3.3.2两点间的距离公式及其应用
两点间的距离公式：
它们坐标分别是 、 、 、 ，
探究：
那么|AB|、|CD|怎样求？
（1）如果A、B是 轴上两点，C、D是 轴上两点，
(2)已知
，试求两点间的距离。
若
x
o
y
若
分别向y轴和x轴作垂线 ，垂足分别为
直线
相交于点Q。
若
Q
Q
于是有
所以两点 间的距离为
特殊地，原点O（0，0）与任一点P（x,y）的距离
例3 已知点
在
轴上求一点 ，
使
，并求
的值。
解得 x=1。所以，所求点P（1，0）且
解：设所求点为P（x,0），于是
由
得
即
证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系.
例4 证明：平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。
则A(0，0)。设B(ａ，0)，
D(ｂ，ｃ)，由平行四边形性质得点C的坐标为(ａ＋ｂ，ｃ)，
(0,0)
(a,0)
(b,c)
(a+b,c)
因为
所以
所以
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
练习(1):求下列两点间的距离
答案：
答案：
距离的最值问题
直角坐标系中，已知点A（-4,-1）点B（-2,-5），点P是y轴上的一个动点，求点P在何处时，|PA|+|PB|最小，并求其最小值。
p’
思路：以y轴为对称轴，做B的对称点B1，连接AB1与y轴交与点P,P就是所求点。此时，PA+PB=PA+PB1=AB1;
取P以外任意一点P’，此时， P’A+P’B=P’A+P’B1>AB1 。
直角坐标系中，已知点A（-4,-1）点B（-2,-5），点P是y轴上的一个动点，求点P在何处时，|PA|+|PB|最小，并求其最小值。
解：(1)因为点P在y轴上，所以，以y轴为对称轴，做B的对称点B1，连接AB1与y轴交与点P,P就是所求点。此时，PA+PB=PA+PB1=AB1
易求得，点P（0， ）
(2)|PA|+|PB|=|AB1|=
距离的最值问题
直角坐标系中，已知点A（-1,-1）点B（2,3），点M是x轴上的一个动点，求点M在何处时，|MB|-|MA|最大，说明理由，并求其最大值。
思路：以x轴为对称轴，做A的对称点A1，连接AB1与x轴交与点M,M就是所求点。此时，MB-MA=MB-MA1=BA1;
取M以外任意一点M’，此时，A1、B、M’构成了三角形 A1BM’ ，显然M’B-M’A=M’B+A’A1问：M在何处时， |MB|-|MA|值最小，最小值等于多少？
M
归纳：
（1）当两定点位于直线的异侧时，可求得动点到定点的距离之和的最小值。
（2）当定点对于直线的同侧时，可求得动点到两定点的距离之差的最大值。
（3）若不满足（1）（2）时，可利用对称性将两定点变换到同（异）侧，再进行求解。
例5. 直线2x-y-4=0上有一点p，求它与两定点
A（4,-1），B（3,4）的距离之差的最大值是多少？
距离的最值问题的变式
1.求经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，且与直线3x+y-1=0 平行的直线l的方程．
1.方程组解的情况与方程组所表示的两条直线的位置关系
2.两点间的距离为