择数学模型和方法解决实际应用问题是核心步骤，因此解应用题时要根据题目中的数量关系，选择适当的数学模型和方法加以解决.
1.理解题意，找出数量关系是解应用题的前提，因此解题时应认真阅读题目，深刻理解题意.
　　　2.建立数学模型，确定解决方法是解应用题的关键，因此解题时要认真梳理题目中的数量关系，选择适当的方法加以解决.
3.函数的应用问题通常是以下几种类型：可行性问题、最优解问题(即最大值或最小值问题，如费用最小，效益最大等问题)、决策问题.解题时要灵活运用函数的性质和数学方法.
　　　4.应用题中的函数由于它具有实际意义，因此函数中的变量除要求使函数本身有意义外，还要符合其实际意义.
函数模型及其应用
第一课时
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孙小凯(班级一学生,刚好早晨迟到)早上起床太晚，为避免迟到，不得不跑步到教室，但由于平时不注意锻炼身体，结果跑了一段就累了，不得不走完余下的路程。
问题1
如果用纵轴表示离教室的距离，横轴表示出发后的
时间，则下列四个图象比较符合此人走法的是（ ）
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问题2
韦老师今天从县中到二中上课，来的时候坐了
出租车。我们知道洪泽出租车的价格，凡上车起步
价为4元，行程不超过3km者均按此价收费，
行程超过3km，按1.5元/km收费。
县中到二中的路程是 4公里，问韦老师今天坐车
用了多少钱？
县中到二中的路程是 x公里，问韦老师今天坐车
会用多少钱？
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实际问题
数学模型
数学模型的解
实际问题的解
答
求解数学应用问题的思路和方法，我们可以用
示意图表示为：
数学模型
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例1、某计算机集团公司生产某种型号的计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元，分别写出总成本C(万元),单位成本P(万元)、销售收入R（万元）以及利润L（万元）关于总量x（台）的函数关系式。
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例2、物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则 ，其中 表示
环境温度，称 h为半衰期。

现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min，那么降到35℃时，需要多长时间（结果精确到0.1)？
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因此，解决应用题的一般程序是：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③解模：求解数学模型，得出数学结论；
④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．
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第二课时
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解之得
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例2.某房地产公司要在荒地ABCDE(如图)上划出一块长方形的地面修建一幢公寓楼，已知EF=80m,BC=70m,BF=30m,
AF=20m,问：
如何设计才能使公
寓楼地面面积最大？
最大面积是多少？
D
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例1：如图，有一块半径为Ｒ的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ＡＢＣＤ的形状，它的下底ＡＢ是⊙Ｏ的直径，上底ＣＤ的端点在圆周上。问：腰为多少时，梯形周长最大？
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解:设腰长AD=BC=x,周长为y
E
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1．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为 ________m2（围墙厚度不计）．
解析：设矩形宽为xm，
则矩形长为（200－4x）m，
则矩形面积为
S＝x（200－4x）
＝－4（x－25）2＋2500
（0＜x＜50），
∴x＝25时，S有最大值2500m2．
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2.有甲、乙两种产品，生产这两种产品所获得利润分别为p和q（万元），它们与投入的资金x（万元）的关系分别为

今投入3万元资金生产甲、乙两种产品，为了获得最大利润，对甲乙两种产品的投入分别应为多少万元？此时最大利润是多少万元？
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3.某产品的成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系

，若每台产品的售价为25万元，则生产者不“亏本”（即销售收入不小于总成本）的最低产量台数为
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小结：
2.解题过程：从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义做出回答.
即建立数学模型，并推理演算求出数学模型的解，再结合实际做出回答.
1.解题四步骤：设、列、解、答.
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函数模型及其应用
第三课时
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例1、某旅社有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满，公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间，若不考虑其它因素，旅社将房间租金提高多少时，每天客房租金总收入最高？
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点拨：由题设可知，每天客房总的租金是增加2元的倍数的函数。设提高为x个2元，则依题意可算出总租金（用y表 示）的表达式，由于房间数不太多，为了帮助同学理解这道应用题，我们先用列表法求解，然后再用函数的解析表达式求解。
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解：设客房租金每间提高x个2元，
Y=(20+2x)(300-10x)
=-20x2+600x-200x+6000
=-20(x2-20x+100-100)+6000
=-20(x-10)2+8000
则将有10x间客房空出，客房租金的总收入为
由此得到，当x=10时，y的最大值为8000，即每间租金为20+10×2=40（元）时客房租金总收入最高，每天为8000元。
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总结：
通过列表的形式求解，直观性强，有助于同学理解，但运算过程比较繁琐，作为探求思路的方法还是可行的；
根据题目的条件列出函数关系式，利用二次函数求极值，是常用的方法。
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练习：
1、将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，根据经验，该商品每个上涨1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定为多少元？最大利润是多少？
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2、某车间最大生产能力为月生产100台机床，至少要完成40台才能保本，当生产x台时的总成本函数为G(x)=x2+10x(百元），按市场规律，价格为P=970-5x(x需求量）可以销售完，试写出利润函数，并求出生产多少台时，利润最大。
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3、某商场出售一种商品，（原来）每天可卖出1000件，每件可获利4元。根据经验，若单件商品的价格每减少0.1元，每天的销售量就会多出100件。从获得最好的经济效益的角度来看，该商品的单价应比现在减少_____元
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函数模型及其应用
第四课时
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例题1、一家报刊摊点，从报社买进报纸价格是每份0.24元，卖出是每份0.40元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社，在一个月的30天里，有20天每天可卖出300份，其余10天，每天卖出200份,但这30天里,每天从报社买进的份数必须相同,这家报刊摊点应该每天从报社进多少份报纸,才能获得最大利润,一个月可赚多少钱.
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(2)当200 y=(0.4-0.24) ·10·200-(0.24-0.08)·10·(x-200)+
(0.4-0.24)·20·x=640+1.6x
≤640+1.6·300=1120
解：设这家报刊摊点每天从报社买进x份报纸，一个月可赚y元。
（1）当x≤200时，
y=(0.4-0.24) ·30 ·x·=4.8x≤4.8·200=969.
(3)当x>300时,
y=(0.4-0.24) ·10·200-(0.24-0.08)·10·(x-200)
+(0.4-0.24)·20·300-(0.24-0.08)(x-300)·20
=2560-4.8x<2560-4.8·300=1120
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总结:求分段函数的最值,应先求出函数在各部分的最值,然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值,取各部分的最小者为整个函数的最小值.
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变式：如图，一动点P自边长为1的正方形的边界运动一周后再回到A点，若点P的路程为x，点P到顶点A的距离为y，
求A，P两点间的
距离y与点P的
路程x之间的函
数关系式。
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2、某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
其中x是仪器的月产量。
（1）将利润表示为当月产最的函数
（2）求每月生产多少台仪器时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？
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例2.在一定范围内，某种产品的购买量为y t，与单价x元之间满足一次函数关系。
如果购买1000t，每吨为800元，如果购买2000t，每吨为700元，一客户购买400t，单价应该为
（ ）

A.820 元 B.840元 C.860元 D.880元
c
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解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利润为y元，则有日均销售量为
`
②利润怎样产生的？
销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶
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1、 某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km，
慢车到终点站需16min，快车比慢车晚发车3min，
且行驶10min到达终点站。
试写出两车所行路程关于慢车行驶时间的函数关系式。
并回答：两车何时相遇？相遇时距始发站多远？
巩固练习
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58
3、用一条长为Ｌ米的钢丝折成一个矩形，该矩形长为多少时，面积最大？
巩固练习
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