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免费下载数学必修2《2.3.3直线与平面垂直的性质》课件PPT

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2.3.3直线与平面
垂直的性质
1. 直线和平面垂直的定义如何?
如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足.
一、知识回顾
2.直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都
垂直,则该直线与此平面垂直。
图形表示
符号表示
关键:线不在多,相交则行
异面直线的夹角
求直线BA1和CC1所成角的度数。
(1)找
(2)求
∠A1BB1即为异面直线A1B和CC1 的夹角
O
P
A
α
关键:过斜线上一点作平面的垂线
线面所成角
斜线
斜足
线面所成角
(锐角∠PAO)
射影
已知:SB=SC=6,AB=AC=3,SA=
(1)求证SA ⊥平面ABC
(2)求SB 和平面ABC的夹角
(1)找
(2)求
∠SBA即为直线SA和平面ABC的夹角
AB为SB在平面ABC内的射影
二面角
∠AOB即为二面角α-AB-β的
平面角

平面角
(1)找
(2)求
∠VDC即为二面角V—AB—C的平面角
求直线BA1和CC1所成角的度数。
(1)找
(2)求
∠A1BB1即为异面直线A1B和CC1 的夹角
已知:SB=SC=6,AB=AC=3,SA=
(1)求证SA ⊥平面ABC
(2)求SB 和平面ABC的夹角
(1)找
(2)求
∠SBA即为直线SA和平面ABC的夹角
AB为SB在平面ABC内的射影
(1)找
(2)求
∠VDC即为二面角V—AB—C的平面角
如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,棱AA1,BB1,CC1,DD1 所在直线与底面ABCD的位置关系如何?它们彼此之间具有什么位置关系?
二、新知探究
线面垂直的性质
线面垂直性质定理:
垂直于同一个平面的两条直线平行






2.3.4 平面与平面垂直的性质
复习回顾:
(1)利用定义

[作出二面角的平面角,证明平面角是直角]


A
B
线面垂直
面面垂直
线线垂直
面面垂直的判定
(1)如果平面α与平面β互相垂直,直线l在平面α内,那么直线l与平面β的位置关系有哪几种可能?
(2)观察黑板所在的平面和地面,它们是互相垂直的,那么黑板所在的平面里的任意一条直线是否就一定和地面垂直?
α
β
E
F
思考2 如图,长方体中,α⊥β,
(1)α里的直线都和β垂直吗?
(2)什么情况下α里的直线和β垂直?
与AD垂直
不一定
思考3
垂足为B,那么直线AB与平面β的位置关系如何?
为什么?
垂直
∵ , ∴AB⊥BE.
又由题意知AB⊥CD,
且BE CD=B
垂足为B.
∴AB⊥
则∠ABE就是二面角
的平面角.
证明:在平面 内作BE⊥CD,
平面与平面垂直的性质定理
符号表示:
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
(线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线)
作用: ①它能判定线面垂直.
② 它能在一个平面内作与这个平面垂
直的垂线.
关键点:
①线在平面内.
②线垂直于交线.
思考4 设平面 ⊥平面 ,点P在平面 内,过点P作平
面 的垂线a,直线a与平面 具有什么位置关系?
a
a
直线a在平面 内
α
β
A
b
a
l
B
垂直
α
β
A
b
a
l
分析:寻找平面α内与a平行的直线.
解:在α内作垂直于 交线的直线b,
∵ ∴
∵ ∴a∥b.
又∵ ∴a∥α.
即直线a与平面α平行.
结论:垂直于同一平面的直线和平面平行( ).
α
β
A
b
a
l
分析:作出图形.
(法二)
(法一)
在α内作直线a ⊥n
证法1:设
在β内作直线b⊥m
在γ内过A点作直线 a ⊥n,
证法2:设
在γ内过A点作直线 b⊥m,
同理
在γ内任取一点A(不在m,n上),
如果两个相交平面都垂直于另一个平面,那么这两个平面的交线垂直于这个平面.
结论
判断线面垂直的两种方法:
①线线垂直→线面垂直;
②面面垂直→线面垂直.
如图:
两个平面垂直应用举例
例题1  如图4,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上的动点,过动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面,D、E分别是VA、VC的中点,直线 DE与平面VBC有什么关系?试说明理由.
解:由VC垂直于⊙O所在平面,知VC⊥AC,VC⊥BC,即 ∠ACB是二面角A-VC-B的平面角.由∠ACB是直径上的圆周角,知 ∠ACB =90°。
因此,平面 VAC⊥平面VBC.由DE是△VAC两边中点连线,知 DE∥AC,故DE⊥VC.由两个平面垂直的性质定理,知直线DE与平面VBC垂直。
注意:本题也可以先推出AC垂直于平面VBC,再由DE∥AC,推出上面的结论。
例2.S为三角形ABC所在平面外一点,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC。
求证:AB⊥BC。
证明:过A点作AD⊥SB于D点.
∵平面SAB ⊥ 平面SBC, ∴ AD⊥平面SBC,
∴ AD⊥BC.
又∵ SA ⊥ 平面ABC, ∴SA ⊥ BC. AD∩SA=A
∴BC ⊥ 平面SAB.
∴BC ⊥AB.
AB是⊙O的直径,点C是圆上异于A,B的任意一点,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F.求证:AF⊥平面PBC。
证明: ∵AB是⊙O的直径
∴AC⊥CB
∴PA⊥BC
∴BC⊥平面PAC
∴平面PBC⊥平面PAC
∴AF⊥平面PBC
练习2:如图,以正方形ABCD的对角线AC为折痕,使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面,求BD与平面ABC所成的角。
A
B
C
D
D
A
B
C
O
O
折成
3.如图,平面AED ⊥平面ABCD,△AED是等边三角形,四边形ABCD是矩形,
(1)求证:EA⊥CD
M
(2)若AD=1,AB= ,求EC与平面ABCD所成的角。
(2012·北京模拟)如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M为CE的中点.

(1)求证:BM∥平面ADEF;
(2)求证:平面BDE⊥平面BEC.
【证明】(1)取DE中点N,连接MN,AN.
在△EDC中,M,N分别为EC,ED的中点,
所以MN∥CD,且MN= CD.
由已知AB∥CD,AB= CD,
所以MN∥AB,且MN=AB,
所以四边形ABMN为平行
四边形.所以BM∥AN.
又因为AN平面ADEF,且BM 平面ADEF,
所以BM∥平面ADEF.
(2)因为四边形ADEF为正方形,
所以ED⊥AD,
又因为平面ADEF⊥平面ABCD,
且平面ADEF∩平面ABCD=AD.
又因为ED 平面ADEF,
所以ED⊥平面ABCD.
所以ED⊥BC.
在直角梯形ABCD中,AB=AD=2,CD=4,
可得BC= ,
在△BCD中,BD=BC= ,CD=4,所以BC⊥BD,
BD∩ED=D,
所以BC⊥平面BDE,
又因为BC平面BCE,
所以平面BDE⊥平面BEC.
[总结提炼]
☆ 已知面面垂直易找面的垂线,且在某一个平面内
☆ 解题过程中应注意充分领悟、应用
☆ 证明面面垂直要从寻找面的垂线入手
☆ 理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的定义
☆ 定义面面垂直是在建立在二面角的定义的基础上的
线面垂直
面面垂直
线线垂直
面面垂直
线面垂直
线线垂直
线线垂直
线面垂直
线线平行
面面平行
面面垂直
垂直、平行关系小结
2.面面垂直的性质推论:
1.平面与平面垂直的性质定理:
a∥α